常文霞

(山西師范大學(xué)現(xiàn)代文理學(xué)院，山西臨汾，041000)

1 問題提出

2014年《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》明確了核心素養(yǎng)的概念，即學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終生發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.核心素養(yǎng)賦予了傳統(tǒng)基礎(chǔ)教育以新時代的內(nèi)涵.關(guān)于核心素養(yǎng)的落實，史寧中[1]在“學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學(xué)”一文中論述了“用數(shù)學(xué)的眼睛看”落實數(shù)學(xué)抽象，“用數(shù)學(xué)的思維想”落實邏輯推理，“用數(shù)學(xué)的語言說”落實數(shù)學(xué)模型.核心素養(yǎng)下面依次是學(xué)科素養(yǎng)、單元設(shè)計、課時計劃，一線教師需要基于這些環(huán)節(jié)，展開日常教學(xué).對于單元設(shè)計，鐘啟泉教授[2]認為，它是撬動課堂轉(zhuǎn)型的一個支點.單元設(shè)計[3]是課時設(shè)計的指引，隨著新課改的不斷深入，“應(yīng)試教育”中的教師也越來越意識到單元設(shè)計的價值和作用.

本文將從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)設(shè)計數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，以達成學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實的目標.現(xiàn)以高中新人教A版教材必修第一冊第四章第二節(jié)“指數(shù)函數(shù)的概念”(第1課時)的教學(xué)設(shè)計為例予以說明，以期為研究者和一線教師提供借鑒.

2 內(nèi)容分析

指數(shù)函數(shù)作為高中階段學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)，是函數(shù)內(nèi)容的重要組成部分，為后續(xù)研究對數(shù)函數(shù)等函數(shù)提供了方法和模式，同時也是對數(shù)函數(shù)、等比數(shù)列、概率統(tǒng)計、導(dǎo)數(shù)等高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ).學(xué)生在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)概念過程中會類比已學(xué)過的冪函數(shù)概念，這也是在高中函數(shù)學(xué)習(xí)過程中第一次運用到類比的方法，這一思想方法與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容同樣也有緊密的聯(lián)系.指數(shù)函數(shù)作為重要的函數(shù)模型還有廣泛的應(yīng)用，也是分析和解決大量數(shù)學(xué)問題和實際問題的重要工具.指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)試圖通過實例引入來研究指數(shù)函數(shù)的一般性特征，從而建構(gòu)指數(shù)函數(shù)模型，為研究函數(shù)提供了更一般的方法，有著承上啟下、完善學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的作用.

3 學(xué)情分析

指數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)對象是高一年級的學(xué)生，此階段學(xué)生的共性是一般學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣不高，比較被動，自主學(xué)習(xí)能力比較差，注意力較分散.因此在課堂中應(yīng)采取形象生動、形式多樣的教學(xué)方法和能讓學(xué)生積極主動參與的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機，有效培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”.

從“大單元視角”來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)掌握了函數(shù)、冪函數(shù)的概念以及圖象性質(zhì)，已經(jīng)具備了一定研究指數(shù)函數(shù)概念和性質(zhì)的知識方法基礎(chǔ).但是學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和歸納概括能力還不夠，需要借助例子引導(dǎo)學(xué)生不斷探究，進行數(shù)學(xué)聯(lián)想，逐步觀察歸納出指數(shù)函數(shù)的特征從而得到其概念.因此將采取由具體到抽象、特殊到一般的教學(xué)設(shè)計，靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想突出重點、突破難點.

4 學(xué)習(xí)目標

(1)通過具體實例，歸納出指數(shù)函數(shù)的特征，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，體會“數(shù)形結(jié)合”“特殊到一般”的思想方法，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

(2)能結(jié)合問題解決，初步感受數(shù)學(xué)建模的過程，體會“數(shù)學(xué)模型”的思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

(3)通過數(shù)學(xué)史的滲透，感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值與文化魅力；了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，認識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系；感受探究未知世界的樂趣，培養(yǎng)勇于追求真理的科學(xué)探索精神.

5 教學(xué)重難點

重點：類比冪函數(shù)觀察歸納指數(shù)函數(shù)的特征；理解指數(shù)函數(shù)的概念，理清指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在概念上的區(qū)別.

難點：經(jīng)歷從實例—圖象—特征的指數(shù)函數(shù)模型構(gòu)建過程，體驗數(shù)學(xué)抽象能力的重要性，切身感悟數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的過程；得出指數(shù)函數(shù)底數(shù)的取值范圍，掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

6 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)過程呈現(xiàn)

將核心素養(yǎng)落實到具體的某節(jié)課中，并非一次將六大核心素養(yǎng)都體現(xiàn)出來.在“指數(shù)函數(shù)的概念”這節(jié)課中，主要考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)運算和直觀想象4個方面.這里按照教學(xué)流程展示部分細節(jié).

6.1 文化滲透，培養(yǎng)興趣

高中數(shù)學(xué)新人教A版必修1教材中直接通過兩個實例歸納得出指數(shù)函數(shù)概念.雖然教材從學(xué)生已有認知出發(fā)，但是學(xué)生接受概念有一定難度.因此基于落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方案，本課題以數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的視角展開導(dǎo)入.

教師通過生動講解，導(dǎo)入內(nèi)容如下：

我們都知道數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了一個漫長的過程，在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上有這樣一則珍聞：指數(shù)符號是1637年由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾提出開始使用.直到18世紀，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉指出，“對數(shù)源出于指數(shù)”，但是對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù).

設(shè)計意圖：通過指數(shù)數(shù)學(xué)史的引入，進行數(shù)學(xué)文化的滲透，自然引出學(xué)習(xí)主體，深度激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的文化魅力.

6.2 創(chuàng)設(shè)情境，探究模型

實例1：教師讓學(xué)生看一則實事材料：2020年新冠病毒肆虐全球，對我們的工作和生活造成巨大影響，該病毒的傳播速度也是達到了史無前例的威脅程度，據(jù)專家研究，新冠肺炎的傳染指數(shù)竟高達2.5左右.雖然疫情形勢嚴峻，但是在黨的正確領(lǐng)導(dǎo)下，各級單位積極響應(yīng)共同努力，患者被有效治愈，患病人數(shù)得到有效抑制，不斷減少，趨于動態(tài)穩(wěn)定，我國疫情得到了有效控制.

活動1：(教師分別引入底數(shù)大于1和小于1的連續(xù)型指數(shù)函數(shù)圖象)下面分別是感染人數(shù)隨著時間增長以及治療后感染人數(shù)隨時間減少變化的大致曲線圖.

學(xué)生觀察兩個圖象，在此之前已掌握函數(shù)的概念學(xué)習(xí)經(jīng)驗，具備看圖辨析變量是否存在對應(yīng)關(guān)系的基本能力.教師對學(xué)生進行如下引導(dǎo)：兩個圖象中的變量是否存在對應(yīng)關(guān)系？是否構(gòu)成函數(shù)？并嘗試用自然語言表達出來.

教師留給學(xué)生充足時間進行觀察討論，當(dāng)堂對問題進行解決.用自然語言復(fù)述出變量之間存在對應(yīng)關(guān)系——圖象中任意一個自變量都有唯一因變量與之對應(yīng)，構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.

設(shè)計意圖：通過新冠疫情實例的引入，一方面巧妙地將“課程思政”內(nèi)容融入到實際教學(xué)中，有助于樹立學(xué)生正確的政治導(dǎo)向和價值觀.另一方面，借助時政通過呈現(xiàn)兩個連續(xù)指數(shù)函數(shù)圖象，讓學(xué)生直觀感受指數(shù)函數(shù)的特點，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，為接下來借助圖象具體觀察分析指數(shù)函數(shù)特征，抽象出概念做鋪墊.由淺入深，從直觀到抽象，逐步深入，符合學(xué)生認知發(fā)展規(guī)律.

學(xué)生初步認識指數(shù)函數(shù)之后，接下來教師通過教材兩地景區(qū)游客人次變化和死亡生物體碳14含量變化的兩個實例引導(dǎo)學(xué)生進行詳細觀察并分析得出結(jié)論，下面以第一個例子進行課堂的具體呈現(xiàn).

實例2：隨著中國經(jīng)濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式，由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對措施，A地提高了景區(qū)門票價格，而B地則取消了景區(qū)門票.表1給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.

表1 A、B兩地景區(qū)年份對應(yīng)游客人次表

活動2：教師拋出問題：觀察表中的數(shù)據(jù)，你能從這些數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)什么樣的變化規(guī)律嗎？變量之間是否存在對應(yīng)關(guān)系？是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系？

學(xué)生隨著教師的引導(dǎo)，對表格中兩地景區(qū)的數(shù)據(jù)進行觀察.學(xué)生已經(jīng)有了冪函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，類比冪函數(shù)對本節(jié)課圖象進行觀察.學(xué)生在教師的逐步引導(dǎo)下較容易得到A景區(qū)的人數(shù)每年年增加量都在接近10；B景區(qū)的人數(shù)年增加量在不斷增大，規(guī)律顯現(xiàn)不明顯這一結(jié)論.

為了更直接得到B景區(qū)的變化規(guī)律，教師需要引導(dǎo)學(xué)生如何更直觀地呈現(xiàn)數(shù)據(jù).相較于表格，圖象更能清楚反映出數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，教師讓學(xué)生以小組為單位運用描點連線的方法在作業(yè)紙上嘗試將表格中數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成圖象進行組內(nèi)對比，同時鼓勵學(xué)生主動在黑板上呈現(xiàn)作圖過程，教師對學(xué)生作圖結(jié)果進行點評.學(xué)生完成作圖后，教師指導(dǎo)學(xué)生借助GeoGebra動態(tài)演示出表格轉(zhuǎn)化為散點圖的過程，更加直觀地體會描點法作圖的過程.

通過觀察，學(xué)生首先通過自然語言說出選取圖中任意年份，在圖象中都有唯一確定的游客人次與之對應(yīng)，所以兩圖中的變量之間存在對應(yīng)關(guān)系.

其次得出圖3圖象較為平滑，A景區(qū)人數(shù)大致呈線性增長、B景區(qū)人數(shù)年增加量越來越大，成倍數(shù)地激增這一規(guī)律.

圖3 A地景區(qū)游客人次隨時間變化圖

圖4 B地景區(qū)游客人次隨時間變化圖

設(shè)計意圖：一方面學(xué)生自己動手作圖、小組自主討論交流，起到回顧熟悉描點作圖法的作用，提高了學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的自主探究意識，有助于提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).另一方面教師通過指導(dǎo)學(xué)生進行軟件動畫操作，增強了課堂的師生交互體驗，學(xué)生直觀感受作圖過程，提高了課堂參與意識.通過學(xué)生動手作圖和觀看動態(tài)演示兩方面的活動，對指數(shù)函數(shù)的研究從感性層面上升到理性認知.

活動3：教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生：從表格和圖象已經(jīng)看出游客人次隨時間變化的大致規(guī)律，但是現(xiàn)在無法確定某一年的具體數(shù)值，那么我們該如何確定呢？我們已經(jīng)知道函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的模型與工具，既然現(xiàn)在它們已經(jīng)構(gòu)成了一一對應(yīng)關(guān)系，我們是不是可以從函數(shù)的角度去精準刻畫呢？既然從表格和圖象都看不出規(guī)律，是否可以試著從計算的角度來考慮看看呢？我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的，能否運用其他運算發(fā)現(xiàn)B景區(qū)的游客人次變化規(guī)律呢？比如說除法？

學(xué)生跟隨老師一起通過軟件運算，從2002年起，學(xué)生將B景區(qū)每年游客人次和上一年的游客人次比較，老師將結(jié)果進行呈現(xiàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)果大致穩(wěn)定在1.11.也就是說，B景區(qū)游客人次的年增長率p都約為1.11-1=0.11，是一個常數(shù).

教師接著總結(jié)給出指數(shù)增長的概念.結(jié)合板書引導(dǎo)學(xué)生用符號語言總結(jié)出游客人次與年份的函數(shù)關(guān)系式.

設(shè)經(jīng)過x年后的游客人次為2001年的y倍，那么

y=1.11x(x∈[0,+∞))

這是一個函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量.

設(shè)計意圖：通過軟件的演示，直觀感受圖象的變化規(guī)律，通過運算尋找變化中的不變性，初步感受運算在處理變量關(guān)系之間的簡便性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

通過兩個活動的進行，教師引導(dǎo)學(xué)生逐步利用自然語言、圖形語言、符號語言表達出變量之間關(guān)系.自然語言可以體現(xiàn)出學(xué)生對知識的理解，凸顯指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)特征，同時便于教師掌握學(xué)生學(xué)情.以學(xué)生的語言為出發(fā)點，將自然語言逐步規(guī)范為符號語言，將自然語言抽象為符號語言的過程可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)抽象的過程.

列舉的實例圖象有增函數(shù)，減函數(shù)，有連續(xù)型函數(shù)，有離散型函數(shù)，通過全面的呈現(xiàn)，避免學(xué)生片面看待問題，為后續(xù)指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)做鋪墊.同時借助實例從現(xiàn)實生活中抽象出函數(shù)圖象，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，利用圖象從數(shù)學(xué)角度得出規(guī)律，體會數(shù)形結(jié)合思想，鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)看待世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達世界的能力.

6.3 抽象特征，形成概念

通過新冠疫情和課本中兩個實例的學(xué)習(xí)，教師一步步引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系逐步過渡抽象出函數(shù)關(guān)系，從具體到一般化，建立指數(shù)函數(shù)模型.

活動4：對于每個實例，老師都對學(xué)生進行了兩個方面的引導(dǎo)：是否存在對應(yīng)關(guān)系構(gòu)成函數(shù)？圖象變化呈現(xiàn)什么變化規(guī)律？教師引導(dǎo)學(xué)生從這兩方面進行小組討論交流形成共識.

教師引導(dǎo)學(xué)生從自然語言、圖形語言、符號語言三個方面對列舉實例的特征進行總結(jié)歸納.

① 自然語言：它們的變化率(增長率、衰減率)是常數(shù).自變量與因變量之間存在對應(yīng)關(guān)系.

② 圖形語言:有兩種情形，增函數(shù)和減函數(shù).

③ 符號語言：形式一樣，都是冪的形式；指數(shù)都是未知數(shù)，是一個變量；底數(shù)不同,但都是常數(shù).

活動5：教師啟發(fā)學(xué)生如何將兩個解析式更加一般化呢？學(xué)生已經(jīng)總結(jié)出兩個解析式不同之處在于底數(shù)不同，但是底數(shù)都是常數(shù)，自然想到用字母a來代替常數(shù)，那么兩個式子一般化為y=ax的形式.教師適時指出這個函數(shù)就是我們今天要學(xué)的指數(shù)函數(shù).教師繼續(xù)引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思考這里的a有范圍嗎？如果有范圍是什么？

首先引導(dǎo)學(xué)生回顧通過指數(shù)的學(xué)習(xí)已經(jīng)知道a是正數(shù)，引導(dǎo)體現(xiàn)在以下幾個方面：① 從冪的指數(shù)的擴充理解定義域為R(對已學(xué)知識的復(fù)習(xí)).② 從冪的意義理解為什么a不能是負數(shù)？③ 從函數(shù)概念理解a取1的可行性.

