常樂(lè)浩,袁冰,宋文,賀朝霞

(1.長(zhǎng)安大學(xué)道路施工技術(shù)與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710064,西安;2.西安工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,710021,西安; 3.中船重工第七○五研究所,710075,西安)

由于時(shí)變嚙合剛度、制造/安裝誤差和齒輪側(cè)隙等因素的影響,齒輪系統(tǒng)表現(xiàn)出典型的非線性振動(dòng)特征。齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)長(zhǎng)期以來(lái)都是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。以往關(guān)于齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的研究多為齒側(cè)間隙因素引起的。Blankenship和Kahraman[1]較早地建立了含齒側(cè)間隙的齒輪副單自由度動(dòng)力學(xué)模型,搭建了振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)[2-3],驗(yàn)證了仿真計(jì)算中出現(xiàn)的響應(yīng)幅值跳躍、分叉和混沌運(yùn)動(dòng)等非線性現(xiàn)象。隨后的國(guó)內(nèi)外關(guān)于齒側(cè)間隙動(dòng)力學(xué)的研究多基于此理論模型,進(jìn)一步改進(jìn)了建模方法或者增加了激勵(lì)因素。例如:Byrtus等[4]利用模態(tài)綜合法建立了兩級(jí)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型;文獻(xiàn)[5-9]分別增加了齒面摩擦、齒根裂紋、偏心率波動(dòng)和非線性軸承力等對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響。這些模型中,普遍將齒側(cè)間隙作為導(dǎo)致齒輪脫嚙、產(chǎn)生非線性現(xiàn)象的主要因素。

然而,齒輪嚙合過(guò)程本質(zhì)上是一個(gè)復(fù)雜的三維動(dòng)態(tài)接觸問(wèn)題。一方面,齒輪接觸特性相關(guān)的嚙合剛度和綜合嚙合誤差為系統(tǒng)振動(dòng)提供激勵(lì);另一方面,動(dòng)態(tài)位移反作用會(huì)改變動(dòng)態(tài)接觸狀態(tài),進(jìn)一步改變振動(dòng)激勵(lì),所以齒輪接觸與系統(tǒng)振動(dòng)之間存在顯著的耦合作用。除了齒側(cè)間隙因素之外,理想齒輪以及含誤差或修形的齒輪在振動(dòng)位移的反作用下,也會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生非線性響應(yīng)。動(dòng)態(tài)接觸有限元法可以有效地預(yù)測(cè)上述齒輪副瞬態(tài)振動(dòng)特性的變化,但存在預(yù)處理復(fù)雜、計(jì)算工作量大和收斂性差等問(wèn)題[10-11]。早在1978年,Kubo[12]就提出計(jì)入齒面誤差和動(dòng)態(tài)位移影響的動(dòng)態(tài)嚙合剛度、齒面動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力的計(jì)算模型,并發(fā)現(xiàn)了共振區(qū)的輪齒脫嚙現(xiàn)象。隨后,王濤等[13]和Cai等[14]等建立了類似的模型,預(yù)測(cè)到了含誤差齒輪的非線性響應(yīng)。Matsumura等[15]和Andersson等[16]也仿真發(fā)現(xiàn)了齒輪動(dòng)態(tài)接觸狀態(tài)與靜載時(shí)的顯著不同。Cao和Chen等[17]建立了考慮載荷相關(guān)的直齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合剛度,分析了載荷和偏心誤差對(duì)系統(tǒng)非線性振動(dòng)的影響。Velex等[18]和Ajmi等[19]利用簡(jiǎn)單的離散剛度模型來(lái)代替復(fù)雜的接觸分析模型,建立了考慮齒面誤差分布的動(dòng)態(tài)嚙合剛度和動(dòng)力學(xué)模型。Parker等[20]、Eritenel等[21-22]和Dai等[23]分別采用有限元方法、集中質(zhì)量法和混合解析模型模擬了齒輪副動(dòng)態(tài)接觸過(guò)程。他們的研究發(fā)現(xiàn),由于振動(dòng)位移過(guò)大,無(wú)側(cè)隙的理想或修形齒輪在共振時(shí)均可能出現(xiàn)輪齒完全脫嚙等非線性現(xiàn)象。Liu等[24]建立了考慮三維接觸的齒輪-軸系統(tǒng)多體動(dòng)力學(xué)模型,并與接觸有限元結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

