200041 上海市教育委員會(huì)教學(xué)研究室 方耀華

在開展“概率初步”單元教學(xué)之前，需要明晰教學(xué)中可能會(huì)遇到的一些問題和困難.例如，學(xué)生在初中階段對(duì)“概率初步”掌握到什么程度？如何讓學(xué)生更快更好地進(jìn)入高中“概率初步”的學(xué)習(xí)？是否需要在概率學(xué)習(xí)之前補(bǔ)充“計(jì)數(shù)原理、排列組合”的內(nèi)容？“獨(dú)立性”的定義是基于“條件概率”的，那么在沒有“條件概率”的情況下，如何開展“隨機(jī)事件的獨(dú)立性”教學(xué)？

基于上述問題，筆者旨在結(jié)合深度學(xué)習(xí)的理念與特征，通過對(duì)滬教版九年義務(wù)教育課本《數(shù)學(xué)》八年級(jí)第二學(xué)期(試用本)(以下簡稱“初中教材”)、滬教版新教材《數(shù)學(xué)》必修第三冊(cè)(以下簡稱“高中教材”)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行解析，在單元中設(shè)計(jì)有特點(diǎn)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，為高中數(shù)學(xué)教師落實(shí)新課程理念、理解新教材內(nèi)容提供教學(xué)建議.

一、基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)開展單元教學(xué)內(nèi)容解析

作為深度學(xué)習(xí)的特征之一，聯(lián)想與結(jié)構(gòu)強(qiáng)調(diào)要基于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)開展單元、主題教學(xué).在開展“概率初步”這一章單元設(shè)計(jì)之初，比較、研究上海學(xué)生初中所學(xué)的概率內(nèi)容與高中即將學(xué)習(xí)的概率內(nèi)容很有必要.表1主要梳理了初中教材八年級(jí)第二學(xué)期第23章“概率初步”中各節(jié)相應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容、這些內(nèi)容在高中教材的課時(shí)位置以及它們的不同之處.

1.2 試驗(yàn)地點(diǎn) 試驗(yàn)地設(shè)在紅塔區(qū)研和街道賈井村委會(huì)玉溪市農(nóng)業(yè)科學(xué)院試驗(yàn)基地，土壤為褐壤土，肥力中上等且均勻，前作為玉米，排灌方便。

表1 初中教材概率內(nèi)容與高中教材概率內(nèi)容的聯(lián)系與區(qū)別

以表1為基礎(chǔ)，結(jié)合新教材的內(nèi)容，可以更好把握高中概率單元教學(xué)的重點(diǎn).章首語和“12.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象”是本單元起始課的內(nèi)容，在起始課中，教師可以通過豐富的實(shí)例，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象在自然界、社會(huì)中普遍存在，初步了解概率論的起源與發(fā)展歷史，感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.章首語中寫道：“第一次接觸隨機(jī)現(xiàn)象，真正理解起來可能并不容易，和學(xué)習(xí)以往的內(nèi)容不同，不僅要換一種思路，而且要換一套語言.”學(xué)生能夠比較容易地理解隨機(jī)現(xiàn)象是不確定的，但最終它要么發(fā)生、要么不發(fā)生，一切皆有可能，結(jié)果不確定，這與之前研究的數(shù)學(xué)問題的結(jié)果基本都是確定的有較大差異.因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生理解概率主要研究的是隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性的規(guī)律.與初中的起始課教學(xué)略有不同，可以簡單介紹概率公理化的學(xué)習(xí)路徑，即“背景—定義(古典定義與統(tǒng)計(jì)定義)—性質(zhì)(四條性質(zhì)、獨(dú)立性)—簡單應(yīng)用(至選擇性必修‘概率初步續(xù)’)”.在此過程中體現(xiàn)學(xué)習(xí)概率能夠解決現(xiàn)實(shí)世界中許多不確定的問題，尤其可以舉幾個(gè)直覺與理論結(jié)果有沖突的經(jīng)典問題(蒙提霍爾三門問題、先勝一局的分獎(jiǎng)金問題等)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本單元的興趣.

(1)拋擲一枚硬幣，觀察朝上的面.

Other hypothesis that may explain pancreatic injury in patients suffering from septic shock.

