商慧晶，宋 妮，張毅菲

(中北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 太原 030051)

0 引言

1 耦合四階非線性薛定諤方程

主要研究耦合非線性薛定諤(NLS)方程[14],該方程可以用來描述α-螺旋蛋白質(zhì)的能量傳遞：

(1)

式中：qα(x，t)表示第α個脊柱激發(fā)的振幅；x表示距離；t表示延遲時間；*表示復(fù)共軛；γ表示高階線性和非線性效應(yīng)的強(qiáng)度。

基于方程(1),Sun等[15]通過符號計算和二元Bell多項(xiàng)式方法構(gòu)造出該方程的雙線性形式并研究了多孤子解；Du等[14,16]構(gòu)造了廣義Darboux變換,推導(dǎo)出該方程的一階和二階半有理解,并通過這些解對孤子、呼吸子和怪波進(jìn)行分析,隨后,又利用Darboux-dressing變換得到該方程的矢量怪波。

目前,對方程(1)四孤子相互作用的動力學(xué)特性的研究較少,因此,利用廣義Darboux變換求得方程(1)的孤子解,通過數(shù)值模擬,進(jìn)一步豐富了α-螺旋蛋白質(zhì)中四孤子的動力學(xué)特性。

2 廣義Darboux變換

方程(1)所對應(yīng)的線性譜問題或Lax方程為：

Φx=UΦ

(2)

Φt=VΦ

(3)

其中：

方程(1)可由相容性條件Ut-Vx+[U,V]=0得到,Φ=(φ,φ,χ,ψ)T是方程(2)和(3)的本征函數(shù),λ是譜參數(shù)。

構(gòu)造Darboux矩陣：

T[k]=λk+1I-H[k-1]Λ[k]H-1[k-1]

(4)

其中：

I為4×4的單位矩陣,Φk=(φk,φk,χk,ψk)T是方程(2)和(3)對應(yīng)于譜參數(shù)λ=λk和種子解q1=q1[0]、q2=q2[0]和q3=q3[0]的本征函數(shù)。由Darboux矩陣T[k]得到方程(1)的Darboux變換：

ΦN[N-1]=T[N-1]T[N-2]…T[1]ΦN

(5)

(6)

(7)

(8)

基于上述經(jīng)典Darboux變換,構(gòu)造方程(1)的廣義Darboux變換。假設(shè)Ψk=Φk[k-1]|λ=λk+η是方程(2)和(3)對應(yīng)于譜參數(shù)λ=λk+η的一個特解,η=0是一個小參數(shù),在η=0處對Ψk進(jìn)行泰勒展開,得到：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

其中：

δk[N-1]=|φk[N-1]|2+|φk[N-1]|2+|χk[N-1]|2+|ψk[N-1]|2

Φk[N-1]=(φk[N-1],φk[N-1],χk[N-1],ψk[N-1])T

T[1]=I,T[k+N-2]=λkI-H[k+N-3]Λ[k]H-1[k+N-3]

3 四孤子的動力學(xué)特性

假設(shè)方程(1)的種子解為q1[0]=q2[0]=q3[0]=0,并將其代入方程(2)和(3)中,此時得到2個不同的基解矩陣：

其中Φa[0]、Φb[0]分別是方程(2)和(3)在λ=λ1、λ=λ2處的矢量解,sj1、sj2(j=1,2，…,4)是任意復(fù)參數(shù),將Φa[0]和種子解q1[0]、q2[0]、q3[0]代入方程(5)—(8)中,得到方程(1)的一階孤子解為：

(14)

(15)

(16)

Φb[1]=T1[1]Φb[0]=Φb[0]

(17)

當(dāng)Ψ2=Φb[1]|λ=λ2+η在η=0處對其進(jìn)行泰勒展開時,可得：

(18)

由方程(10)—(13)分別得到方程(1)的二階孤子解、三階孤子解、四階孤子解：

(19)

(20)

(21)

對于方程(1)的一階、二階、三階孤子的動力學(xué)行為，Sun等[15]已研究過,這里不再贅述。接下來,通過選取合適的自由參數(shù),分情況討論四階孤子的動力學(xué)特性。

1) 當(dāng)Re(λ1)≠Re(λ2), Lm(λ1)=Lm(λ2)時,分量q1[4]、q2[4]和q3[4]中的四孤子相互作用，發(fā)生彈性碰撞,q3[4]中的孤子振幅最大,q1[4]中的孤子振幅次之,q2[4]中的孤子振幅最小,如圖1所示。若其他參數(shù)不變,取s21=0,則各分量中的四孤子之間存在非彈性碰撞,q1[4]中的孤子相互作用后,其部分孤子發(fā)生退化,如圖2所示。

圖1 當(dāng)時,四階孤子的動力學(xué)演化圖

圖2 當(dāng)s21=0,其余參數(shù)與圖1中的參數(shù)相同時,四階孤子的動力學(xué)演化圖

2) 當(dāng)Re(λ1)=Re(λ2),Lm(λ1)≠Lm(λ2)時,又分為以下2種情況

若Re(λ1)=Re(λ2)≠0,q1[4]、q2[4]、q3[4]在相互作用的過程中發(fā)生了彈性碰撞,q1[4]、q2[4]、q3[4]的動力學(xué)特性基本保持一致,如圖3所示。

圖3 當(dāng)時,四階孤子的動力學(xué)演化圖

若Re(λ1)=Re(λ2)=0,在相互作用的過程中,3個分量形成了一種束縛態(tài),沿t軸方向在x=0處出現(xiàn)周期性的相互吸引與排斥,如圖4所示。若其他參數(shù)不變,取s11=10,得到了不同形狀的四孤子,其中q1[4]與q3[4]中孤子的振幅相同,q2[4]中孤子的振幅較大,如圖5所示。若其他參數(shù)不變,取γ=2,與圖4不同的是其束縛態(tài)的周期變小,峰數(shù)增加,如圖6所示。

圖4 當(dāng)時,四階孤子的動力學(xué)演化圖

圖5 當(dāng)s11=10,其余參數(shù)與圖4中的參數(shù)相同時,四階孤子的動力學(xué)演化圖

圖6 當(dāng)γ=2,其余參數(shù)與圖4中的參數(shù)相同時,四階孤子的動力學(xué)演化圖

4 結(jié)論

利用廣義Darboux變換,在零振幅背景下,對耦合非線性薛定諤方程進(jìn)行求解,通過改變參數(shù)的取值,分析了孤子間相互作用的動力學(xué)特性,包括孤子的彈性碰撞、非彈性碰撞以及束縛態(tài),所得結(jié)果在一定程度上有助于理解α-螺旋蛋白質(zhì)中孤子的動力學(xué)特性。