何曉勤 (江蘇省昆山市柏廬高級中學(xué) 215300)

1 引言

數(shù)學(xué)方法論是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)造等法則的一門學(xué)問.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能.數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法；提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.用數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)是推進(jìn)素質(zhì)教育和培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種重要途徑.下面以“橢圓的簡單幾何性質(zhì)(第1課時(shí))”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，對用數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行嘗試.

2 基本情況分析

2.1 學(xué)情分析

授課對象為江蘇省三星級普通高中高二理科班，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，具備一定的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中曾簡單運(yùn)用代數(shù)方法研究過圓的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)等，有一定的研究基礎(chǔ)，但真正系統(tǒng)地利用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)還是第一次.

2.2 教材分析

本節(jié)課是新人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第三章“圓錐曲線的方程”第一節(jié)“橢圓”中的“3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)”第1課時(shí).課程標(biāo)準(zhǔn)中對“橢圓”這一節(jié)的目標(biāo)要求是：經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).教材前一節(jié)內(nèi)容是橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，本節(jié)課學(xué)習(xí)運(yùn)用代數(shù)方法研究橢圓的幾何性質(zhì)，為后續(xù)研究雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)乃至一般曲線的性質(zhì)起到重要的示范作用.

2.3 教學(xué)目標(biāo)定位

結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)和上述分析，確定教學(xué)目標(biāo)如下：(1)能在直觀認(rèn)識(shí)橢圓的幾何特征的基礎(chǔ)上，用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等簡單幾何性質(zhì)；(2)通過方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，體會(huì)用曲線的方程研究曲線性質(zhì)的方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng).

2.4 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等).

教學(xué)難點(diǎn) 通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)；理解橢圓的離心率.

2.5 教法教具分析

設(shè)計(jì)探究問題，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究和合作探究；利用現(xiàn)代教學(xué)手段，關(guān)注教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)代教育手段的合理整合.利用幾何畫板軟件感受動(dòng)態(tài)過程，利用實(shí)物投影儀投影學(xué)生的作圖情況，提高課堂效率.

3 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1

前面學(xué)習(xí)了橢圓的哪些知識(shí)？接下來要研究什么？

生：我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，接下來需要研究橢圓的幾何性質(zhì).

追問：如何研究橢圓的幾何性質(zhì)？研究橢圓的哪些性質(zhì)呢？

生1：通過“畫圖→觀察→猜想→證明”來研究橢圓的形狀、大小、對稱性、特殊點(diǎn)等.

(考慮到時(shí)間問題，課前預(yù)習(xí)已經(jīng)布置學(xué)生畫好橢圓了)

設(shè)計(jì)意圖

從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓的定義和方程，并引出今天的研究任務(wù)——橢圓的簡單幾何性質(zhì).明確研究的基本思路和方法是先“形”后“數(shù)”，即在觀察圖形的形狀和特征的基礎(chǔ)上提出猜想，再通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行計(jì)算和推理,提升歸納猜想能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.2 數(shù)學(xué)探究，解決問題

師：為了研究問題的方便，先以橢圓為例，我們來探究其簡單幾何性質(zhì).

探究點(diǎn)1

橢圓的范圍.

問題2

橢圓的范圍是指什么？它具有怎樣的范圍？能用方程給出證明嗎？

通過討論得出，利用代數(shù)的方法研究曲線的范圍就是利用方程確定曲線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍.

生2：利用和即設(shè)

P

(

x

,

y

)是橢圓上任意一點(diǎn)，由可得即-

a

≤

x

≤

a.

同理-

b

≤

y

≤

b.

生3：利用函數(shù)思想，與函數(shù)和的定義域、值域聯(lián)系.

生4：利用三角函數(shù)的有界性，觀察方程的形式，由聯(lián)系到和

學(xué)生活動(dòng)1 畫出直線

x

=±

a

和

y

=±

b

所圍成的矩形區(qū)域，體驗(yàn)橢圓的范圍.師：由此可見，橢圓位于直線

x

=±

a

和

y

= ±

b

所圍成的矩形區(qū)域(含邊界)內(nèi).研究橢圓的范圍給我們帶來了方便，如便于畫橢圓的草圖.

設(shè)計(jì)意圖

明確研究曲線的范圍實(shí)質(zhì)上是研究什么以及怎樣進(jìn)行研究.學(xué)生先觀察圖形歸納出橢圓的范圍，再利用方程進(jìn)行證明，體會(huì)到方程研究性質(zhì)的作用，最后再作圖體驗(yàn)范圍的應(yīng)用，體現(xiàn)了“形→數(shù)→形”的探究過程.

探究點(diǎn)2

橢圓的對稱性.

問題3

觀察橢圓的形狀，它具有怎樣的對稱性？在平面直角坐標(biāo)系中，如何證明一個(gè)圖形關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)對稱呢？

由于學(xué)生對利用代數(shù)法證明圖象的對稱性不熟悉，教師進(jìn)一步追問引導(dǎo)學(xué)生思考.

追問：橢圓方程中，把

x

換成-

x

，方程是否改變？這說明什么？

(指明圖形對稱的本質(zhì)是點(diǎn)的對稱，強(qiáng)調(diào)“任意取一點(diǎn)”，并引導(dǎo)學(xué)生從方程角度判斷曲線的對稱性)

橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.

設(shè)計(jì)意圖

明確曲線對稱性的實(shí)質(zhì)以及怎樣通過方程判斷曲線是否關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)對稱.學(xué)生由形歸納出橢圓的對稱性不難，但用代數(shù)法證明具有一定的難度；通過追問引導(dǎo)，讓學(xué)生感知如何通過方程來研究橢圓的對稱性.

探究點(diǎn)3

橢圓的頂點(diǎn).

問題4

觀察圖形，你覺得經(jīng)過哪些比較特殊的點(diǎn)？它們的坐標(biāo)是什么？你能通過方程給出證明嗎？生5：結(jié)合圖形，得出

x

軸和

y

軸為橢圓的對稱軸，故橢圓與

x

軸和

y

軸的四個(gè)交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn).教師通過舉出坐標(biāo)軸不為對稱軸的橢圓，讓學(xué)生體會(huì)橢圓與其對稱軸的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn).同時(shí)，引出橢圓的長軸和短軸的概念，明確方程中參數(shù)

a

,

b

的幾何意義.

設(shè)計(jì)意圖

明確曲線頂點(diǎn)的含義以及通過方程研究曲線頂點(diǎn)的思路和方法.

學(xué)生活動(dòng)2 利用描點(diǎn)法作出下列橢圓的草圖：

設(shè)計(jì)意圖

學(xué)生動(dòng)手操作，運(yùn)用幾何性質(zhì)作出橢圓的草圖，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.給出的兩個(gè)橢圓的“圓扁”程度不同，為下面引入橢圓的離心率埋下伏筆.

探究點(diǎn)4

橢圓的離心率.

問題5

所有的圓都是相似的，那橢圓呢？橢圓有的比較“圓”，有的比較“扁”，從方程角度看，用什么量來刻畫橢圓的“扁”的程度呢？

生6：可用的大小衡量橢圓的扁平程度.

生7：可用的大小衡量橢圓的扁平程度.

教師給予肯定.事實(shí)上，用

a

，

b

，

c

中任意兩者的比值來衡量橢圓的扁平程度都可以.但我們?yōu)槭裁催x擇來刻畫橢圓的扁平程度呢？因?yàn)?p>a

和

c

是橢圓定義中的原始量，另外也為了方便后續(xù)研究圓錐曲線的統(tǒng)一定義.事實(shí)上，橢圓的離心率是焦距與長軸長的比值，即追問：離心率

e

的大小如何影響橢圓“扁”的程度呢？

(先獨(dú)立思考，再小組合作探究)

生8：(提出猜想)離心率越小，橢圓越接近于圓；離心率越大，橢圓越扁.