從表1中可以發(fā)現(xiàn)，從背景概念起，高中教材的內(nèi)容與初中教材相比有很大的不同.一是引入了“樣本空間”和“基本事件(樣本點(diǎn))”的概念，其意圖是用高中所學(xué)的集合的語言來刻畫隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)事件.有了集合語言的幫助，描述隨機(jī)事件變得嚴(yán)謹(jǐn)且簡潔，可以通過集合的關(guān)系和運(yùn)算促進(jìn)對(duì)事件之間的關(guān)系和運(yùn)算的理解，將復(fù)雜的事件變?yōu)楹唵蔚氖录倪\(yùn)算結(jié)果來處理，也為后續(xù)研究隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的函數(shù)做鋪墊.但是需要注意，高中教材中的隨機(jī)事件被看作樣本空間的一個(gè)子集，它包含著必然事件和不可能事件，這與初中教材中對(duì)隨機(jī)事件的定義是不同的.因此，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率可以取值為0或1，而不是初中教材中的0

(1)基坑的周圍具有一個(gè)邊界效應(yīng),即在基坑外的濕陷量量會(huì)迅速的減小，而基坑內(nèi)部中心點(diǎn)沉降量最大，其沉降量沿半徑方向較為均勻的減小。

在學(xué)習(xí)主題的引領(lǐng)下，本單元重要的單元學(xué)習(xí)目標(biāo)之一(篇幅所限，其他目標(biāo)不羅列)為懂得集合語言是描述和研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要工具，會(huì)用集合語言表示具體實(shí)例中的樣本空間、基本事件(樣本點(diǎn))、事件等，能類比集合之間的關(guān)系和運(yùn)算理解事件之間的關(guān)系和運(yùn)算，將復(fù)雜問題簡單化.

初中教材在給出了“概率”的描述性定義后，結(jié)合具體實(shí)例，立即介紹了“頻數(shù)”和“頻率”，并說明通常把某事件在大數(shù)次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為這個(gè)事件概率的估計(jì)值.然后將其進(jìn)一步抽象、理想化到研究等可能試驗(yàn)下的概率，但并未提及“古典概率模型”的名稱.接下來就是對(duì)一系列具體實(shí)例中古典概率(包括幾何概型)的求解，總結(jié)了解決問題的方法“枚舉法”及其表示形式“樹形圖”.由于“計(jì)數(shù)原理、排列組合”的內(nèi)容被放在選擇性必修學(xué)習(xí)主題中，故高中必修部分的概率計(jì)算大都與初中類似，依舊強(qiáng)調(diào)枚舉法(樹形圖)在解決問題中的作用，只是在解決問題的過程中更多使用集合語言描述問題(樣本空間、樣本點(diǎn)等).從課標(biāo)與教材的官方解讀中也可以發(fā)現(xiàn)，必修部分中的“概率初步”將學(xué)習(xí)重點(diǎn)更多放在概念和思想方法的形成上，不希望排列組合的各種技巧、方法沖淡教學(xué)重點(diǎn).在“12.2.2等可能性(續(xù))”這一小節(jié)中，高中教材也潛移默化地介紹了部分運(yùn)用乘法原理計(jì)算樣本空間的元素個(gè)數(shù)的方法，但并未提及“乘法原理”這一名詞.

從表2統(tǒng)計(jì)的相關(guān)實(shí)例內(nèi)容可知，初中學(xué)生已有豐富的實(shí)例基礎(chǔ)，涵蓋了高中幾乎所有的實(shí)例背景.由此可見，在高中的教學(xué)中，應(yīng)更突出抽象的模型思想，可以在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)初中的這些實(shí)例的聯(lián)系.只需通過最簡單的實(shí)例把握要研究的問題所對(duì)應(yīng)模型的核心知識(shí)、思想方法，就可以解決一類相關(guān)的現(xiàn)實(shí)問題.

表2 初高中教材中古典概率模型的相關(guān)實(shí)例

問題2在上述隨機(jī)現(xiàn)象中，基本事件有哪些？如何表示這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間？

在高中“頻率與概率”的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于頻率一詞并不陌生，也了解頻率是概率的估計(jì)值.高中的教學(xué)增加了“伯努利試驗(yàn)”“伯努利大數(shù)定律”的內(nèi)容，對(duì)頻率的闡述更加清晰、準(zhǔn)確.與初中教材只安排半個(gè)課時(shí)左右講解頻率與概率的關(guān)系不同，高中教材要求在一個(gè)課時(shí)內(nèi)讓學(xué)生更好地理解頻率的隨機(jī)性和穩(wěn)定性.高中教材中，歷史上數(shù)學(xué)家拋擲硬幣試驗(yàn)的數(shù)據(jù)略少于初中教材，缺了德·摩根的試驗(yàn)數(shù)據(jù)(如表3所示).雖然較好地體現(xiàn)了試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越“逼近”概率，但是從頻率隨機(jī)性的角度看，依舊需要通過其他例子來幫助學(xué)生理解.