總體而言,國(guó)內(nèi)現(xiàn)有文獻(xiàn)中對(duì)齒側(cè)間隙非線性動(dòng)力學(xué)的研究已較為透徹,但對(duì)文獻(xiàn)[12-24]所涉及的非齒側(cè)間隙因素引起的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的規(guī)律還研究較少。本文考慮齒輪在動(dòng)態(tài)嚙合過(guò)程中嚙合激勵(lì)與響應(yīng)間的相互作用關(guān)系,提出了基于切片法的齒輪副動(dòng)態(tài)承載接觸分析(dynamic loaded tooth contact analysis,DLTCA)模型,將齒輪副瞬時(shí)接觸分析與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)求解相結(jié)合,建立了齒輪系統(tǒng)“激勵(lì)-響應(yīng)-反饋”相閉環(huán)的動(dòng)力學(xué)耦合分析方法,以更深層次地研究系統(tǒng)非線性響應(yīng)的規(guī)律。

1 齒輪副彎-扭-軸動(dòng)力學(xué)模型

由于接觸問(wèn)題和動(dòng)力學(xué)求解均涉及非線性方程,所以為了減小計(jì)算規(guī)模,本文采用集中質(zhì)量法建立齒輪副的動(dòng)力學(xué)模型。當(dāng)不考慮兩齒輪間的滑動(dòng)摩擦力時(shí),計(jì)入彎曲-扭轉(zhuǎn)-軸向自由度耦合的單對(duì)斜齒輪副動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。圖中,下標(biāo)p表示主動(dòng)輪,下標(biāo)g表示從動(dòng)輪。

圖1 斜齒輪副集中質(zhì)量動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Lumped parameter dynamic model of a helical gear pair

將圖1中兩齒輪在各方向的振動(dòng)位移均向嚙合線方向投影,可得齒輪副動(dòng)態(tài)傳遞誤差qd為

qd=VX

(1)

式中:X={xp,yp,zp,θzp,xg,yg,zg,θzg}T為兩齒輪位移列向量;V為投影向量,表達(dá)式為

(2)

其中,rp、rg為兩齒輪基圓半徑,βb為基圓螺旋角,φ=α-φ,α為嚙合角,φ為安裝相位角。

齒輪沿法向的動(dòng)態(tài)嚙合總變形為

δ=qd-emd

(3)

式中emd為動(dòng)態(tài)綜合嚙合誤差,將在第2節(jié)動(dòng)態(tài)承載接觸分析中得到。

由牛頓第二定律可得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程組為

(4)

式中:mi(i=p,g)分別為兩齒輪質(zhì)量;Izi(i=p,g)分別為兩齒輪繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;kmd為齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合剛度;cm為齒輪副嚙合阻尼;kij、cij(i=p,g;j=x,y,z)分別為齒輪i沿j向的支承剛度和阻尼;T1和T2分別為兩齒輪的扭矩。

嚙合阻尼cm為

(5)

將式(3)代入式(4)中,并整理成矩陣形式

(6)

式中:M、C和K分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;e為綜合誤差向量,e=emdVT;P為外載荷向量。

2 動(dòng)態(tài)承載接觸分析

2.1 動(dòng)態(tài)接觸方程的建立與求解

以往學(xué)者在建立齒輪副的承載接觸模型時(shí),多是在靜態(tài)情況下完成的，即假定齒輪副在已知外載荷P的作用下,兩齒輪緩慢靠近并逐漸進(jìn)入接觸狀態(tài),求解未知的齒面載荷分布和靜態(tài)傳遞誤差。本小節(jié)將在靜態(tài)承載接觸模型的基礎(chǔ)上加以改進(jìn),建立齒輪副的動(dòng)態(tài)承載接觸模型。