最后教師利用幻燈片適時給出指數(shù)函數(shù)的概念，師生分析概念中的關(guān)鍵詞.學(xué)生分析得到指數(shù)函數(shù)概念的兩個關(guān)鍵點：

① 形如y=ax的形式，自變量和定義域；

②a的取值范圍和對應(yīng)情況.

設(shè)計意圖：類比冪函數(shù)由圖象—特征的觀察方法，指數(shù)函數(shù)通過實例—圖象—特征的步驟，將兩個實例對比總結(jié)，從自然語言、圖形語言、符號語言三個方面概括出指數(shù)函數(shù)的一般性特征，而兩個實例分別對應(yīng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)的兩種情形.學(xué)生隨著教師的引導(dǎo)，逐步進行數(shù)學(xué)抽象，建立底數(shù)不同的指數(shù)模型.感悟“特殊到一般”“數(shù)學(xué)模型”的思想，進一步提高數(shù)學(xué)抽象能力.同時相較于直接根據(jù)圖象抽象出冪函數(shù)概念的做法，實例的展現(xiàn)更能讓學(xué)生體會到函數(shù)的概念來源于生活，并且服務(wù)于生活，讓學(xué)生切實感知引入指數(shù)函數(shù)的必要性，更能體現(xiàn)出“五育并舉”的教學(xué)理念.

由于數(shù)學(xué)概念具有高度的概括性，教師必須抓住概念中的關(guān)鍵詞句進行剖析，揭示每一個詞、句、符號、式子的內(nèi)在含義，使學(xué)生深刻理解概念的本質(zhì)屬性，促使學(xué)生準確理解指數(shù)函數(shù)的概念.同時對于底數(shù)的討論與思考有助于學(xué)生區(qū)分冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)在定義上的不同，加深對指數(shù)函數(shù)概念的掌握.

7 概念應(yīng)用，加深理解

練習(xí)1：已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax，(a>0且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值.

學(xué)生活動：學(xué)生獨立思考后，小組交流.

教師提示：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，應(yīng)先求出f(x)=ax的解析式，即先求a的值.

設(shè)計意圖：對指數(shù)函數(shù)概念進行剖析，加深學(xué)生對指數(shù)函數(shù)概念的理解.

8 課堂總結(jié)，提煉升華

本節(jié)課從新冠疫情的材料引入，通過類比冪函數(shù)的學(xué)習(xí)過程運用數(shù)學(xué)運算、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)抽象的方法思想對兩個實例分析對比，運用大量元認知引導(dǎo)語[4]以問題鏈的形式由特殊到一般，逐步抽象歸納出指數(shù)函數(shù)的特征，得到指數(shù)函數(shù)的概念從而建立起指數(shù)函數(shù)模型.在對指數(shù)函數(shù)底數(shù)范圍確定的過程中又運用到了分類討論的思想，為接下來指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)學(xué)習(xí)做了鋪墊.從整體上看數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)也就是一次數(shù)學(xué)建模的過程.

9 教學(xué)反思

本節(jié)課是一節(jié)概念課，比較抽象.在概念形成環(huán)節(jié)，教師提供了豐富的案例，使學(xué)生在充分感知蘊含概念本質(zhì)特征的有關(guān)實物的基礎(chǔ)上，分析這些材料共同特征，使學(xué)生尋找不同事物中相對穩(wěn)定的關(guān)系，經(jīng)歷指數(shù)函數(shù)概念形成的過程，較好地促進其建立新概念和原有認知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系.教師基于單元視角，從時事入手，以問題串的形式設(shè)計，循序漸進，由淺入深.問題之間有聯(lián)系，構(gòu)成一個問題系統(tǒng)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識體系，同時滲透了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的思想方法，在一定程度上培養(yǎng)和提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).