朱 瑩

(江蘇省宿遷市南京師范大學(xué)附屬中學(xué)宿遷分校 江蘇 宿遷 223800)

數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，然而對(duì)推理的定義和數(shù)學(xué)推理的形式有許多不同的看法。首先分析了理解數(shù)學(xué)推理的4種不同視角，涵蓋結(jié)果視角、過(guò)程視角、結(jié)構(gòu)視角、模仿與創(chuàng)造視角。在此基礎(chǔ)上，以小學(xué)階段代數(shù)、比例和空間3個(gè)內(nèi)容為例，對(duì)數(shù)學(xué)推理能力在其中的具體體現(xiàn)和相關(guān)的推理教學(xué)進(jìn)行了分析。教師可通過(guò)在教學(xué)中設(shè)計(jì)創(chuàng)造性的推理任務(wù)以及鼓勵(lì)學(xué)生解釋與表達(dá)等方式促進(jìn)數(shù)學(xué)推理在課堂教學(xué)中的落實(shí)。

1.理解數(shù)學(xué)推理

什么是推理。推理是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，也是數(shù)學(xué)的基本思維方式。不同學(xué)者對(duì)推理有不同的看法，總的來(lái)說(shuō)，推理與論證、推斷、思考有緊密的聯(lián)系但又有不同。這里借鑒哲學(xué)家圖爾與教育心理學(xué)家莫什曼的觀點(diǎn)，來(lái)辨析這些與推理相似的概念，希望能為廣大研究者理解課堂中的推理教學(xué)，特別是數(shù)學(xué)推理提供一些參照。圖爾明認(rèn)為推理的重要特點(diǎn)在于其社會(huì)性。具體而言，個(gè)體本身及其所處環(huán)境的差異會(huì)造成觀點(diǎn)與判斷標(biāo)準(zhǔn)的不同，某一群體中“不證自明”的觀點(diǎn)并非適用于另一個(gè)群體，而推理便是人們?cè)诮涣髦袨橹С峙c維護(hù)某個(gè)主張而批判地檢驗(yàn)與篩選觀點(diǎn)的過(guò)程。圖爾明關(guān)于推理的定義主要強(qiáng)調(diào)個(gè)人在推理活動(dòng)中所處的情境和人際間的互動(dòng)，注重考慮邏輯結(jié)構(gòu)的完整性和正確性，對(duì)學(xué)科知識(shí)的正確性涉及較少，其論證模式常常被用作分析學(xué)生論證的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。教育心理學(xué)家莫什曼則從認(rèn)知心理學(xué)的視角對(duì)發(fā)展推理所需要的能力進(jìn)行探討，他認(rèn)為推斷和思考是推理能力發(fā)展的前提。推斷是最為基本與普遍的行為之一，例如嬰兒時(shí)期根據(jù)聲音推斷物體的位置、從成人的面部表情推斷其情感，在日常的對(duì)話、閱讀等活動(dòng)中都離不開推斷。思考則是有意識(shí)、有目的地運(yùn)用推斷解決問(wèn)題、做出決定、判斷與計(jì)劃等，是個(gè)體認(rèn)識(shí)與控制自己認(rèn)知過(guò)程的能力，即原認(rèn)知能力的體現(xiàn)。在具備推斷與思考能力的基礎(chǔ)上，個(gè)體進(jìn)行推理還要能夠?qū)⑼普撆c意圖同適當(dāng)?shù)耐普摐?zhǔn)則相結(jié)合，莫什曼稱之為知識(shí)認(rèn)知、認(rèn)知心理學(xué)視角對(duì)推理的理解，凸顯個(gè)體的認(rèn)知能力，以及程序與規(guī)則在推理中的必要性。以上從哲學(xué)和心理學(xué)層面關(guān)于推理的分析，指出了推理的內(nèi)涵和特點(diǎn)。這些觀點(diǎn)既重視推理的主要成分和邏輯結(jié)構(gòu)，也強(qiáng)調(diào)個(gè)體在推理活動(dòng)中的心理歷程。課堂教學(xué)是涉及人的活動(dòng)，師生與學(xué)生間互動(dòng)和交流是培養(yǎng)推理的重要方面，它不僅僅是具有個(gè)人特質(zhì)的行為，更是由一系列集體性的實(shí)踐和準(zhǔn)則所構(gòu)成的活動(dòng)。因此，數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行推理的教學(xué)，需要了解推理中涉及與學(xué)科知識(shí)相關(guān)的主張或結(jié)論、資料，以及理由或論據(jù)，在關(guān)注學(xué)生個(gè)體的心理歷程前提下，多鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行推斷和思考，同時(shí)也考慮推理過(guò)程中邏輯結(jié)構(gòu)的完整性和正確性。下面結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的具體內(nèi)容分析數(shù)學(xué)推理的特點(diǎn)。