表3

在高中教材對(duì)“頻率”概念的描述“獨(dú)立地重復(fù)一個(gè)伯努利試驗(yàn)”中，“獨(dú)立”和“重復(fù)”這兩個(gè)關(guān)鍵詞是需要關(guān)注的.對(duì)于“重復(fù)”，需要更寬泛地加以理解.例如，面對(duì)教材課后練習(xí)中的種子發(fā)芽問題，對(duì)每顆種子來說，發(fā)芽或不發(fā)芽是不可重復(fù)的，但是，可以將這一批的多顆種子的發(fā)芽或不發(fā)芽看作是重復(fù)的實(shí)驗(yàn)，進(jìn)而求解其頻率.教材要求在教學(xué)時(shí)按字面意義理解“獨(dú)立”，因?yàn)樵诤笠还?jié)(12.4)中學(xué)生就會(huì)對(duì)隨機(jī)事件的獨(dú)立性展開學(xué)習(xí).教師可以將12.2與12.4兩節(jié)內(nèi)容整合起來.為體現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，約定事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件A∪B為事件A，B的“和事件”，由“可加性”，兩個(gè)互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率是這兩個(gè)事件的概率之和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)(其中一些名稱在高中教材中并未出現(xiàn)，為幫助教師理解內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，故給出，后文亦如此).再約定事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件A∩B為事件A，B的“積事件”，由“獨(dú)立性”，兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率是這兩個(gè)事件的概率之積，即P(A∩B)=P(A)P(B).“互斥”關(guān)系下“和事件”的概率等于概率之和，“獨(dú)立”關(guān)系下“積事件”的概率等于概率之積，兩者形成很好的呼應(yīng).

高中必修教材中對(duì)“獨(dú)立”的理解僅停留在兩個(gè)事件(或多個(gè)事件中兩兩之間)是否發(fā)生互不影響，從特殊的例子抽象出(相互)獨(dú)立所滿足的定義(公式)，再探究兩個(gè)(相互)獨(dú)立的事件所滿足的性質(zhì)及其應(yīng)用，在選擇性必修教材的“條件概率”處再對(duì)事件的獨(dú)立性作補(bǔ)充說明.這也體現(xiàn)了教材先特殊后一般、螺旋上升的認(rèn)知策略.

陽新那事兒都過去十年了，冇想到今朝話趕話，大梁把這陳年舊賬都翻出來了。他隨即覺會(huì)到傷了我，連忙說：“我脾氣急你莫見怪，我是怕你吃虧。那東洋人個(gè)個(gè)歹毒，去那兒能有個(gè)好的？你不為了我著想，也要為槐生著想啊。”

1、油菜苗移栽成活后，及時(shí)用淡水糞兌碳銨淋苗促早發(fā)，在移栽后一個(gè)月左右時(shí)應(yīng)及時(shí)培土壅蔸，防止年后植株倒伏。

圖1

初中教材要求用一課時(shí)學(xué)習(xí)“事件發(fā)生的可能性”，即判斷現(xiàn)實(shí)世界中一些隨機(jī)事件可能性的大小.之后，教材給出概率的描述性定義——用來表示某事件發(fā)生的可能性大小的數(shù).高中教材在邊款也說明可以從直觀的角度使用“概率”這個(gè)名詞.因此，教師在教學(xué)時(shí)依舊可以沿用初中的描述性定義，或用高中教材概率章節(jié)最后的內(nèi)容提要中的描述——概率是衡量一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量.

二、基于學(xué)習(xí)主題開展單元學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)

深度學(xué)習(xí)的又一重要特征是活動(dòng)與體驗(yàn).在確定了本單元的核心內(nèi)容、重要思想方法后，教師需要設(shè)計(jì)有針對(duì)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)幫助學(xué)生掌握教學(xué)重點(diǎn)，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn).如何設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的必要性？如何設(shè)計(jì)系列學(xué)習(xí)活動(dòng)讓學(xué)生反復(fù)感悟本單元核心的知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法？如何在學(xué)習(xí)活動(dòng)中融入信息技術(shù)和數(shù)學(xué)文化？這些問題都是在設(shè)計(jì)單元學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)需要深入思考的.

