高 藝，郭志榮，侯 娟，史 芹

(石河子大學 理學院物理系，新疆 石河子 832003)

國際青年物理學家競標賽(IYPT)第35屆(2022年)賽題[1]第七題“Three-Sided Dice：To land a coin on its side is often associated with the idea of a rare occurrence.What should be the physical and geometrical characteristics of a cylindrical dice so that it has the same probability to land on its side and one of its faces?”(三面骰子：在拋硬幣時，硬幣能夠豎著立起來的情況是罕見的。如果一個圓柱狀骰子側面立地和兩底面立地的概率相等，那么這個骰子應當具備什么樣的物理和幾何特征？)。

骰子是具有某種“對稱性”的物體，有質量分布和幾何形狀兩個要素。最簡單的是兩要素非耦合的骰子，即質量分布均勻的規(guī)則體。另外，投擲過程中受作用(如落地撞擊等)而變形也會影響某種概率。本文不討論變形情況，即質量分布均勻剛體圓柱狀骰子。

1 幾何特征

滿足賽題要求的圓柱狀骰子的幾何特征主要是高H和底面半徑R的關系決定。聯(lián)想到投擲球狀物體時，球面上任意點立地的概率相等，設想在柱體外接一球面，如圖1所示，側面和兩底映射到球面上面積相等時，可確定骰子的幾何特征。不難得到

圖1

(1)

這與文獻[2]用計算機模擬得到結果有甚微相差，這個差異是由棱先著地，然后翻向底面或側面的概率不同引起的。

接下來圓柱狀骰子棱上某點觸地會導致概率不均，這也是下文運動特征討論的重點。

2 運動特征

棱觸地后，骰子最終哪面立地，是由觸地初態(tài)和環(huán)境(重力、阻尼)作用下的動力學過程決定，討論簡單，下面在不考慮阻力的情況下，分析柱體狀骰子的穩(wěn)定轉動，然后由轉速與章動角的函數(shù)單調性定性地給出因為運動而導致的概率差異。

2.1 繞體對角線自旋

2.1.1 動力學方程

如圖2所示，建立固定坐標系O-XYZ和本體坐標系o-xyz。觸地點為O點，O與o重合，旋轉軸作為oz。不計阻力，并且節(jié)線與X軸重合時計時，柱體狀骰子的運動學方程為[3]。

圖2 繞對角線自旋

(2)

2.1.2 自旋與進動

采用前文的幾何特征，設柱體繞x，y，z軸的轉動慣量分別是Ix，Iy，Iz。柱體平動動能T1和轉動動能T2分別為

(3)

(4)

取XOY面為零勢面，系勢能為

V=mgHcosθ.

(5)

則圓柱狀骰子運動的拉格朗日方程[4]為

(6)

其中

f(θ)=(mH2+Iy-Iz)cosθ.

(7)

拉氏函數(shù)中不顯含φ和ψ，由φ和ψ循環(huán)坐標可以得到兩個初值決定的積分常數(shù)如下。

(8)

(9)

式(7)可求得進動角速度

(10)

2.1.3 章動

設體系總能量E(初始條件確定)。定義新的能量和有效勢能[5]并對能量式簡化。

(11)

其中

(12)

(13)

由(11)式知V′≤E′，如圖3所示，可得θ1<θ<θ2，這里

圖3 章動角范圍

(14)

2.1.4 概率分析

2.2 繞柱對稱軸自旋

(15)

3 結 語

本文討論了國際青年物理學家競標賽(IYPT)第35屆(2022年)賽題的第七題，圓柱形骰子的幾何參數(shù)和運動特征。在均質剛體圓柱形骰子的假設下，本文認為骰子立地概率主要由幾何特征決定，而運動導致概率變化主要是柱體棱邊著地的時候才出現(xiàn)，因此在不考慮阻力的情況下，就柱棱觸地時能穩(wěn)定不倒的情況進行了轉動運動的分析。結果顯示，棱點觸地后且要滿足很嚴格的運動(轉動)狀態(tài)才能保持穩(wěn)定不倒。在對穩(wěn)定轉動時由角速度與章動角的函數(shù)關系的單調性分析，能獲得轉動角速度小時章動角的變化趨勢可定性地得出立地面的概率差異。當然，更嚴謹?shù)挠懻搼撌侵苯釉诮r就考慮阻力的情況下進行的運動分析，理論分析會復雜很多。