2.理解數(shù)學(xué)推理的3種視角

在現(xiàn)有關(guān)于數(shù)學(xué)推理的研究中，存在多種類別的劃分方式，而不同類別與表述的背后所反映出來(lái)的實(shí)際是研究者對(duì)數(shù)學(xué)推理不同方面的關(guān)注。例如，在課堂教學(xué)中應(yīng)將推理視為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果還是學(xué)習(xí)過(guò)程本身？推理教學(xué)應(yīng)著重于不同推理結(jié)構(gòu)的理解，還是關(guān)注推理策略得到的方式？下面將結(jié)合前文中提出的邏輯結(jié)構(gòu)與心理特征兩個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)推理的界定從3個(gè)不同的視角進(jìn)行分析和總結(jié)。

視角1：結(jié)果視角，這一視角更關(guān)注推理中的邏輯結(jié)構(gòu)，著重推理所產(chǎn)出的結(jié)果，將推理視為在任務(wù)解決過(guò)程中形成主張并得出結(jié)論的一系列想法，強(qiáng)調(diào)推理所產(chǎn)生的新知識(shí)與新成果。這種看法并非否定推理的過(guò)程性，更多是出于對(duì)觀察與分析便利的考慮，從結(jié)果的視角來(lái)定義數(shù)學(xué)推理，看重學(xué)生思考分析、解決問(wèn)題的結(jié)果。

視角2：結(jié)構(gòu)性視角，側(cè)重在推理中如何從主張走向結(jié)論，著重描述構(gòu)成推理邏輯結(jié)構(gòu)的各個(gè)要素及其相互關(guān)系，據(jù)此也有公認(rèn)的3種推理形式，它們是演繹)推理、歸納(inductive)推理和溯因推理。演繹推理和歸納推理是較為熟悉的類型。中國(guó)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》將數(shù)學(xué)推理是劃分為合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等手段推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)(包括定義、公理、定理等)和確定的規(guī)則(包括運(yùn)算的定義、法則、順序等)出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。最新修訂的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》中進(jìn)一步指出，邏輯推理主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。演繹推理被視為唯一一類能夠得到確定結(jié)論的推理，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中常常涉及的一種推理形式。而歸納推理在實(shí)踐中更多表現(xiàn)為對(duì)規(guī)律的找尋，通過(guò)猜想、尋找模式等提出一個(gè)具有一般性的結(jié)果。

視角3：模仿和創(chuàng)造性推理。較之前3種視角，利特納提出的模仿與創(chuàng)造性推理更加聚焦于推理策略得到的方式，也就是更關(guān)注推理中個(gè)體經(jīng)歷的心理過(guò)程。模仿推理是指通過(guò)回想或效仿某些既定程序而進(jìn)行的機(jī)械推理，主要包括記憶推理和算法推理兩類。當(dāng)學(xué)生進(jìn)行記憶推理時(shí)，問(wèn)題解決策略的選擇是基于對(duì)一個(gè)完整答案的回憶，而策略的實(shí)施僅僅是將回憶出的答案抄寫下來(lái)。此類推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中也十分常見(jiàn)：學(xué)生將背誦的證明或解題步驟套用于新問(wèn)題中；也會(huì)因“之前的題目有(沒(méi)有)這樣的答案”等理由而選擇(拒絕)某種作法。模仿推理中另一類是算法推理，這里的算法并非僅指計(jì)算中的步驟或方法，而是泛指一切預(yù)先制定的程序。學(xué)生在進(jìn)行算法推理時(shí)，會(huì)對(duì)全部已知的策略進(jìn)行篩選，在預(yù)測(cè)不同策略的可能結(jié)果后作出選擇，策略的實(shí)施等其余推理環(huán)節(jié)對(duì)于推理者則不太重要，除非由于粗心所造成的計(jì)算錯(cuò)誤，否則一定會(huì)得到正確答案。換而言之，識(shí)別與選擇合適的程序是算法推理中的關(guān)鍵與主要任務(wù)。不同于傳統(tǒng)的演繹推理和歸納推理劃分，著重于推理邏輯結(jié)構(gòu)的各個(gè)要素及其相互關(guān)系，利特納所提出的推理類型更關(guān)注學(xué)生個(gè)體在推理中的心理歷程，為理解數(shù)學(xué)推理提供了新的視角，特別是幫助理解學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程，比如透過(guò)分析學(xué)生的推理過(guò)程，可以知道學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中的策略和答案究竟是來(lái)源于對(duì)問(wèn)題內(nèi)容的分析、比較等，還是僅僅是基于回憶與猜測(cè)?？偟膩?lái)說(shuō)，盡管研究中存在對(duì)數(shù)學(xué)推理的不同理解，但還是脫離不開圖爾明提到的推理結(jié)構(gòu)中的各個(gè)要素及其相互關(guān)系。不同視角下的推理類型只是更強(qiáng)調(diào)這一邏輯結(jié)構(gòu)的某些部分，這些不同的理解會(huì)有助于研究者從不同角度培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。例如，重視過(guò)程視角的數(shù)學(xué)推理促使教師關(guān)注推理所包含的具體環(huán)節(jié)，重視結(jié)構(gòu)視角的數(shù)學(xué)推理為教師設(shè)計(jì)與選擇教學(xué)任務(wù)提供依據(jù)，重視模仿與創(chuàng)造性推理，則能幫助教師對(duì)教學(xué)活動(dòng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理進(jìn)行診斷和分析。