從“認(rèn)識(shí)概率”開始，用集合語言表達(dá)、計(jì)算和理解概率問題是貫穿整個(gè)單元學(xué)習(xí)始終的.在單元學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)中，尤其是在前期“認(rèn)識(shí)概率”“計(jì)算概率”階段，通過大量的實(shí)例，教師設(shè)計(jì)問題引導(dǎo)學(xué)生用集合語言進(jìn)行交流與表達(dá)非常重要.例如，“樣本空間與事件”一課的教學(xué)中涉及樣本空間與基本事件的定義——一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中依某個(gè)角度觀察其所有可能出現(xiàn)(發(fā)生)的結(jié)果所組成的集合稱為一個(gè)樣本空間，用Ω表示，其中的元素稱為基本事件或者樣本點(diǎn).教師可以設(shè)計(jì)問題鏈，在師生對(duì)話中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該定義進(jìn)行準(zhǔn)確理解.

教學(xué)片段(選自上?？罩姓n堂的教學(xué)設(shè)計(jì)案例)

(2)對(duì)“03 制動(dòng)電子裝置”執(zhí)行“控制單元自診斷>基本設(shè)置”，通道輸入 60，點(diǎn)擊選擇通道(圖6)。

情境連續(xù)射擊一個(gè)目標(biāo)5次，觀察命中的次數(shù).

問題1在上述隨機(jī)現(xiàn)象中，所有可能出現(xiàn)(發(fā)生)的結(jié)果有哪些？在射擊之前，是否可以預(yù)知會(huì)出現(xiàn)(發(fā)生)哪一種結(jié)果？

師：在上述隨機(jī)現(xiàn)象中，射中1次和射中2次的情況是否會(huì)同時(shí)發(fā)生？

生：連續(xù)射擊一個(gè)目標(biāo)5次，命中次數(shù)的結(jié)果共有6種——0，1，2，3，4，5.但是在射擊之前，我們無法預(yù)知命中的次數(shù).

生：在這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的6個(gè)結(jié)果中，射中1次和射中2次的情況不會(huì)同時(shí)發(fā)生.

三是積極培育內(nèi)部人才市場，完善人才內(nèi)部流動(dòng)機(jī)制。逐步建立分區(qū)域、分板塊，有形和無形市場相結(jié)合的人才市場體系，不斷完善市場功能，擴(kuò)大信息量，增加覆蓋面，進(jìn)一步疏通三支隊(duì)伍之間、板塊之間、企業(yè)之間的人才流動(dòng)渠道，促進(jìn)人才系統(tǒng)內(nèi)部合理流動(dòng)，減少人才流失。

師：這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6個(gè)，也就是說所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是明確可知的.6個(gè)結(jié)果中，任何兩個(gè)都不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)，也就是說結(jié)果與結(jié)果之間是互斥的.隨機(jī)現(xiàn)象可能發(fā)生的結(jié)果的特征，與集合中元素具有確定性和互異性相類似.

然后，教師可以給出樣本空間和基本事件的定義，并追問.

在高中“古典概率”的教學(xué)中，應(yīng)創(chuàng)造更多的機(jī)會(huì)讓學(xué)生用集合的語言來描述問題解決的過程，類比集合的關(guān)系和運(yùn)算，研究事件的關(guān)系和運(yùn)算，以“古典概率”這一特殊的也是概率發(fā)展最初的模型理解并掌握概率的四條性質(zhì).教師也應(yīng)該讓學(xué)生了解高中教材第104頁提到的概率最核心的三條性質(zhì)，它們不限于古典概型，其可加性在計(jì)算概率時(shí)是重要的基礎(chǔ)，教材也將其稱為概率最本質(zhì)的性質(zhì).

課標(biāo)指出，概率的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，為從不確定性的角度認(rèn)識(shí)客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法.“概率初步”整章的學(xué)習(xí)，其實(shí)就是建立研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)模型的過程，從“認(rèn)識(shí)概率”(知道概率的背景與語言，特別是集合語言)，到“計(jì)算概率”(發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納定義與性質(zhì))，再到“理解概率的意義”(頻率的穩(wěn)定性是以頻率定義概率的理論基礎(chǔ)，事件發(fā)生的可能性大小是客觀存在的，是可以度量的).在這個(gè)過程中，用集合的語言表達(dá)和理解事件之間的關(guān)系是至關(guān)重要的.在從特殊到一般的教學(xué)思想下，不斷地、反復(fù)地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)、解釋描述現(xiàn)象的本質(zhì)是加深學(xué)生對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象認(rèn)識(shí)和理解的必經(jīng)之路.故而將本單元的學(xué)習(xí)主題凝煉為“類比集合學(xué)概率，解釋表達(dá)促理解”，重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)和數(shù)學(xué)表達(dá)能力.本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示.

