張建東,王 帥

(江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,江蘇 常州 213001)

0 引言

光學(xué)干涉儀具有亞波長量級的測量能力,在微弱信號檢測方面展現(xiàn)出重要的應(yīng)用價值。傳統(tǒng)的干涉儀使用相干態(tài)作為輸入,其測量精度受限于散粒噪聲極限為干涉儀中的平均光子數(shù))。為進(jìn)一步提升測量精度,需要使用量子態(tài)作為輸入。近年來,許多測量精度能夠突破散粒噪聲極限的方案陸續(xù)被報道,基于N00N態(tài)、雙模壓縮真空態(tài)和糾纏相干態(tài)等量子態(tài)輸入的測量精度甚至能夠?qū)崿F(xiàn)海森堡極限。除了量子態(tài)本身的奇異特性,基于光子數(shù)分辨的測量策略也是測量精度提升的關(guān)鍵。

作為一類常見的光子數(shù)分辨策略,宇稱測量在量子精密測量方面具有至關(guān)重要的作用,其測量算符的形式為Π＝exp(iπn)[4-6]。宇稱測量最早由Bollinger等人在研究原子態(tài)探測時提出[7],隨后被Gerry等人應(yīng)用于相位估計方面[8,9]。對于光學(xué)干涉儀,宇稱測量僅探測并分辨兩個輸出端中任意一端的光子數(shù)。當(dāng)探測到的光子數(shù)為奇(偶)數(shù)時,測量結(jié)果被記為-1(1)。因此,測量信號可以表示為偶數(shù)光子概率與奇數(shù)光子概率的差值,即。

理論上,宇稱測量的實(shí)現(xiàn)僅需要單一的光子數(shù)分辨探測器。但是目前大光子數(shù)的光子分辨仍然是一個難題。為了解決這一問題,Plick等人提出了一種替代的方法,他們使用平衡零差測量重構(gòu)輸出態(tài)的Wigner函數(shù),進(jìn)而間接實(shí)現(xiàn)宇稱測量[10]。另一方面,宇稱測量的理論研究也獲得了大量關(guān)注。先前的研究已經(jīng)建立了基于相空間的計算方法,可以獲得測量信號的解析表示[11]。但是這一方法僅適用于高斯態(tài)輸入的情況[12,13]。最近,基于有序積分算符技術(shù),我們發(fā)展了一種可以用于非高斯態(tài)測量信號的解析計算方法[14]。

目前為止,宇稱測量被廣泛應(yīng)用于線性和非線性干涉儀中,并且被證明是許多測量方案的最佳策略[15]。但是對不同輸出端口實(shí)施宇稱測量是否等價尚未被討論。本文針對這一問題開展研究,分別分析了線性和非線性干涉儀中宇稱測量信號的特點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上,還討論了測量信號與測量精度之間的關(guān)系,并對研究結(jié)果的物理機(jī)制進(jìn)行了分析。

1 線性干涉儀的宇稱測量信號

線性干涉儀也被稱為SU(2)干涉儀[16-18],其結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示。在線性干涉儀中,輸入態(tài)通過線性分束器進(jìn)行分束和合束。一般情況下,這類干涉儀被用來估計兩個干涉臂之間的相位差。根據(jù)SU(2)群理論和算符等式

圖1 線性干涉儀和非線性干涉儀示意圖

整個干涉儀可以被表示為

式中UBS＝exp(-iπJ1/2)和UPS＝exp(-iθJ3)分別是分束器和相位移動的算符化表示,

為角動量分量算符。對于雙模干涉儀(線性和非線性干涉儀),所有涉及的光學(xué)操作均可以通過算符J1、J2和J3進(jìn)行表示。物理上,這些操作對應(yīng)于繞著角動量空間中三個軸的旋轉(zhuǎn)操作[19]。數(shù)學(xué)上,這些操作對應(yīng)的算符是SU(2)群的轉(zhuǎn)動元。因此,光學(xué)操作算符被稱為轉(zhuǎn)動算符或轉(zhuǎn)動元,式(3)中的算符被稱為轉(zhuǎn)動生成算符或轉(zhuǎn)動生成元。