3.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)推理的體現(xiàn)

從理論層面對(duì)推理的概念進(jìn)行分析后，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)推理作為一種思維方式貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的全過(guò)程。因此，教師并非只有在特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容或特定的教學(xué)環(huán)節(jié)才適合培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。不過(guò)也應(yīng)看到，對(duì)于不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，數(shù)學(xué)推理的表現(xiàn)形式確有不同。故此，結(jié)合國(guó)內(nèi)外的相關(guān)研究，對(duì)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中的代數(shù)推理、比例推理和空間推理3種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)推理的特點(diǎn)進(jìn)行介紹，并結(jié)合具體的例子為教師如何進(jìn)行數(shù)學(xué)推理教學(xué)提供參考。

3.1 代數(shù)推理。代數(shù)推理往往涉及到對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的探索，而這是進(jìn)行一切數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)，而且代數(shù)推理也滲透于日常生活的方方面面，諸如購(gòu)物中對(duì)商品的比較，駕車時(shí)對(duì)行駛時(shí)間的估計(jì)，等等。另外，從小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到中學(xué)的一個(gè)明顯轉(zhuǎn)變就是正式開始代數(shù)學(xué)習(xí)，這一轉(zhuǎn)換對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言往往是十分困難的．研究表明，在小學(xué)階段有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力能夠?yàn)閷W(xué)生實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換提供相應(yīng)的支持。代數(shù)推理可以視作是對(duì)具體的數(shù)字與計(jì)算進(jìn)行概括，將所得到的結(jié)論用有意義的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)，并對(duì)所得到的模式進(jìn)行探索。簡(jiǎn)而言之，尋找、識(shí)別概括與運(yùn)用潛在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)構(gòu)成了代數(shù)推理的幾個(gè)重要方面。其中，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)既可以指代廣義的群、環(huán)、域等課題，也包括由具體運(yùn)算所抽象出的結(jié)構(gòu)、規(guī)則和一般化的算理等。這里主要基于后者對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的定義對(duì)小學(xué)階段的代數(shù)推理進(jìn)行分析。小學(xué)階段的代數(shù)推理主要體現(xiàn)在理解符號(hào)的意義與數(shù)字的不同屬性，明晰加減乘除運(yùn)算中的算理等。代數(shù)推理的核心是用符號(hào)表示出概括的結(jié)構(gòu)，但在正式的學(xué)習(xí)中，代數(shù)通常是以預(yù)定的規(guī)則語(yǔ)法和符號(hào)語(yǔ)言呈現(xiàn)，供學(xué)生記憶，學(xué)生幾乎沒(méi)有對(duì)符號(hào)意義及其規(guī)則進(jìn)行探索與表達(dá)的機(jī)會(huì)。那么要如何滲透代數(shù)推理？舉例來(lái)說(shuō)，在早期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師可采用實(shí)物或鼓勵(lì)學(xué)生使用自己“創(chuàng)造”的非正式符號(hào)表示算術(shù)屬性，如“★+★=2×★”，并對(duì)其中的關(guān)系進(jìn)行陳述與解釋。同樣，教師也可通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生考慮奇數(shù)、偶數(shù)不同組合相加后所得結(jié)果的奇偶性，以促使學(xué)生從關(guān)注“和”的多少，到對(duì)“和”的不同屬性進(jìn)行代數(shù)思考。類似的例子還包括探索加法交換律與乘法交換律等。學(xué)生在這一過(guò)程中進(jìn)行猜想、比較與歸納等，在形成意義理解的同時(shí)也提高升了推理能力。再如教學(xué)8的乘法口訣，如果只是簡(jiǎn)單引入口訣，然后請(qǐng)學(xué)生通過(guò)背的方式記憶口訣再應(yīng)用到問(wèn)題解決中，那么學(xué)生就只是在應(yīng)用簡(jiǎn)單的模仿推理。而如果將教學(xué)的過(guò)程豐富起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生思考并交流討論，提出諸如“八八六十四”這句口訣是怎么來(lái)的這樣的問(wèn)題，學(xué)生就可能提出：(1)8×4=32(4個(gè)8相加)，那么8×8=64(8個(gè)8相加，就是4個(gè)8相加的翻倍)；(2)8×3=24(3個(gè)8相加)，8×5=40(5個(gè)8相加)，合起來(lái)就是8×8=64(8個(gè)8相加)等不同的思路，如果從過(guò)程的角度來(lái)看待這段教學(xué)，學(xué)生就是在經(jīng)歷“通過(guò)與自我對(duì)話或與他人進(jìn)行對(duì)話，而從一個(gè)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)推斷出另一個(gè)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的過(guò)程”，這一過(guò)程中恰恰可以體現(xiàn)學(xué)生對(duì)內(nèi)容的“比較與分析”，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。此外，“找規(guī)律”的形數(shù)問(wèn)題也是代數(shù)領(lǐng)域推理能力的體現(xiàn)。小學(xué)階段可通過(guò)提供有一定規(guī)律的視覺(jué)圖片為學(xué)生提供探索與建立數(shù)量間的關(guān)系的機(jī)會(huì)。例如，圖4左邊是一種重復(fù)變化模式，為低年級(jí)學(xué)生創(chuàng)造了一種簡(jiǎn)單的遞歸模式，體驗(yàn)初步的模式分析與預(yù)測(cè)的推理過(guò)程；圖4右邊則屬增長(zhǎng)變化模式，可以用以引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)注“每次增加2淺灰色磚”的數(shù)量變化到提煉出圖形序號(hào)同磚塊數(shù)之間的關(guān)系，并對(duì)任何序號(hào)下的磚塊數(shù)量進(jìn)行預(yù)測(cè)。這一過(guò)程也能為將來(lái)中學(xué)階段的函數(shù)思想的形成奠定基礎(chǔ)。