在不考慮摩擦的情況下,當(dāng)已知齒輪副的動(dòng)態(tài)傳遞誤差時(shí),各接觸點(diǎn)變形協(xié)調(diào)條件可寫(xiě)為

[Cbf]{F}+{uc}-{Y}=qd-{ε}

(7)

式中:[Cbf]為齒面各接觸點(diǎn)的線性宏觀變形所形成的柔度系數(shù)矩陣,主要由輪齒彎曲-剪切變形和輪體變形組成;{F}為載荷列向量;{uc}為接觸變形列向量;{Y}為接觸后的剩余間隙列向量;{ε}為初始間隙列向量,可以包含齒輪制造誤差、修形、齒側(cè)間隙及嚙合錯(cuò)位等;qd為按式(1)所定義的動(dòng)態(tài)傳遞誤差。為了避免有限元方法求解時(shí)間長(zhǎng)的缺點(diǎn),[Cbf]和{uc}采用切片法理論進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算公式參考文獻(xiàn)[25]。

在接觸時(shí),需要滿足載荷判別條件

(8)

式(7)、(8)組成了齒輪副在嚙合過(guò)程中的動(dòng)態(tài)承載接觸方程組。在求解時(shí),由于qd可由系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)求解得到,可將其視為已知量。判斷qd與各點(diǎn)初始間隙εi的關(guān)系:若qd≤εi,則將該點(diǎn)方程從總體方程組去除;若qd>εi,則將Yi賦為0。這樣非線性接觸方程組(7)就只包含未知量{F},可通過(guò)常規(guī)迭代法求解。

2.2 動(dòng)態(tài)嚙合剛度和動(dòng)態(tài)綜合嚙合誤差

齒輪動(dòng)態(tài)嚙合剛度是指齒輪副在正常的工作狀態(tài)下,同時(shí)嚙合的輪齒所表現(xiàn)出的等效嚙合剛度[13]。當(dāng)求解接觸方程得到{F}后,齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合剛度可由各接觸點(diǎn)的動(dòng)態(tài)剛度ki求和得到

(9)

在某一嚙合位置的彈性嚙合力平衡方程為

(10)

定義動(dòng)態(tài)綜合嚙合誤差為

(11)

齒輪副的總嚙合力為

(12)

接觸點(diǎn)i的接觸應(yīng)力σci為

(13)

式中:Li為該點(diǎn)分段接觸線長(zhǎng)度;ρi為綜合曲率半徑;E1、E2為兩齒輪彈性模量;υ1、υ2為泊松比。

從式(9)可以看出:齒輪在動(dòng)態(tài)接觸過(guò)程中的動(dòng)態(tài)嚙合剛度kmd不僅是時(shí)變的,同時(shí)受齒輪誤差和修形等因素的影響;當(dāng)考慮振動(dòng)位移的反作用后,其大小還與振動(dòng)位移相關(guān)。同理,動(dòng)態(tài)綜合嚙合誤差emd也與這幾個(gè)因素相關(guān)。反映到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中,即剛度矩陣K和綜合誤差向量e同時(shí)是時(shí)間t和位移響應(yīng)X的函數(shù),導(dǎo)致在求解時(shí)必須建立瞬時(shí)接觸與動(dòng)力學(xué)的耦合分析方法。