再根據(jù)式(1),可以得到如下關(guān)系式

當(dāng)φ＝π時,式(5)轉(zhuǎn)化為

因此,我們得到

式(7)表明,對于線性干涉儀的兩個輸出端口實(shí)施宇稱測量是等價的。當(dāng)待測相位的平移量為π時,兩個輸出端口的測量信號可以完全重合。

為了檢驗(yàn)上述結(jié)論,圖2展示了兩個典型方案的測量信號[2,20]。對于相干態(tài)輸入的情況,圖2(a)說明B端口的測量信號平移π后可以與A端口的測量信號重合。對于雙模壓縮態(tài)輸入的情況,圖2(b)同樣驗(yàn)證了式(7)的結(jié)論。需要注意的是,雙模壓縮真空態(tài)的方案具有2重分辨特性,即信號中極大值的數(shù)量為相干態(tài)方案的兩倍。因此,平移量為π時,B端口的測量信號與A端口的測量信號和自身均重合。

圖2 線性干涉儀的宇稱測量信號(＝100)

2 非線性干涉儀的宇稱測量信號

非線性干涉儀也被稱為SU(1,1)干涉儀[21,22],其合束與分束由非線性過程(如:四波混頻)實(shí)現(xiàn),結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示。由于分束和合束過程的非線性增益,干涉儀內(nèi)的總光子數(shù)會發(fā)生變化。因此,通常將第一個非線性分束器后的光子數(shù)定義為總光子數(shù)[23-25]。此外,不同于線性干涉儀,非線性干涉儀通常被用來測量干涉臂相對于泵浦光的相位和。

首先考慮SU(1,1)群中的3個轉(zhuǎn)動生成算符

考慮相位移動算符U′PS＝exp[i(θ＋φ)K3],則B端口的測量信號可以表示為

如果兩個端口的宇稱測量是等價的,則必然存在一個常量φ使得恒成立。

基于式(1),式(9)和式(10)中的算符可以改寫為

式中

為了檢驗(yàn)這一結(jié)論,我們同樣分析了兩個典型方案的測量信號[26],如圖3所示。圖3(a)的輸入態(tài)為相干態(tài)和熱態(tài),圖3(b)的輸入態(tài)為壓縮真空態(tài)和熱態(tài)。圖中結(jié)果表明,兩個端口的測量信號不同,并且無法通過平移操作實(shí)現(xiàn)重合。這些結(jié)果均說明:在非線性干涉儀中,對兩個輸出端口實(shí)施宇稱測量并不等價。

圖3 非線性干涉儀的宇稱測量信號

3 原因分析與進(jìn)一步討論

上述章節(jié)展示了線性和非線性干涉儀中的宇稱測量信號。這里首先討論兩種干涉儀之間的區(qū)別。值得注意的是,線性干涉儀中的分束器是無源且平衡的。因此,干涉儀內(nèi)的總光子數(shù)是守恒的。即使兩個端口的入射態(tài)是任意的,兩個干涉臂的平均光子數(shù)是相同的。這是因?yàn)榉质鲗τ趦蓚€模式的算符變換關(guān)系可以表示為

當(dāng)輸入態(tài)經(jīng)過第一個分束器后,兩個干涉臂的平均光子數(shù)差為

這一特性使得兩個端口的測量信號可以通過平移操作而相互重合。

但是對于非線性干涉儀,兩個非線性分束器是有源且非平衡的,它對于兩個模式的算符變換關(guān)系為

式中g(shù)為非線性分束器的增益系數(shù)。

經(jīng)過第一個非線性分束器后,兩干涉臂的平均光子數(shù)差一般不為0。即兩個干涉臂的平均光子數(shù)通常不相同。由于光子數(shù)分布的不對稱性,兩個端口的測量信號不能通過平移操作而重合。特別地,當(dāng)兩個端口輸入態(tài)相同時,兩個干涉臂的平均光子數(shù)差為0。此時可以在兩個干涉臂中獲得對稱的光子數(shù)分布,兩個端口的測量信號能夠重合且無需平移。

在此基礎(chǔ)上,我們對比分析宇稱測量與常規(guī)強(qiáng)度測量的特性。根據(jù)經(jīng)典Fisher信息,宇稱測量的測量精度可以由誤差傳遞公式計算得到