生9：(實(shí)驗(yàn)操作)用幾何畫板驗(yàn)證猜想的正確性.

設(shè)計(jì)意圖

曲線的形狀是曲線的重要性質(zhì)，它是由曲線方程的參數(shù)確定的.以此為載體，既學(xué)習(xí)如何刻畫橢圓的形狀，又學(xué)習(xí)如何用曲線方程中的參數(shù)刻畫曲線的形狀.學(xué)生通過獨(dú)立思考和合作探究，經(jīng)歷從猜想、驗(yàn)證到論證的思維過程，以此培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣.

學(xué)生活動(dòng)3 填表(表略)，總結(jié)和對比兩種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下橢圓的幾何性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖

通過填表，一方面讓學(xué)生鞏固橢圓的幾何性質(zhì)；另一方面讓學(xué)生類比已有的知識(shí)，研究橢圓的幾何性質(zhì).

3.3 數(shù)學(xué)應(yīng)用，內(nèi)化遷移

例題

求橢圓25

x

+16

y

=400的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖

掌握橢圓的幾何性質(zhì)，促進(jìn)知識(shí)向技能遷移.

3.4 回顧反思，總結(jié)提升

問題6

這節(jié)課我們研究了曲線的哪些性質(zhì)？推導(dǎo)這些性質(zhì)我們用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

生10：(知識(shí))橢圓的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率．對橢圓知識(shí)的學(xué)習(xí)過程：定義→方程→幾何性質(zhì).

生11：(方法)經(jīng)歷由觀察圖形歸納出曲線的性質(zhì)，再用曲線的方程證明曲線的性質(zhì)，即運(yùn)用代數(shù)方法(即坐標(biāo)法)解決幾何問題.

生12：(思想)數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、類比法、函數(shù)與方程等.

設(shè)計(jì)意圖

以回顧反思為契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，深化知識(shí)的形成過程，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，掌握研究的方法和思路，拓展思維角度，提高思維層次.

3.5 作業(yè)分層，因材施教

必做部分：課本第112頁練習(xí)第1，2，3，4，5題.

選做部分：收集有關(guān)笛卡爾與解析幾何、費(fèi)馬與解析幾何的資料，了解與本節(jié)課有關(guān)的數(shù)學(xué)史知識(shí)，撰寫數(shù)學(xué)小論文.

設(shè)計(jì)意圖

通過課后作業(yè)鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)和方法，并留下一個(gè)開放性的數(shù)學(xué)寫作作業(yè)，讓學(xué)習(xí)和探究延伸到課外，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，做到因材施教.

4 教學(xué)反思

4.1 基于數(shù)學(xué)方法論設(shè)計(jì)教學(xué)過程，滲透解析幾何核心思想

數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立了平面直角坐標(biāo)系，使得用代數(shù)方法(即坐標(biāo)法)研究幾何問題成為解析幾何的核心思想.本節(jié)課從“觀察橢圓→歸納橢圓的性質(zhì)→運(yùn)用方程論證猜想”這條主線出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)，橢圓的所有幾何性質(zhì)都是先歸納再證明的，充分體現(xiàn)了橢圓的幾何性質(zhì)在“數(shù)”和“形”上的本質(zhì)聯(lián)系，讓學(xué)生掌握利用代數(shù)方法研究幾何圖形的一般思路和方法.整個(gè)探究過程始終運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.正如華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”有了本次數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以自主探究雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì).