3 齒輪接觸與動(dòng)力學(xué)耦合分析方法

齒輪的動(dòng)態(tài)嚙合過(guò)程是包含瞬時(shí)接觸與系統(tǒng)振動(dòng)相互作用的“激勵(lì)-響應(yīng)-反饋”的閉環(huán)耦合過(guò)程。從方程上看:當(dāng)求解瞬時(shí)的接觸方程(7)后,根據(jù)式(9)、(11)可得到系統(tǒng)振動(dòng)的“激勵(lì)”——瞬時(shí)kmd和emd;將二者代入動(dòng)力學(xué)方程(6)并求解得到系統(tǒng)“響應(yīng)”——?jiǎng)討B(tài)位移X;再通過(guò)式(1)得到接觸方程(7)的“反饋”——qd。以往多數(shù)學(xué)者在分析系統(tǒng)振動(dòng)時(shí),只考慮“激勵(lì)-響應(yīng)”的單向關(guān)系,而未計(jì)入系統(tǒng)振動(dòng)對(duì)接觸特性的反饋。若要考慮這種反饋關(guān)系,必須建立二者之間的閉環(huán)耦合分析方法。

本文結(jié)合齒輪動(dòng)態(tài)接觸問(wèn)題的特征,提出了基于Newmark-β法的齒面瞬時(shí)接觸與系統(tǒng)振動(dòng)耦合求解方法,具體流程如圖2所示。

圖2 齒輪副瞬時(shí)接觸與系統(tǒng)振動(dòng)耦合求解流程Fig.2 Flow chart of solving the coupling model of transient contact and system vibration of the gear pair

4 模型驗(yàn)證

以文獻(xiàn)[2]中的齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)試驗(yàn)為依據(jù),驗(yàn)證本文提出的齒輪接觸與動(dòng)力學(xué)耦合模型的正確性。該試驗(yàn)臺(tái)為美國(guó)the Ohio State University齒輪實(shí)驗(yàn)室搭建的一套用于圓柱齒輪副振動(dòng)測(cè)試的裝置,已被用來(lái)開(kāi)展齒廓修形和重合度對(duì)直齒輪非線性振動(dòng)的影響研究、齒側(cè)間隙引起的幅值跳躍等現(xiàn)象研究。由于測(cè)量?jī)H得到扭轉(zhuǎn)方向的位移,所以在計(jì)算時(shí)也只取傳遞誤差在扭轉(zhuǎn)方向的位移分量。

試驗(yàn)齒輪的基本參數(shù)如下:主動(dòng)輪和從動(dòng)輪齒數(shù)均為50,分度圓壓力角為20°,齒寬為20 mm,齒頂圓直徑分別為154.41 mm和154.71 mm。根據(jù)文獻(xiàn)[2]的描述,系統(tǒng)在各轉(zhuǎn)速和扭矩時(shí)的阻尼比都在0.02左右,所以本文在計(jì)算時(shí)選取齒輪副的嚙合阻尼比為0.02。同時(shí),取軸承的徑向剛度均為5×108N/m,軸承的阻尼為1×104N·s/m。在輸入扭矩為170 N·m時(shí),采用本文方法計(jì)算的qd波動(dòng)部分均方根qdr與試驗(yàn)的對(duì)比如圖3所示。qdr的計(jì)算式為

(14)

圖3 本文計(jì)算的動(dòng)態(tài)傳遞誤差和試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of qd by simulation and experiment

試驗(yàn)結(jié)果表明,在共振轉(zhuǎn)速附近,系統(tǒng)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性響應(yīng),并出現(xiàn)了典型的響應(yīng)幅值跳躍現(xiàn)象。同時(shí),升速過(guò)程中的幅值上跳頻率要大于降速過(guò)程中的幅值下跳頻率,形成了跳躍滯后環(huán)。在二次諧波共振區(qū),升速和轉(zhuǎn)速時(shí)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)幅值也略有差異,但滯后環(huán)寬度和跳躍幅值相比主共振區(qū)要小許多。與試驗(yàn)結(jié)果相比,本文的計(jì)算結(jié)果能夠準(zhǔn)確地捕捉到由于輪齒分離引起的非線性響應(yīng),各頻率下的響應(yīng)幅值和跳變頻率也與試驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合,體現(xiàn)出很高的準(zhǔn)確性。因此,本文所提出的齒輪接觸動(dòng)力學(xué)耦合分析方法在預(yù)測(cè)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為時(shí)是有效的。

