?合肥市第四十八中學(xué) 何 平 丁永愿

1 問題提出

初中新課程標(biāo)準(zhǔn)增加了“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖內(nèi)容.如圖1，過點(diǎn)P作直線m的平行線n.

圖1

2 解法賞析

2.1 聯(lián)想發(fā)散

由題意發(fā)散聯(lián)想出具有平行性質(zhì)的圖形并畫出相應(yīng)的草圖.根據(jù)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)不難得到出現(xiàn)平行的基本圖形有：三線八角圖、中位線、A(X)形相似結(jié)構(gòu)、平行四邊形等.如圖2所示.

圖2

2.2分析整合

學(xué)生具備五大基本作圖經(jīng)驗(yàn)，基本作圖可以實(shí)現(xiàn)“作等線段，作等角，作垂直，作中點(diǎn)，作角平分線” 等功能，其余的尺規(guī)作圖是在五大基本作圖的基礎(chǔ)上整合而成的[2].在分析整合時(shí)要注重可行性、合理性，所謂可行性是圖形的定義或判定中的關(guān)鍵詞能與五大基本作圖的功能對(duì)應(yīng)，如平行四邊形的判定“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，關(guān)鍵詞是兩組對(duì)邊相等，與五大作圖中的“作等線段”功能可以對(duì)應(yīng)上，作平行四邊形具有可行性；作圖也要兼顧合理性，若圖形的內(nèi)涵太豐富，則作圖要求也就越多，如正方形，雖然可作，但過于繁瑣，可有選擇性地放棄.

2.3 演繹生成

法1：如圖3，過點(diǎn)P作直線l交直線m于點(diǎn)A，確定∠1；作∠2=∠1(或∠3=∠1)，得直線n.

圖3

法2：如圖4，過點(diǎn)P作直線m的垂線l交直線m于點(diǎn)A；過點(diǎn)P作直線l的垂線n.

圖4

法3：如圖5，在直線m上確定點(diǎn)A,B，作射線AP，過點(diǎn)A作∠PAB的角平分線AC；以點(diǎn)P為圓心，AP為半徑作弧交角平分線AC于點(diǎn)Q，連接PQ得到直線n.

圖5

法4：如圖6，在直線m上確定點(diǎn)A,B，在線段AP的延長(zhǎng)線上截取點(diǎn)O，使AP=PO；連接OB，作線段OB的中點(diǎn)Q，連接PQ得到直線n.

圖6

法5：如圖7，在直線m上任意確定點(diǎn)A，在線段AP的延長(zhǎng)線上任意確定點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作弧交直線m于點(diǎn)B；連接直線OB，以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作弧交直線OB于點(diǎn)Q， 連接PQ得到直線n.

圖7

法6：如圖8，在直線m上任意確定點(diǎn)A,B，作線段AP；以點(diǎn)P為圓心，AB為半徑作弧與以點(diǎn)B為圓心，AP為半徑作的弧交于點(diǎn)Q，連接PQ得到直線n.

圖8

法7：如圖9，在直線m上確定點(diǎn)A,B，連接BP，作線段BP的中點(diǎn)O；作射線AO，在射線AO上截取OQ=AO，連接PQ得到直線n.

圖9

法8：如圖10，在直線m上確定點(diǎn)A，連接AP，以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作弧交直線m于點(diǎn)B；以點(diǎn)P為圓心，AP為半徑作弧與以點(diǎn)B為圓心，AP為半徑作的弧交于點(diǎn)Q；連接PQ得到直線n.

圖10

法9：如圖11，在直線m上確定點(diǎn)B，連接BP；作線段BP的中垂線l交直線m于點(diǎn)A，交線段BP于點(diǎn)O；在線段AO的延長(zhǎng)線上截取OQ=AO，連接PQ得到直線n.

圖11

法10：如圖12，在直線m上任意確定點(diǎn)B，連接BP；作線段BP的中點(diǎn)O；以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作⊙O交直線m于點(diǎn)A；作射線AO與⊙O交于點(diǎn)Q，連接PQ得到直線n.

圖12

法11：如圖13，在直線m上任意確定點(diǎn)A,B；以點(diǎn)A為圓心，BP為半徑作弧與以點(diǎn)B為圓心，AP為半徑作的弧交于點(diǎn)Q；連接PQ得到直線n.

圖13

法12：如圖14，取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作⊙O交直線m于點(diǎn)A,B；以點(diǎn)B為圓心，AP為半徑作弧交⊙O于點(diǎn)Q；連接PQ得到直線n.

圖14

3 結(jié)論

3.1明確尺規(guī)作圖的教學(xué)意義

對(duì)于尺規(guī)作圖，師生要改變認(rèn)知，不能僅僅是機(jī)械模仿、簡(jiǎn)單組合，在探究該問題時(shí)幾乎覆蓋了初中階段的所有圖形，如三線八角、三角形、四邊形、圓、相似三角形等，并在整個(gè)探究階段對(duì)這些圖形的定義、性質(zhì)、判定也進(jìn)行了綜合系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，對(duì)學(xué)生的幾何直觀、演繹推理、結(jié)構(gòu)化思維、規(guī)范書寫、語言表達(dá)、動(dòng)手操作及發(fā)散思維等能力有極大的提高.同時(shí)，在教學(xué)過程中還能讓學(xué)生感悟到思想方法的統(tǒng)一美、作圖過程的理性美、作圖表述的語言美、作圖結(jié)果的方法美.

3.2注重基本圖形的積累

聯(lián)想圖形是尺規(guī)作圖中較難的一個(gè)環(huán)節(jié)，這是一個(gè)從無到有的生成階段，有了聯(lián)想的草圖才能確定如何作下一步.而能夠想到什么基本圖形源于學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累以及對(duì)圖形的熟悉與掌握程度.因此，學(xué)會(huì)積累常用的基本圖形對(duì)解決尺規(guī)作圖問題至關(guān)重要.