3.2 巧妙轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言，完善學(xué)生推理能力。啟發(fā)性教學(xué)，不僅僅是思維的啟發(fā)，還在于語(yǔ)言的啟發(fā)?？紤]到這一點(diǎn)，教師可以有效地將數(shù)學(xué)問(wèn)題和知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，融入課堂課程，激發(fā)學(xué)生在練習(xí)后進(jìn)行語(yǔ)言表達(dá)。例如，在傳授“三角形的面積”內(nèi)容時(shí)，老師在課上提出的第一個(gè)問(wèn)題是：“我怎樣才能找到平行四邊形面積的公式？”還要記住平行四邊形面積的公式。之后，老師利用多媒體將兩個(gè)大小相同的三角形分成了一個(gè)平行四邊形。通過(guò)這個(gè)，學(xué)生們討論了“這兩個(gè)三角形之間的關(guān)系”，這是平行四邊形的基礎(chǔ)。而地球的高和高與三角形的高低又是什么關(guān)系呢？“區(qū)域公式是什么？”在反思的過(guò)程中，學(xué)生將圖形知識(shí)用語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，在演示的過(guò)程中，自主推理出三角形的面積公式。

3.3 猜想求證培養(yǎng)學(xué)生推理能力。由于小學(xué)生推理能力的發(fā)展不是一蹴而就的，因此教師在教授推理能力時(shí)必須要有耐心，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間去思考和提高。此外，教師應(yīng)注重實(shí)施教學(xué)方法和策略?？梢詫W(xué)生組織成小組，實(shí)施公開的小組教學(xué)方式，讓小學(xué)生大膽預(yù)測(cè)，敢于掌控小組合作的意識(shí)形態(tài)。并進(jìn)行討論，不斷改進(jìn)。例如，老師研究學(xué)生的一門課：“如果三角形的一邊長(zhǎng)5厘米，另一邊長(zhǎng)6厘米，那么第三邊是多少厘米？”這道題目的學(xué)習(xí)時(shí)，就可以讓學(xué)生結(jié)合教材中所學(xué)的“三角形任意兩條邊的邊長(zhǎng)之和大于第三邊、任意兩條邊之差小于第三邊”的定理進(jìn)行合理推算。然后，老師將學(xué)生帶到教室里，讓小組分享和測(cè)試他們的假設(shè)。進(jìn)而讓學(xué)生能夠在思維碰撞和多向交流中對(duì)三角形的相關(guān)知識(shí)有深入的了解。