5 計(jì)算結(jié)果與分析

以一對(duì)新的直齒輪副為例,分析系統(tǒng)非線性響應(yīng)的特征。主、從動(dòng)輪齒數(shù)分別為31和104,模數(shù)為4 mm,分度圓壓力角為20°,齒寬為60 mm,軸承剛度為5×108N/mm。動(dòng)態(tài)傳遞誤差qd按照式(1)進(jìn)行計(jì)算。

5.1 嚙合阻尼對(duì)響應(yīng)的影響

取輸出扭矩為500 N·m,分別計(jì)算阻尼比為0.03、0.06、0.09時(shí)無(wú)誤差齒輪副在0～5 000 r/min時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng),結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯?當(dāng)嚙合阻尼比為0.03和0.06時(shí),傳遞誤差均方根qdr在主共振轉(zhuǎn)速處存在幅值跳躍現(xiàn)象,且升速和降速過(guò)程所對(duì)應(yīng)的跳躍速度有所差異,形成跳躍滯后環(huán)。當(dāng)阻尼比為0.06時(shí),相比阻尼比為0.03時(shí)的情況,主共振的滯后環(huán)有所減小,二次諧波處的滯后環(huán)消失。當(dāng)阻尼比為0.09時(shí),升速和降速過(guò)程中的跳躍現(xiàn)象消失。在主共振和高次諧波共振區(qū)外,不同阻尼比的響應(yīng)幅值差異不大。這是由于對(duì)于阻尼振動(dòng)系統(tǒng),當(dāng)激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)共振頻率時(shí),系統(tǒng)進(jìn)入阻尼控制區(qū),響應(yīng)幅值主要受阻尼影響。當(dāng)激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離共振頻率時(shí),阻尼的影響作用將顯著減小。

圖4 不同嚙合阻尼比對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響Fig.4 Effects of mesh damp on the dynamic responses

5.2 不同轉(zhuǎn)速下的激勵(lì)與響應(yīng)對(duì)比

取阻尼比為0.03,分析動(dòng)態(tài)激勵(lì)在不同轉(zhuǎn)速下的變化規(guī)律。以升速過(guò)程為例,系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為2 950 r/min時(shí)，開(kāi)始出現(xiàn)脫嚙現(xiàn)象,導(dǎo)致振動(dòng)響應(yīng)值相比2 900 r/min時(shí)有了大幅提高,即出現(xiàn)了幅值上跳現(xiàn)象。分別選取轉(zhuǎn)速為100、2 900、2 950、5 000 r/min,提取各轉(zhuǎn)速下的動(dòng)態(tài)嚙合剛度、動(dòng)態(tài)傳遞誤差和動(dòng)態(tài)嚙合力,結(jié)果如圖5～7所示?？梢钥闯?當(dāng)轉(zhuǎn)速為100 r/min和5 000 r/min時(shí),系統(tǒng)振動(dòng)位移較小,齒面并未出現(xiàn)完全脫嚙現(xiàn)象,動(dòng)態(tài)嚙合剛度與靜態(tài)時(shí)基本相同,即呈現(xiàn)矩形波形式。100 r/min時(shí)的動(dòng)態(tài)嚙合力與靜態(tài)嚙合力基本相等,5 000 r/min時(shí)的動(dòng)態(tài)嚙合力稍有增大。在2 900 r/min時(shí),一個(gè)嚙合周期內(nèi)的動(dòng)態(tài)傳遞誤差有接近于0的部分,相應(yīng)的動(dòng)態(tài)嚙合力也接近于0,動(dòng)態(tài)嚙合剛度有所減小。轉(zhuǎn)速變?yōu)? 950 r/min時(shí),齒輪副出現(xiàn)脫嚙區(qū)域,在該區(qū)域內(nèi)傳遞誤差小于0,嚙合剛度和嚙合力均為0。此時(shí),動(dòng)態(tài)傳遞誤差和嚙合力波動(dòng)顯著增加,系統(tǒng)呈現(xiàn)共振狀態(tài)。由于分析對(duì)象為理想齒輪,所以所有轉(zhuǎn)速下的動(dòng)態(tài)綜合嚙合誤差始終為0。

