324000 浙江省衢州第二中學(xué) 汪耀生
324200 浙江省衢州數(shù)字工業(yè)學(xué)校 徐春紅
311121 浙江省杭州二中未來科技城學(xué)校 李 盛
數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一,具體是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).如何提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力?這是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)核心問題.筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),采用“聯(lián)想開路,化生為熟”的解題策略,對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡(jiǎn)單表征,容易抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),把握研究對(duì)象的數(shù)學(xué)特征,形成解決問題的思路,使運(yùn)算過程簡(jiǎn)潔明快,解題思維程序化,感悟通性通法中的數(shù)學(xué)原理和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,有利于培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
聯(lián)想思維是指在人腦內(nèi)記憶表象系統(tǒng)中,由于某種誘因使不同表象發(fā)生聯(lián)系的一種思維活動(dòng).聯(lián)想思維是很重要的一種創(chuàng)新思維方法,在人的思維活動(dòng)中起著基礎(chǔ)性的作用.
轉(zhuǎn)化與化歸思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí),通過變換將問題轉(zhuǎn)化,進(jìn)而使問題得到解決的一種數(shù)學(xué)思想方法.化陌生為熟悉是一種重要的解題策略.
當(dāng)面臨一道沒有接觸過的陌生題目時(shí),要聯(lián)想曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目,或聯(lián)想類似題的求解方法,“化生為熟”,充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式,這樣才能順利地解題.
分析:聯(lián)想到絕對(duì)值的一個(gè)基本性質(zhì)|a+b|+|a-b|=2max{|a|,|b|},可簡(jiǎn)捷求解.
例2已知數(shù)列{an}(n∈N*)滿足an+1=|a2-a1|+|a3-a2|+…+|an-an-1|(n≥2),且a1=1,a2=a(a>1),則a1+a2+a3+…+a24=________.(結(jié)果用含a的式子表示)
分析:題設(shè)中的關(guān)系式是若干項(xiàng)求和的形式,相似聯(lián)想,容易想到數(shù)列中前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系,打開了解題思路.
解:當(dāng)n=2時(shí),a3=|a2-a1|=a-1.
當(dāng)n≥3時(shí),由題設(shè)得
評(píng)析:相似聯(lián)想是由某一事物或現(xiàn)象聯(lián)想到與它相似的其他事物或現(xiàn)象,進(jìn)而產(chǎn)生某種新設(shè)想的聯(lián)想方法.解答本題時(shí),在理解題目蘊(yùn)含的信息后,通過對(duì)題目結(jié)構(gòu)等信息的加工,聯(lián)想相似的數(shù)學(xué)對(duì)象和關(guān)系結(jié)構(gòu),遷移方法后發(fā)現(xiàn)解題思路,順利解決問題.
解決相似問題的過程中讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的通性通法.對(duì)運(yùn)算問題,合理選擇運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,在演繹推理運(yùn)算解決問題的過程中,學(xué)生形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì).
例4(2021全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽-7) 設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足x(x+2y)=9,求x5y的最大值.
分析:聯(lián)想到這類問題的一般解題方法,利用平均值不等式,適當(dāng)配湊即可解決問題.
評(píng)析:這里運(yùn)用的是連續(xù)性聯(lián)想思維.其主要特征是由此及彼,連綿不斷地進(jìn)行,可以是直接的,也可以迂回曲折地形成閃電般的聯(lián)想鏈,連續(xù)性聯(lián)想思維是打開沉睡在頭腦深處記憶的最簡(jiǎn)便和最適宜的鑰匙.
圖1
評(píng)注:根據(jù)題目條件結(jié)構(gòu),構(gòu)造圖形探索解決問題的思路,“化生為熟”,尋找原型,這是破解難題的重要策略,有利于學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思想.在解決某個(gè)新問題之前,如果能先知道其原型,借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律,研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法,那么對(duì)新問題的理解就會(huì)更自然、深刻和全面.遇新思陳、推陳出新對(duì)順利解決數(shù)學(xué)問題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.
例6若f(x)=(x+a)(|x-a|+|x-4|)的圖像是中心對(duì)稱圖形,則a=________.
分析:聯(lián)想已學(xué)過的中心對(duì)稱圖形,奇函數(shù)的圖像是符合要求的.已知f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形,若能經(jīng)過適當(dāng)平移,使函數(shù)f(x+t)剛巧為奇函數(shù),則問題就能得到順利解決.
解法1:f(x-a)=x(|x-2a|+|x-4-a|),使函數(shù)f(x-a)是奇函數(shù),只須g(x)=|x-2a|+|x-4-a|是偶函數(shù).
評(píng)析:聯(lián)想思維是形象思維的具體化,其基本的思維操作單元是表象,所以,聯(lián)想思維十分生動(dòng),具有鮮明的形象.
變換條件,聯(lián)想熟悉的局部(或整體)處理技巧解答問題.
如果用構(gòu)造函數(shù)的方法分類求導(dǎo)進(jìn)行求解,過程比較復(fù)雜.聯(lián)想到不等式的基本性質(zhì),巧妙地對(duì)問題進(jìn)行整體處理,可避免繁復(fù)的分類討論.
評(píng)析:聯(lián)想思維的主要特征是由此及彼,連綿不斷,或直接或迂回曲折地形成閃電般的聯(lián)想鏈,進(jìn)而解決問題.
接近聯(lián)想是根據(jù)事物之間在空間或時(shí)間上的接近進(jìn)行聯(lián)想,進(jìn)而產(chǎn)生某種新設(shè)想的思維方式.有些問題給出的結(jié)構(gòu)與某些三角公式的結(jié)構(gòu)完全相同,利用接近聯(lián)想,可以通過三角代換實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化,化為三角問題.
分析:從結(jié)論x2+y2知本題求解的關(guān)鍵,是怎樣將欲求結(jié)論變換為易于應(yīng)用的求解條件.
一般來說,對(duì)于題目的熟悉程度取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解.從結(jié)構(gòu)上來分析,任何一道題都包含條件和結(jié)論(或問題)兩個(gè)方面.要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題,就要根據(jù)題型全方位、多角度分析題意,充分聯(lián)想回憶基本知識(shí)和基本方法,或恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素,在變換題目的條件、結(jié)論(或問題)以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫.