姜 曼，劉文娟

(西安交通工程學(xué)院 公共課部，陜西 西安 710300)

0 引言

自從模糊集[1]的概念被提出后，模糊集已經(jīng)應(yīng)用到生活中的各個(gè)方面。模糊集及其擴(kuò)展在處理不同問題中的不確定性方面取得了較好的結(jié)果。在世界范圍內(nèi)，人們對模糊集的應(yīng)用興趣正在迅速增長。直覺模糊集[2]、區(qū)間值模糊集[3]和雙極值模糊集[4]已經(jīng)得到推廣，這些模糊化思想也被應(yīng)用到其他代數(shù)結(jié)構(gòu)中，一系列結(jié)論相繼出現(xiàn)。近年來在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，學(xué)者們分別把模糊集理論與雙極值模糊集理論相結(jié)合來研究代數(shù)結(jié)構(gòu)，現(xiàn)在已經(jīng)出現(xiàn)了一些成果。例如索南仁欠等[5]研究了雙極值模糊集的距離與測度，給出它們的定義并研究其性質(zhì)，王金英等[6]把雙極值模糊集、猶豫模糊集和軟集相結(jié)合，并在決策中研究它們的一些應(yīng)用，王豐效[7]在半群中定義了雙極值模糊子半群，得到了一些重要的結(jié)論。關(guān)于雙極值模糊集理論的其它結(jié)論可見文獻(xiàn)[8-12]。

古典邏輯是人類整體知識的核心部分，是一切知識的基礎(chǔ)，是絕對性與相對性的統(tǒng)一。演繹邏輯推理是二元邏輯，只有真與假，不確定性推理是人工智能領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向，在邏輯框架下研究不確定性推理是一種科學(xué)的研究方法。不確定性不僅是真是假，而且有不止一種可能的結(jié)果。在討論了不確定邏輯與經(jīng)典邏輯的區(qū)別后，出于對研究模糊推理的需要，王國俊[13]提出了R0代數(shù)的概念，R0代數(shù)是比蘊(yùn)涵格稍強(qiáng)的代數(shù)。濾子、理想和子代數(shù)作為代數(shù)結(jié)構(gòu)中的推理準(zhǔn)則，在代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究中起著重要的作用。R0代數(shù)中的∧，∨，→運(yùn)算的研究，對其它代數(shù)結(jié)構(gòu)都有指引意義?，F(xiàn)階段關(guān)于R0代數(shù)與模糊集拓展相結(jié)合的理論已有部分成果，可見文獻(xiàn)[14-16]，然而，用雙極值模糊集來研究R0代數(shù)中子代數(shù)的理論并不多見。為了更好地認(rèn)識R0代數(shù)，豐富R0代數(shù)中子代數(shù)的理論研究，本文將雙極值模糊集的原理和運(yùn)算方法應(yīng)用于R0代數(shù)中，在給出R0代數(shù)的雙極值模糊子代數(shù)定義的基礎(chǔ)上，證明了R0代數(shù)的雙極值模糊子代數(shù)的交、同態(tài)像和同態(tài)逆像等也是R0代數(shù)的雙極值模糊子代數(shù)的結(jié)論，本文的研究進(jìn)一步拓展了雙極值模糊集理論的應(yīng)用范圍。

1 預(yù)備知識

為了敘述方便，本節(jié)給出R0代數(shù)和猶豫模糊集的一些理論。

2)1→x=x,x→x=1

3)y→z≤(x→y)→(x→z)

4)x→(y→z)=y→(x→z)

5)x→(y∨z)=(x→y)∨(x→z)

則稱R為R0代數(shù)。

說明本文中出現(xiàn)的我們均用'表示，并且文中均用R表示R0代數(shù)。

性質(zhì)1[13]設(shè)R是R0代數(shù)，令x?y=(x→y′)′，?x,y∈R，則以下結(jié)論成立：

1)x→y=1當(dāng)且僅當(dāng)x≤y

2)x′=x→0,x=x′→0

3)(x→y)∨(y→x)=1

4)x∨y=((x→y)→y)∧((y→x)→x)

5)(R,?,1)是以1為單位的交換半群

6)x?y≤x∧y

7)x?y≤z當(dāng)且僅當(dāng)x≤y→z

8)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z)

定義2[4]設(shè)X是一個(gè)論域,φ+：X→[0,1]和φ_：X→[0,1]是兩個(gè)映射，稱φ={(x,φ-(x),φ+(x))|x∈X}是X上的一個(gè)雙極值模糊集，簡記為φ=(φ-,φ+)。這里正隸屬度φ+表示元素x關(guān)于雙極值模糊集φ對某種性質(zhì)的滿足度，負(fù)隸屬度φ-表示元素x關(guān)于雙極值模糊集φ對這種性質(zhì)的相反性質(zhì)的滿足度。

記X上的全體雙極值模糊集為BVF(X)。

定義3[17]設(shè)φ=(φ-,φ+)，ψ=(ψ-,ψ+)是X上的兩個(gè)雙極值模糊集，稱φ∩ψ為φ和ψ的交集，這里(φ∩ψ)(x)=((φ∩ψ)-(x),(φ∩ψ)+(x))=(φ-(x)∨ψ-(x),φ+(x)∧ψ+(x))，?x∈X。

設(shè)φ=(φ-,φ+)是X上的雙極值模糊集，[s,t]∈[-1,0]×[0,1]，稱集合N(φ,s)={x∈X|φ-(x)≤s}為雙極值模糊集φ=(φ-,φ+)的負(fù)s-截集，集合P(φ,t)={x∈X|φ+(x)≥t}為雙極值模糊集φ=(φ-,φ+)的正t-截集。稱集合C(φ,[s,t])=N(φ,s)∩P(φ,t)為雙極值模糊集φ=(φ-,φ+)的(s,t)-截集。

2 雙極值模糊子代數(shù)

定義4 設(shè)φ=(φ-,φ+)∈BVF(R)，如果?x,y∈R，下面條件成立：

1)φ+(1)=φ+(0)，φ-(1)=φ-(0)

2)φ+(x∨y)≥φ+(x)∧φ+(y)，

φ-(x∨y)≤φ-(x)∨φ-(y)

3)φ+(x→y)≥φ+(x)∧φ+(y)，

φ-(x→y)≤φ-(x)∨φ-(y)

則稱φ是R的雙極值模糊子代數(shù)。

記R的全體雙極值模糊子代數(shù)為BVFS(R)。

定理1 設(shè)φ=(φ-,φ+)∈BVFS(R)，則?x,y∈R，有

1)φ+(0)=φ+(1)≥φ+(x)，

φ-(0)=φ-(1)≤φ-(x)

2)φ+(x)=φ+(x′)，φ-(x)=φ-(x′)

3)φ+(x∧y)≥φ+(x)∧φ+(y)，

φ-(x∧y)≤φ-(x)∨φ-(y)

證明1)φ+(0)=φ+(1)=φ+(x→x)≥

φ+(x)∧φ+(x)=φ+(x)，φ-(0)=φ-(1)=φ-(x→x)≤φ-(x)∨φ-(x)=φ-(x)。

2)φ+(x)=φ+(1→x)=φ+(x′→0)≥

φ+(x′)∧φ+(0)=φ+(x′)，φ-(x)=φ-(1→x)=φ-(x′→0)≤φ-(x′)∨φ-(0)=φ-(x′)；

φ+(x′)=φ+(x→0)≥φ+(x)∧φ+(0)=φ+(x)，

φ-(x′)=φ-(x→0)≤φ-(x)∨φ-(0)=φ-(x)。

因此φ+(x)=φ+(x′)，φ-(x)=φ-(x′)。

3)φ+(x∧y)=φ+((x′∨y′)′)=φ+(x′∨y′)≥φ+(x′)∧φ+(y′)=φ+(x)∧φ+(y)，

φ-(x∧y)=φ-((x′∨y′)′)=φ-(x′∨y′)≤φ-(x′)∨φ-(y′)=φ-(x)∨φ-(y)。

定理2 設(shè)φ=(φ-,φ+)∈BVF(R)，則φ∈BVFS(R)當(dāng)且僅當(dāng)對?[s,t]∈[-1,0]×[0,1]，若N(φ,s)和P(φ,s)非空，則N(φ,s)和P(φ,t)都是R的子代數(shù)。

證明假設(shè)φ∈BVFS(R)，對于?[s,t]∈[-1,0]×[0,1]，N(φ,s)和P(φ,t)非空。如果x,y∈N(φ,s)，則φ-(x)≤s，φ-(y)≤s，則φ-(0)=φ-(1)≤φ-(x)≤s，所以0，1∈N(φ,s)。

φ-(x∨y)≤φ-(x)∨φ-(y)≤s，所以x∨y∈N(φ,s)；φ-(x→y)≤φ-(x)∨φ-(y)≤s，所以x→y∈N(φ,s)。又因?yàn)棣?(x′)=φ-(x)≤s，所以x′∈N(φ,s)。因此,可得N(φ,s)是R的子代數(shù)。

如果x,y∈P(φ,t)，則φ+(x)≥t，φ+(y)≥t，

則φ+(0)=φ+(1)≥φ+(x)≥t，所以0，1∈P(φ,t)；

φ+(x∨y)≥φ+(x)∧φ+(y)≥t，所以x∨y∈P(φ,t)；

φ+(x→y)≥φ+(x)∧φ+(y)≥t。

所以x→y∈P(φ,t)。

又因?yàn)棣?(x′)=φ+(x)≥t，所以x′∈P(φ,t)。

因此,可得P(φ,t)是R的子代數(shù)。

反之，對?[s,t]∈[-1,0]×[0,1]，若非空集合N(φ,s)和P(φ,t)都是R的子代數(shù)。則?x,y∈R，設(shè)φ+(x)∧φ+(y)=t，則x,y∈P(φ,t)。由P(φ,t)是R的子代數(shù)可知，x∨y∈P(φ,t)，x→y∈P(φ,t)，因此φ+(x∨y)≥t≥φ+(x)∧φ+(y)，φ+(x→y)≥t≥φ+(x)∧φ+(y)。設(shè)φ+(1)≥t1，則P(φ,t1)≠φ，故P(φ,t1)是R的子代數(shù)，因此0∈P(φ,t1)，即有φ+(0)≥t1=φ+(1)。同理可得，φ+(1)≥φ+(0)。因此φ+(1)=φ+(0)。

類似地可證φ-(x∨y)≤φ+(x)∨φ+(y)，φ-(x→y)≤φ-(x)∨φ-(y)，φ-(1)=φ-(0)。

即證φ∈BVFS(R)。

定理3 設(shè)φ∈BVFS(R)，則?[s,t]∈[-1,0]×[0,1]，若C(φ,[s,t])非空，則C(φ,[s,t])是R的子代數(shù)。

證明略。

定理4 設(shè)φ,ω∈BVFS(R)，則φ∩ω∈BVFS(R)。

證明假設(shè)φ,ω∈BVFS(R)。對?x,y∈R，

(φ∩ω)-(1)=φ-(1)∨ω-(1)=φ-(0)∨ω-(0)=(φ∩ω)-(0)，

(φ∩ω)+(1)=φ+(1)∧ω+(1)=φ+(0)∧ω+(0)=(φ∩ω)+(0)；

(φ∩ω)-(x∨y)=φ-(x∨y)∨ω-(x∨y)≤φ-(x)∨φ-(y)∨ω-(x)∨ω-(y)

=(φ-(x)∨ω-(x))∨(φ-(y)∨ω-(y))

=(φ∩ω)-(x)∨(φ∩ω)-(y)，

(φ∩ω)+(x∨y)=φ+(x∨y)∧ω+(x∨y)≥φ+(x)∧φ+(y)∧ω+(x)∧ω+(y)

=(φ+(x)∧ω+(x))∧(φ+(y)∧ω+(y))

=(φ∩ω)+(x)∧(φ∩ω)+(y)；

(φ∩ω)-(x→y)=φ-(x→y)∨ω-(x→y)≤φ-(x)∨φ-(y)∨ω-(x)∨ω-(y)

=(φ-(x)∨ω-(x))∨(φ-(y)∨ω-(y))

=(φ∩ω)-(x)∨(φ∩ω)-(y)，

(φ∩ω)+(x→y)=φ+(x→y)∧ω+(x→y)≥φ+(x)∧φ+(y)∧ω+(x)∧ω+(y)

=(φ+(x)∧ω+(x))∧(φ+(y)∧ω+(y))

=(φ∩ω)+(x)∧(φ∩ω)+(y)。

綜上可知φ∩ω∈BVFS(R)。

定理5 設(shè)R1,R2是R0代數(shù)，f是R1到R2的同態(tài)滿射，設(shè)φ∈BVF(R2)。則φ=(φ-,φ+)∈BVFS(R2)當(dāng)且僅當(dāng)f-1(φ)=(f-1(φ-),f-1(φ+))∈BVFS(R1)。其中f-1(φ-)(x)=φ-(f(x))，f-1(φ+)(x)=φ+(f(x))，x∈R1。

證明必要性 由于f是R1到R2的同態(tài)滿射，那么f(1)=1，f(0)=0。因此

f-1(φ+)(1)=φ+(f(1))=φ+(1)=φ+(0)=φ+(f(0))=f-1(φ+)(0)

如果φ=(φ-,φ+)∈BVFS(R2)，?x1,x2∈R1，那么有

f-1(φ+)(x1∨x2)=φ+(f(x1∨x2))=

φ+(f(x1)∨f(x2))≥φ+(f(x1))∧φ+(f(x2))=f-1(φ+)(x1)∧f-1(φ+)(x2)。

f-1(φ+)(x1→x2)=φ+(f(x1→x2))=

φ+(f(x1)→f(x2))≥φ+(f(x1))∧φ+(f(x2))

=f-1(φ+)(x1)∧f-1(φ+)(x2)。

類似地，我們可證：

f-1(φ-)(1)=φ-(f(1))=φ-(1)=φ-(0)

=φ-(f(0))=f-1(φ-)(0)。

對?x1,x2∈R1，有

f-1(φ-)(x1∨x2)=φ-(f(x1∨x2))=

φ-(f(x1)∨f(x2))

≤φ-(f(x1))∨φ-(f(x2))=f-1(φ-)(x1)∨f-1(φ-)(x2)。

f-1(φ-)(x1→x2)=φ-(f(x1→x2))=

φ-(f(x1)→f(x2))≤φ-(f(x1))∨φ-(f(x2))=f-1(φ-)(x1)∨f-1(φ-)(x2)。

綜上可得，f-1(φ)∈BVFS(R1)。

充分性 ?y1,y2∈R2，由于f是R1到R2的同態(tài)滿射，所以?x1,x2∈R1，則有f(x1)=y1，f(x2)=y2。若f-1(φ)∈BVFS(R1)，則

φ+(y1∨y2)=φ+(f(x1)∨f(x2))=

φ+(f(x1∨x2))=f-1(φ+)(x1∨x2)≥f-1(φ+)(x1)∧f-1(φ+)(x2)=φ+(f(x1))∧

φ+(f(x2))=φ+(y1)∧φ+(y2)，

φ+(y1→y2)=φ+(f(x1)→f(x2))=

φ+(f(x1→x2))=f-1(φ+)(x1→x2)≥

f-1(φ+)(x1)∧f-1(φ+)(x2)=φ+(f(x1))∧

φ+(f(x2))=φ+(y1)∧φ+(y2)，

φ+(0)=φ+(f(0))=f-1(φ+)(0)=

f-1(φ+)(1)=φ+(f(1))=φ+(1)。

φ-(y1∨y2)=φ-(f(x1)∨f(x2))=

φ-(f(x1∨x2))=f-1(φ-)(x1∨x2)≤f-1(φ-)(x1)∨f-1(φ-)(x2)=φ-(f(x1))∨

φ-(f(x2))=φ-(y1)∨φ-(y2)，

φ-(y1→y2)=φ-(f(x1)→f(x2))=

φ-(f(x1→x2))=f-1(φ-)(x1→x2)≤f-1(φ-)(x1)∨f-1(φ-)(x2)=φ-(f(x1))∨

φ-(f(x2))=φ-(y1)∨φ-(y2)，

φ-(0)=φ-(f(0))=f-1(φ-)(0)=f-1(φ-)(1)=φ-(f(1))=φ-(1)。

綜上可得，φ∈BVFS(R2)。

定理6 設(shè)R1,R2是R0代數(shù)，f是R1到R2的滿同態(tài)，φ∈BVF(R1)。若φ∈BVFS(R1)，則f(φ)=((f(φ))-,(f(φ))+)∈BVFS(R2)。

其中(f(φ))-(y)=inf{φ-(x)|f(x)=y}，(f(φ))+(y)=sup{φ+(x)|f(x)=y}。

證明設(shè)φ∈BVFS(R1)，?y1,y2∈R2，因?yàn)閒是R1到R2的滿射，所以?x1,x2∈R1，f(x1)=y1，f(x2)=y2。

(f(φ))+(y1∨y2)=sup{φ+(x1∨x2)|f(x1∨x2)=y1∨y2}

=sup{φ+(x1∨x2)|f(x1)=y1,f(x2)=y2}

≥sup{φ+(x1)|f(x1)=y1}∧sup{φ+(x2)|f(x2)=y2}

=(f(φ))+(y1)∧(f(φ))+(y2)，

(f(φ))-(y1∨y2)=inf{φ-(x1∨x2)|f(x1∨x2)=y1∨y2}

=inf{φ-(x1∨x2)|f(x1)=y1,f(x2)=y2}

≤inf{φ-(x1)|f(x1)=y1}∨inf{φ-(x2)|f(x2)=y2}

=(f(φ))-(y1)∨(f(φ))-(y2)；

(f(φ))+(y1→y2)=sup{φ+(x1→x2)|f(x1→x2)=y1→y2}

=sup{φ+(x1→x2)|f(x1)=y1,f(x2)=y2}

≥sup{φ+(x1)|f(x1)=y1}∧sup{φ+(x2)|f(x2)=y2}

=(f(φ))+(y1)∧(f(φ))+(y2)，

(f(φ))-(y1→y2)=inf{φ-(x1→x2)|f(x1→x2)=y1→y2}

=inf{φ-(x1→x2)|f(x1)=y1,f(x2)=y2}

≤inf{φ-(x1)|f(x1)=y1}∨inf{φ-(x2)|f(x2)=y2}

=(f(φ))-(y1)∨(f(φ))-(y2)；

(f(φ))+(1)=sup{φ+(1)|f(1)=1}=sup{φ+(0)|f(0)=0}=(f(φ))+(0)，

(f(φ))-(1)=inf{φ-(1)|f(1)=1}=inf{φ-(0)|f(0)=0}=(f(φ))-(0)。

綜上可得，f(φ)∈BVFS(R2)。

定義5 設(shè)φ∈BVF(X)，ψ∈BVF(Y)，定義映射

(φ×ψ)-:X×Y→[-1,0],

(φ×ψ)-(x,y)=φ-(x)∨ψ-(y)，?x,y∈X×Y

(φ×ψ)+:X×Y→[0,1],

(φ×ψ)+(x,y)=φ+(x)∧ψ+(y)，?x,y∈X×Y

則φ×ψ=((φ×ψ)-,(φ×ψ)+)是X×Y的 雙極值模糊子集，稱為φ和ψ的直積，并且對于?(x1,y1),(x2,y2)∈X×Y，規(guī)定

(x1,y1)∨(x2,y2)=(x1∨x2,y1∨y2)

(x1,y1)→(x2,y2)=(x1→x2,y1→y2)

定理7 設(shè)φ∈BVFS(R1)，ψ∈BVFS(R2)，

則直積φ×ψ∈BVFS[R1×R2]。

證明設(shè)φ∈BVFS(R1)，ψ∈BVFS(R2)，

?(x1,y1),(x2,y2)∈R1×R2，有

(φ×ψ)+((x1,y1)∨(x2,y2))=(φ×ψ)+(x1∨x2,y1∨y2)

=φ+(x1∨x2)∧ψ+(y1∨y2)

≥(φ+(x1)∧φ+(x2))∧(ψ+(y1)∧(ψ+(y2))

=(φ+(x1)∧ψ+(y2))∧(φ+(x2)∧ψ+(y2))

=(φ×ψ)+(x1,y1)∧(φ×ψ)+(x2,y2)，

(φ×ψ)+((x1,y1)→(x2,y2))

=(φ×ψ)+(x1→x2,y1→y2)

=φ+(x1→x2)∧ψ+(y1→y2)

≥(φ+(x1)∧φ+(x2))∧(ψ+(y1)∧(ψ+(y2))

=(φ+(x1)∧ψ+(y1))∧(φ+(x2)∧ψ+(y2))

=(φ×ψ)+(x1,y1)∧(φ×ψ)+(x2,y2)，

(φ×ψ)+(1,1)=φ+(1)∧ψ+(1)=φ+(0)∧ψ+(0)=(φ×ψ)+(0,0)。

類似地，對?(x1,y1),(x2,y2)∈R1×R2，

(φ×ψ)-((x1,y1)∨(x2,y2))≤(φ×ψ)-(x1,y1)∨(φ×ψ)-(x2,y2)

(φ×ψ)-((x1,y1)→(x2,y2))≤(φ×ψ)-(x1,y1)∧(φ×ψ)-(x2,y2)

(φ×ψ)-(1,1)=(φ×ψ)-(0,0)。

綜上可得，φ×ψ∈BVFS[R1×R2]。

3 結(jié)論

作為模糊集的一個(gè)重要分支，雙極值模糊集對研究R0代數(shù)有非常重要的理論意義。本文將雙極值模糊集的原理和運(yùn)算方法應(yīng)用于R0代數(shù)子結(jié)構(gòu)研究，提出并討論了R0代數(shù)的雙極值模糊子代數(shù)，獲得了若干有價(jià)值的結(jié)論。這些工作，不但有助于進(jìn)一步豐富和完善R0代數(shù)理論的內(nèi)容，而且也進(jìn)一步拓展雙極值模糊集的理論的應(yīng)用范圍，我們接下來的工作是用類似的方法研究關(guān)于R0代數(shù)上的濾子以及理想。