圖5 不同轉(zhuǎn)速下的動(dòng)態(tài)嚙合剛度對(duì)比Fig.5 Dynamic mesh stiffness at different rotational speeds

圖6 不同轉(zhuǎn)速下的動(dòng)態(tài)傳遞誤差對(duì)比 Fig.6 Dynamic transmission error at different rotational speeds

圖7 不同轉(zhuǎn)速下動(dòng)態(tài)嚙合力對(duì)比Fig.7 Dynamic mesh force at different rotational speeds

分別觀察4種轉(zhuǎn)速下齒面的動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力,如圖8所示?？梢钥闯?不同轉(zhuǎn)速下的齒面動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力有顯著的區(qū)別。當(dāng)轉(zhuǎn)速為100 r/min時(shí),齒面的接觸應(yīng)力與靜態(tài)時(shí)基本相同,即單齒區(qū)的接觸應(yīng)力要明顯大于雙齒區(qū)的,單雙齒交界處的接觸應(yīng)力出現(xiàn)突變。當(dāng)轉(zhuǎn)速為2 900 r/min時(shí),最小接觸應(yīng)力接近于0。當(dāng)轉(zhuǎn)速為2 950 r/min時(shí),出現(xiàn)了接觸應(yīng)力為0的區(qū)域,即完全脫嚙區(qū),最大接觸應(yīng)力在幾個(gè)所選取的轉(zhuǎn)速中最大。當(dāng)轉(zhuǎn)速為5 000 r/min時(shí),雖然動(dòng)態(tài)嚙合剛度與100 r/min時(shí)基本相等,但齒面接觸應(yīng)力分布與100 r/min時(shí)有著明顯的差距,說(shuō)明動(dòng)態(tài)位移對(duì)接觸狀態(tài)有著較大影響。

(a)100 r·min-1

取轉(zhuǎn)速為2 500 r/min,分別對(duì)比升速和降速時(shí)齒面的動(dòng)態(tài)接觸狀態(tài)、動(dòng)態(tài)嚙合剛度和動(dòng)態(tài)嚙合力,結(jié)果如圖9和圖10所示。從圖9可以發(fā)現(xiàn),升速經(jīng)過(guò)2 500 r/min時(shí),齒面最小接觸應(yīng)力不為0,即齒面處于完全接觸狀態(tài),而降速經(jīng)過(guò)2 500 r/min時(shí),最大接觸應(yīng)力比升速時(shí)明顯提高,部分齒面的接觸應(yīng)力為0,即出現(xiàn)完全脫嚙狀態(tài)。這說(shuō)明當(dāng)計(jì)入齒輪接觸與振動(dòng)耦合作用后,系統(tǒng)表現(xiàn)出明顯的非線性特性,特別是在共振轉(zhuǎn)速附近的響應(yīng)對(duì)初始條件非常敏感,初始條件不同會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)顯著差異。從圖10可以看出,升速時(shí)齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合剛度始終大于0,且動(dòng)態(tài)嚙合力波動(dòng)量較小,而降速時(shí)齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合剛度和動(dòng)態(tài)嚙合力均出現(xiàn)部分為0的區(qū)域,動(dòng)態(tài)嚙合力幅值比升速時(shí)顯著增大。