通過特殊的例子，自然地建立隨機(jī)現(xiàn)象與集合之間的聯(lián)系，為后續(xù)對(duì)隨機(jī)事件進(jìn)行數(shù)學(xué)刻畫(事實(shí)上隨機(jī)事件是樣本空間的子集)奠定基礎(chǔ).

例1寫出下面隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間.

“近段時(shí)間紅磚供不應(yīng)求，我們通過曹妃甸、盤錦，以及新開的錦州、黃驊航線，用集裝箱將紅磚運(yùn)到大麥嶼港區(qū)，供應(yīng)溫臺(tái)市場。”浙江大麥嶼港務(wù)有限公司市場總監(jiān)陳淑衛(wèi)告訴記者，目前每個(gè)月單單紅磚，大麥嶼港區(qū)就要輸送1000來個(gè)集裝箱。

(2)拋擲一顆骰子(每一面上分別標(biāo)注數(shù)字1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的小正方體)，觀察朝上的點(diǎn)數(shù).

(3)從裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3的三個(gè)球的袋子中依次取兩個(gè)球(第一次取出的球不再放回)，觀察標(biāo)號(hào)，考慮標(biāo)號(hào)順序.

(4)從裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3的三個(gè)球的袋子中依次取兩個(gè)球(第一次取出的球不再放回)，觀察標(biāo)號(hào)，不考慮標(biāo)號(hào)順序.

陡河水庫主壩段壩基砂層采用反濾排水加圍封及一級(jí)臺(tái)地設(shè)減壓井的方法，有效地減輕了壩基內(nèi)部砂層的孔隙水壓力，及時(shí)排出砂層滲水。近年先后完成了下游壩體反濾護(hù)坡、一級(jí)臺(tái)地排水溝、三角堰的反濾層更新改造建設(shè)，進(jìn)一步提高了壩體壩基排水效果，使壩基砂層內(nèi)部孔隙水壓力得到有效釋放。

這么說來，難道《水滸傳》就不宜讀了？不然。施耐庵的行文結(jié)構(gòu)是超前的，如果對(duì)《水滸傳》故事進(jìn)行多個(gè)板塊的切割，那么每個(gè)板塊里，大都在無形之中運(yùn)用了一鏡到底的表現(xiàn)手法，從人物出現(xiàn)到故事串聯(lián)，一氣呵成，使得讀者的視角轉(zhuǎn)換平滑順達(dá)，仿佛置身其境。鮑鵬山同樣注意到了這一點(diǎn)，在六回的總評(píng)中有“《水滸傳》的結(jié)構(gòu)有點(diǎn)像接力賽跑。故事的接力棒從王進(jìn)手中交給史進(jìn)，又從史進(jìn)手中交給魯達(dá)”。

(5)連續(xù)擲一顆骰子，直到點(diǎn)數(shù)6出現(xiàn)為止，觀察擲的次數(shù).

(6)向一面墻隨機(jī)擲飛鏢，觀察其在墻面上的落點(diǎn).

例1的作用是讓學(xué)生針對(duì)具體的隨機(jī)現(xiàn)象，用集合語言描述其樣本空間和基本事件.教師應(yīng)在此過程中讓學(xué)生充分討論，積累隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).對(duì)于小問(1)，拋擲硬幣正面、反面朝上可以簡記為“H,T”或者“0，1”.對(duì)于小問(3)、小問(4)，可以用有序數(shù)對(duì)“(1,2),(2,1)”或體現(xiàn)無序的“1*2”分別表示其基本事件.另外，可以通過變式讓學(xué)生更好地理解定義中“依某個(gè)角度觀察”的含義，其本質(zhì)就是確定集合中元素的條件.比如，在拋擲一顆骰子的情境中，在“朝上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)”或“朝上的點(diǎn)數(shù)是質(zhì)數(shù)，還是合數(shù)及其他”的不同觀察角度下，會(huì)得到不同的樣本空間.

理解頻率的穩(wěn)定性是“理解概率”的重要基礎(chǔ)，因此，“頻率與概率”的教學(xué)需要盡可能地讓學(xué)生親身體驗(yàn)，通過操作實(shí)驗(yàn)活動(dòng)促進(jìn)他們對(duì)知識(shí)的理解.對(duì)于古典概率中經(jīng)典的拋硬幣試驗(yàn)，可以設(shè)計(jì)課前小組活動(dòng)，學(xué)生分工合作，記錄拋硬幣的次數(shù)及正面向上的次數(shù)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家鍥而不舍、精益求精地追求真理的過程.然后運(yùn)用信息技術(shù)，借助計(jì)算機(jī)軟件或計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬該試驗(yàn).信息技術(shù)的優(yōu)勢是可以很快完成大數(shù)次的試驗(yàn)得到結(jié)果，從而發(fā)現(xiàn)伯努利大數(shù)定律的結(jié)論.教師還可以對(duì)學(xué)生容易產(chǎn)生思維沖突的問題進(jìn)行模擬試驗(yàn)檢驗(yàn)，如拋擲兩枚硬幣，樣本空間{兩正，一正一反，兩反}為什么不是等可能的樣本空間.雖然在之前古典概率的學(xué)習(xí)中教師做過解釋，但沒有什么比親身實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果更能說服學(xué)生.對(duì)于起始課中介紹的一些反直覺的經(jīng)典案例(如蒙提霍爾問題等)，也能通過信息技術(shù)來模擬隨機(jī)試驗(yàn)，從而驗(yàn)證理論分析的正確性.教師還可以通過課堂上拋圖釘?shù)膶?shí)驗(yàn)讓學(xué)生體驗(yàn)用頻率估計(jì)概率的過程，由于學(xué)生不知道圖釘針尖向上的概率，這能更好激發(fā)他們實(shí)驗(yàn)的興趣.而頻率的隨機(jī)性、穩(wěn)定性(伯努利大數(shù)定律)均可以在實(shí)驗(yàn)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納總結(jié).不僅如此，更有意義的是這不是古典概率模型的問題，它告訴學(xué)生頻率估計(jì)概率是對(duì)任意隨機(jī)事件都成立的.“遷移與創(chuàng)造”是引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的必不可少的特征.在設(shè)計(jì)“頻率與概率”一課作業(yè)時(shí)，可以布置一些創(chuàng)新實(shí)踐活動(dòng).例如，可以讓學(xué)生根據(jù)英文文章中26個(gè)字母出現(xiàn)的頻率結(jié)果，設(shè)計(jì)出自己專屬的鍵盤，也可以由學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)自主提出問題并嘗試分析解決.以上一系列的學(xué)習(xí)活動(dòng)有利于學(xué)生體會(huì)“直觀感知—大膽猜想—實(shí)驗(yàn)探究—理論驗(yàn)證—實(shí)際應(yīng)用”的探究過程，有利于學(xué)生理解概率的理論基礎(chǔ)，提升他們的實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.

類似的作業(yè)設(shè)計(jì)能夠體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)“價(jià)值與評(píng)判”的特征.例如，在“事件的關(guān)系和運(yùn)算”課例中，張建國老師布置了“查閱關(guān)于概率定義的發(fā)展過程中與公理化形成有關(guān)的資料，從中體驗(yàn)和感悟概率論公理化體系的思想”作業(yè).整個(gè)單元學(xué)習(xí)結(jié)束后，可以讓學(xué)生寫一篇關(guān)于概率單元學(xué)習(xí)的心得體會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生自覺思考所學(xué)知識(shí)在知識(shí)系統(tǒng)中的地位與作用、優(yōu)勢與不足、用途和局限，對(duì)所學(xué)知識(shí)及學(xué)習(xí)過程進(jìn)行梳理、反思、質(zhì)疑和評(píng)價(jià).

以上是筆者結(jié)合深度學(xué)習(xí)理念在設(shè)計(jì)概率單元時(shí)的思考和經(jīng)驗(yàn).滬教版高中數(shù)學(xué)新教材概率單元與舊教材在內(nèi)容結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)方式、難度要求上有不少差異，在整體把握單元教學(xué)的基礎(chǔ)上，值得教師結(jié)合各校的學(xué)情進(jìn)一步研討教學(xué)細(xì)節(jié)，提升教學(xué)質(zhì)量.