4.2 基于數(shù)學(xué)方法論設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，改善學(xué)生數(shù)學(xué)抽象方法

林崇德教授在研究中國學(xué)生核心素養(yǎng)時(shí)提到：勇于探究，重點(diǎn)是具有好奇心和想象力；能不畏困難，有堅(jiān)持不懈的探索精神；能大膽嘗試，積極尋求有效的問題解決方法等.本節(jié)課中，橢圓幾何性質(zhì)的得出，均先由學(xué)生自主思考或合作探究，然后教師適當(dāng)點(diǎn)撥，最后由學(xué)生歸納總結(jié)形成.讓學(xué)生參與知識(shí)發(fā)現(xiàn)、發(fā)生、發(fā)展的全過程，既培養(yǎng)了合作意識(shí)和交流表達(dá)能力，又加深了對知識(shí)的理解與記憶.而探究活動(dòng)本身，促使學(xué)生自覺地融入數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升過程之中.

4.3 基于數(shù)學(xué)方法論設(shè)計(jì)思維過程，發(fā)展學(xué)生直觀想象水平

我國數(shù)學(xué)家徐利治先生在文章《談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗(yàn)》中提出“重視直觀”：在科學(xué)研究中，我常常借助于由經(jīng)驗(yàn)獲得的直觀能力，以猜測的方式去探索某些可能取得的成果.對學(xué)生來說，橢圓的離心率是一個(gè)全新的概念，這是本節(jié)課一個(gè)難點(diǎn).為了突破這個(gè)難點(diǎn)，通過學(xué)生自己動(dòng)手畫出不同的橢圓，由圖歸納出橢圓的“圓扁”程度與

a

,

b

,

c

中任意兩者的比值有關(guān)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納猜想能力.通過交流與合作，最后回歸本質(zhì)，抽象出離心率的概念.從概念層面看，豐富表征、完善結(jié)構(gòu)，便于概念抽象；從思想方法看，以形助數(shù)、數(shù)形溝通，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合；從心理學(xué)角度看，用圖思考、形象直觀，有助于建立信心.

4.4 基于數(shù)學(xué)方法論設(shè)計(jì)問題鏈，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維能力

著名數(shù)學(xué)家P.Harmous強(qiáng)調(diào)“問題是關(guān)鍵”，數(shù)學(xué)概念、定理、模型和應(yīng)用都是在解決問題的過程中總結(jié)形成的.以問題鏈為載體的數(shù)學(xué)教學(xué)能在一定程度上促進(jìn)教師課堂指導(dǎo)基礎(chǔ)上的學(xué)生探究學(xué)習(xí)，使學(xué)生在明確知識(shí)內(nèi)涵的基礎(chǔ)上提高思維能力.因此，將數(shù)學(xué)方法論原理滲透在問題鏈教學(xué)中，用方法論指導(dǎo)數(shù)學(xué)問題鏈的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)化.本節(jié)課在數(shù)學(xué)方法論的指導(dǎo)下，設(shè)計(jì)了一系列的問題鏈，將數(shù)學(xué)思想方法滲透到具體知識(shí)內(nèi)容中，讓學(xué)生不斷地處于問題探究的過程之中.學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂，在課堂中不斷提出新問題、解決新問題，最后又帶著“新的問題”走出課堂，整個(gè)過程中數(shù)學(xué)方法論扮演了重要角色.

4.5 基于數(shù)學(xué)方法論營造和諧氣氛，助推邏輯推理培育

邏輯推理是科學(xué)研究的核心素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，邏輯推理素養(yǎng)的養(yǎng)成有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)結(jié)論的來龍去脈，形成舉一反三的能力；有利于學(xué)生形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習(xí)慣.本節(jié)課把思考的時(shí)間留給學(xué)生，把提問的權(quán)力交給學(xué)生，把講解的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地探究知識(shí)，在探究過程中提升了邏輯推理能力.

5 結(jié)束語

數(shù)學(xué)方法論為學(xué)生的思考與探索提供了理論基礎(chǔ).以數(shù)學(xué)方法論指引高中數(shù)學(xué)教學(xué)，要求每位教師在每堂數(shù)學(xué)課中滲透數(shù)學(xué)思想方法以培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這一過程不是一蹴而就的，需要教師時(shí)刻關(guān)注并付出行動(dòng).