(a)升速

(a)動(dòng)態(tài)嚙合剛度

5.3 修形和齒側(cè)間隙的影響

選取修形方式為直線型齒廓修形,嚙合平面上對(duì)應(yīng)的修形量為5 μm,修形長(zhǎng)度為0.3pbt,pbt為端面基節(jié)。保持載荷不變,計(jì)算得到不同轉(zhuǎn)速下的響應(yīng),結(jié)果如圖11所示?？梢钥闯?對(duì)于給定的修形參數(shù),系統(tǒng)仍然出現(xiàn)了響應(yīng)幅值跳躍的現(xiàn)象。但是,在多數(shù)轉(zhuǎn)速下,動(dòng)態(tài)傳遞誤差相比無(wú)修形時(shí)都有所降低,且共振區(qū)的最大幅值以及升降速響應(yīng)幅值跳躍形成的滯后環(huán)都顯著減小。這說(shuō)明合適的修形參數(shù)可以降低系統(tǒng)非線性響應(yīng)的程度。

圖11 修形對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響Fig.11 Effects of tooth modification on the dynamic responses

取單側(cè)齒側(cè)間隙為5 μm,且不考慮齒背接觸狀態(tài),計(jì)算動(dòng)態(tài)傳遞誤差均方根和均值隨轉(zhuǎn)速的變化過(guò)程,結(jié)果如圖12和圖13所示?？梢钥闯?計(jì)入側(cè)隙后,qd均方根在不同轉(zhuǎn)速下與不計(jì)入時(shí)幾乎完全相等,而qd均值的曲線形狀也基本一致,區(qū)別在于考慮側(cè)隙后的qd均值比不考慮時(shí)正好大了原始側(cè)隙尺寸5 μm。此結(jié)果可以反映出,使齒輪產(chǎn)生非線性響應(yīng)的真正原因在于動(dòng)態(tài)嚙合剛度隨振動(dòng)位移的變化,齒側(cè)間隙只是影響了振動(dòng)均值。

圖12 計(jì)入齒側(cè)間隙后qdr的變化Fig.12 Root mean square of qdr with tooth clearance

圖13 計(jì)入齒側(cè)間隙后qd均值的變化Fig.13 Mean value of qd with tooth clearance

5.4 靜態(tài)與動(dòng)態(tài)接觸激勵(lì)模型的對(duì)比

通過(guò)前述分析可知,考慮瞬時(shí)接觸與系統(tǒng)振動(dòng)耦合的動(dòng)力學(xué)模型能夠很好地獲取系統(tǒng)非線性響應(yīng)。然而,由于求解規(guī)模大,對(duì)于復(fù)雜傳動(dòng)輪系或者分布質(zhì)量法建立的多自由度模型,計(jì)算效率將顯著下降。傳統(tǒng)的采用靜態(tài)接觸激勵(lì)的動(dòng)力學(xué)模型不需要進(jìn)行瞬時(shí)接觸分析,所以計(jì)算時(shí)間大幅減小。本小節(jié)著重對(duì)比這兩種激勵(lì)模型的差異。

分別計(jì)算無(wú)誤差齒輪副在螺旋角為0°和10°時(shí),采用兩種激勵(lì)模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，結(jié)果如圖14和圖15所示。從圖14可以看出,靜態(tài)激勵(lì)動(dòng)力學(xué)模型無(wú)法捕捉到齒輪副在共振轉(zhuǎn)速響應(yīng)幅值跳躍的強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)行為。但是,當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)離系統(tǒng)共振轉(zhuǎn)速時(shí),兩種激勵(lì)的計(jì)算結(jié)果具有高度一致性。當(dāng)螺旋角增加到10°后,系統(tǒng)的非線性響應(yīng)消失,各轉(zhuǎn)速下動(dòng)態(tài)響應(yīng)差異非常小。在計(jì)算時(shí)間方面,靜態(tài)激勵(lì)動(dòng)力學(xué)模型省去了每個(gè)積分時(shí)刻的DLTCA過(guò)程,所以計(jì)算時(shí)間顯著縮短。在CPU為Core i7 10代的微型計(jì)算機(jī)上運(yùn)行,采用動(dòng)態(tài)激勵(lì)和靜態(tài)激勵(lì)的計(jì)算時(shí)間分別為20 min和10 s左右。因此,可在初始設(shè)計(jì)階段,利用靜態(tài)接觸激勵(lì)動(dòng)力學(xué)模型預(yù)測(cè)共振轉(zhuǎn)速區(qū)間,指導(dǎo)齒輪宏觀參數(shù)設(shè)計(jì)。