式中θ是待測相位,與最優(yōu)測量精度對應(yīng)的相位值稱為最佳工作點(diǎn)θ0。

如圖2和圖3所示,相比于強(qiáng)度測量,宇稱測量的測量信號具有更加明顯的尖峰,并且測量信號最大值對應(yīng)的相位值恰是最佳工作點(diǎn)。這導(dǎo)致宇稱測量的測量信號具有更窄的半高全寬。一般而言,經(jīng)典干涉測量(相干態(tài)輸入和強(qiáng)度測量)的信號半高全寬被稱為衍射極限[27]。當(dāng)某一方案的分辨率窄于衍射極限時,則被稱為超分辨。容易驗(yàn)證,宇稱測量的信號具有超分辨特性,這種特性在實(shí)際應(yīng)用中可以縮短掃描區(qū)間,具有很大的優(yōu)勢。

另外,式(20)中的分母隨著分辨率的增加而增大,這意味著宇稱測量通常具有優(yōu)于常規(guī)強(qiáng)度測量的測量精度。另一方面,超分辨率也導(dǎo)致了其他問題。如上所述,最佳工作點(diǎn)附近的測量信號具有較大的斜率,確保了測量精度的提高。然而,當(dāng)待測相位偏離最佳工作點(diǎn)時,測量信號的斜率迅速減小,這表明測量精度也將迅速下降。綜上所述,與強(qiáng)度測量相比,宇稱測量通常具有更高的測量精度,但高精度的測量范圍較小。

為了更直觀地理解這一結(jié)論,我們以相干態(tài)輸入的線性干涉儀為例。圖4繪制了不同平均光子數(shù)情況下的測量信號與相應(yīng)的測量精度。從圖4(a)中可以發(fā)現(xiàn),測量方案的信號分辨率隨著平均光子數(shù)的增加而提高。因此,對于最佳工作點(diǎn),高光子方案在測量精度上優(yōu)于低光子方案。然而,當(dāng)待測相位偏離最佳工作點(diǎn)時,高光子方案的測量精度迅速下降。如圖4(b)所示,當(dāng)θ＝0.5時,高光子方案的測量精度甚至不如低光子方案。類似的結(jié)果在使用其他輸入態(tài)的測量方案中也廣泛存在。若要將宇稱測量用于高光子方案,可以通過相位補(bǔ)償或者自適應(yīng)算法使得待測相位處于最佳工作點(diǎn)附近。

圖4 基于相干態(tài)輸入的線性干涉儀性能

在實(shí)際測量系統(tǒng)中,由于光學(xué)器件和周圍環(huán)境的反射和吸收,不可避免地會產(chǎn)生光子損耗現(xiàn)象。對于常規(guī)的強(qiáng)度測量,最佳工作點(diǎn)不隨損耗率而變化。然而,宇稱測量的最佳工作點(diǎn)將在損耗環(huán)境中發(fā)生偏移。

圖5(a)展示了基于雙模壓縮真空態(tài)輸入的線性干涉儀的測量精度。在無損耗情況下,最佳工作點(diǎn)位于π/2,而在損耗環(huán)境下,最佳工作點(diǎn)將偏離π/2。圖5(b)給出了偏移量與平均光子數(shù)和損耗比的關(guān)系,其中θ0-π/2被定義為偏移量。結(jié)果表明,偏移量隨損耗率的增加或者光子數(shù)的減少而增大。

圖5 基于雙模壓縮真空態(tài)輸入的線性干涉儀性能(＝100)

值得注意的是,在基于相干態(tài)的測量方案中,最佳工作點(diǎn)不會發(fā)生偏移。產(chǎn)生這種差異的物理原因是光子損耗破壞了量子態(tài)的相干性,但是相干態(tài)的相干性在光子損耗的情況下保持不變。鑒于宇稱測量的這一特性,在實(shí)際測量中,需要評估平均光子數(shù)和損耗率以確定最佳工作點(diǎn)。

4 結(jié)論

本文研究了線性和非線性干涉儀中的宇稱測量信號特性,重點(diǎn)分析了兩個輸出端口的測量信號之間的等效性。結(jié)果表明,任意輸入態(tài)的情況下,對線性干涉儀兩個端口實(shí)施宇稱測量均等價。然而,只有兩個端口的輸入態(tài)相同的情況下,對非線性干涉儀兩個端口實(shí)施宇稱測量是等價的。此外,我們還通過對一些測量方案的討論,分析了導(dǎo)致這些結(jié)果的原因并探明了線性和非線性干涉儀之間的差異。最后,我們總結(jié)了宇稱測量在分辨率和測量精度方面的特性。研究結(jié)果為基于宇稱測量的實(shí)用化量子精密測量方案設(shè)計提供了理論指導(dǎo)。