圖14 直齒輪不同類型激勵(lì)的響應(yīng)對(duì)比Fig.14 Dynamic responses of a spur gear pair with dynamic excitation and static excitation

圖15 斜齒輪不同類型激勵(lì)的響應(yīng)對(duì)比Fig.15 Dynamic responses of a helical gear pair with dynamic excitation and static excitation

6 結(jié) 論

本文提出了齒輪動(dòng)態(tài)承載接觸分析模型,結(jié)合集中質(zhì)量法,建立了齒輪瞬時(shí)接觸分析與系統(tǒng)振動(dòng)聯(lián)合求解方法,形成系統(tǒng)“激勵(lì)-響應(yīng)-反饋”閉環(huán)動(dòng)力學(xué)分析流程,并分析了嚙合激勵(lì)與動(dòng)力學(xué)響應(yīng)間的相互作用關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn):

(1)由于齒面瞬時(shí)接觸特性與系統(tǒng)振動(dòng)之間的相互影響,齒輪的動(dòng)態(tài)嚙合剛度和動(dòng)態(tài)綜合嚙合誤差與靜態(tài)接觸時(shí)差別較大,使齒輪系統(tǒng)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性特性。在升速和降速過(guò)程的共振區(qū)附近,系統(tǒng)振動(dòng)幅值較大,齒面可能出現(xiàn)完全脫嚙現(xiàn)象,從而產(chǎn)生響應(yīng)幅值跳躍。同時(shí),由于升降速跳躍轉(zhuǎn)速的不同,使系統(tǒng)響應(yīng)形成典型的滯后環(huán)。

(2)嚙合阻尼主要影響共振區(qū)附近的動(dòng)態(tài)響應(yīng),對(duì)非共振區(qū)的響應(yīng)影響不大。增加嚙合阻尼和螺旋角后均會(huì)使系統(tǒng)非線性特性減弱,直至消失。

(3)合理的修形參數(shù)能夠降低系統(tǒng)非線性響應(yīng)的程度。齒側(cè)間隙主要影響非線性響應(yīng)的均值,但對(duì)響應(yīng)幅值的影響并不明顯。

(4)齒輪的非線性響應(yīng)主要表現(xiàn)在共振區(qū)附近,在非共振區(qū)采用靜態(tài)激勵(lì)和動(dòng)態(tài)激勵(lì)所計(jì)算的響應(yīng)結(jié)果差異并不大。

與常規(guī)齒側(cè)間隙動(dòng)力學(xué)相比，本文方法的優(yōu)點(diǎn)在于在動(dòng)力學(xué)求解時(shí)增加了齒輪副動(dòng)態(tài)接觸分析,不僅能計(jì)入齒側(cè)間隙的影響,還可以考慮齒輪誤差、修形等因素,能夠計(jì)算齒輪副在振動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)激勵(lì)和接觸特性,獲得更為豐富的動(dòng)態(tài)響應(yīng)結(jié)果,可作為齒側(cè)間隙動(dòng)力學(xué)的有效補(bǔ)充。限于篇幅,本文只針對(duì)這些因素進(jìn)行了初步分析。后續(xù),可深入地對(duì)這些參數(shù)的影響規(guī)律以及系統(tǒng)動(dòng)力穩(wěn)定性等方面進(jìn)行研究,以更深層次地把握齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特征。