☉卞 慧

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師對(duì)于行程類問題的講解不僅僅在于讓學(xué)生熟記公式，更重要的是讓學(xué)生形成一種屬于自己的解題思維。行程類問題的難點(diǎn)在于對(duì)題目中各種變量的分析，將線段應(yīng)用在行程類問題的解答中可以幫助學(xué)生理清楚行程類問題中存在的各種變量關(guān)系。

一、一般相遇追及問題

在小學(xué)數(shù)學(xué)行程類問題的解題教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生最先接觸到的是一般性質(zhì)的相遇追及問題。一般性的相遇追及問題是題目中所給出來的已知項(xiàng)中，將多個(gè)變量變成了定量，減少了學(xué)生中間的思考環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生在做題環(huán)節(jié)中減少中間變量時(shí)產(chǎn)生的條件干擾。解決一般類型的相遇追及問題時(shí)，要讓學(xué)生注意尋找題干中出現(xiàn)“一人或者兩人”“同時(shí)或者不同時(shí)”“同向或者異向”等這些字眼來畫圖解決。［1］

在小學(xué)數(shù)學(xué)行程問題的教學(xué)實(shí)踐中，要科學(xué)全面地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，不斷優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教師應(yīng)該注重創(chuàng)新以及變革行程問題的具體教學(xué)思路，更好地優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。對(duì)于學(xué)生而言，一般相遇追及問題是相對(duì)比較簡(jiǎn)單的。在具體的教學(xué)實(shí)踐中，教師可以為學(xué)生提供必要的教學(xué)指導(dǎo)，同時(shí)不斷優(yōu)化學(xué)生的解題思路，真正幫助學(xué)生建構(gòu)起完善且系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)體系。當(dāng)學(xué)生再遇到這類相遇問題時(shí)，能夠快速找到解題的切入點(diǎn)，也能夠快速高效地進(jìn)行解答。在相遇追及問題的教學(xué)講解過程中，為幫助學(xué)生更加直觀地進(jìn)行認(rèn)知，也為了引導(dǎo)學(xué)生來展開思考，教師可以著重引導(dǎo)學(xué)生來進(jìn)行畫圖輔助。依托于數(shù)形結(jié)合的方式，能夠簡(jiǎn)化學(xué)生的解題思路，同時(shí)也能夠有效地幫助學(xué)生理解與認(rèn)知。

例如，在小學(xué)數(shù)學(xué)題目中，問：小明的家、小紅的家以及學(xué)校是在同一條路上，學(xué)校在小明和小紅家的中間，小明的速度是30 米/ 分，小紅的速度是20米/分，已知小明和小紅同時(shí)從家里向?qū)W校出發(fā)，經(jīng)過十分鐘之后，兩人在學(xué)校門口相遇，求小明家和小紅家相距多少米？學(xué)生在這一道題目的作圖上，可以先畫一條線段，然后在線段上標(biāo)出三個(gè)點(diǎn)，三個(gè)點(diǎn)分別就是題目中所說的小明的家、學(xué)校、小紅的家，小明家到小紅家的距離就是小明家到學(xué)校加上小紅家到學(xué)校的距離，也就是說根據(jù)路程的計(jì)算公式，小明家到學(xué)校的距離是30×10=300 米，小紅家到學(xué)校的距離是20×10=200 米，然后小明家到小紅家的距離就是300+200=500 米。這種問題在小學(xué)數(shù)學(xué)行程類問題中屬于簡(jiǎn)單的問題，教師在教學(xué)生利用線段巧解相遇追及類問題的時(shí)候，不用畫太過于復(fù)雜的線段進(jìn)行求解，要先讓學(xué)生明白線段求解問題在于對(duì)線段的巧妙運(yùn)用。

二、復(fù)雜相遇追及問題

在小學(xué)數(shù)學(xué)行程類問題的教學(xué)中，還會(huì)出現(xiàn)一種比較復(fù)雜的相遇追及問題。復(fù)雜的相遇追及問題分為兩個(gè)大的類別。首先是多人相遇追及類型的問題，也就是說，在一般追及相遇問題上多了一個(gè)要研究的運(yùn)動(dòng)對(duì)象，以前是對(duì)兩個(gè)人的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，現(xiàn)在是對(duì)三個(gè)人的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。對(duì)于三個(gè)人的運(yùn)動(dòng)分析和對(duì)于兩個(gè)人的運(yùn)動(dòng)分析其實(shí)在解題思路上是一樣的，對(duì)于這一類型的問題的解答，還是要看學(xué)生對(duì)于這一類問題的畫圖能力是否標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生在做題環(huán)節(jié)中所畫出來的圖能否正確、清楚地表達(dá)出問題中三個(gè)人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。［2］小學(xué)數(shù)學(xué)追及類問題的涉及范圍是比較小的，最難的多次相遇追及問題的標(biāo)準(zhǔn)型主要是指，已知的是兩地之間的距離和兩個(gè)運(yùn)動(dòng)個(gè)體的速度，求解的問題是關(guān)于n 次相遇的問題以及在一些較難的拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的題目中會(huì)讓學(xué)生求解有關(guān)于純周期類型的問題（在純周期問題中，一般講的是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的個(gè)體做的都是折疊運(yùn)動(dòng)，在一個(gè)周期之后，求兩個(gè)運(yùn)動(dòng)個(gè)體在一個(gè)周期內(nèi)在均回到初始點(diǎn)之前相遇或者追及的次數(shù)）。在這些難度相對(duì)比較大的相遇問題的教學(xué)中，教師可以采用案例教學(xué)法。所謂案例教學(xué)法，就是通過列舉具體化的教學(xué)案例，指導(dǎo)學(xué)生注重開展深入的案例分析，在把握好案例中數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，充分明確不同數(shù)量的具體關(guān)聯(lián)性，再將這部分內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的數(shù)學(xué)模型。通過這樣的轉(zhuǎn)換，能夠在很大程度上優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，也能夠全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，還能夠保障學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量。通過具體的案例分析，能夠幫助學(xué)生建構(gòu)起科學(xué)的數(shù)學(xué)思維，當(dāng)他們?cè)儆龅竭@類型的題目時(shí)，可以快速找到解題的切入點(diǎn)，有效防范可能出現(xiàn)的思維障礙以及認(rèn)知缺點(diǎn)。

例如，卡車和小轎車同時(shí)從m 城出發(fā)，在相距600 千米的m城和n 城不斷做往返運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)過程中已知卡車每小時(shí)20 千米，小轎車每小時(shí)30 千米，問題一：兩車第一次相遇時(shí)距離中點(diǎn)多少千米？問題二：第一次迎面相遇之后又經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間之后小轎車和卡車再次相遇？在問題一中，教師可以先讓學(xué)生畫出一條線段，然后標(biāo)注好線段的中點(diǎn)，小轎車的速度比卡車的速度快，所以小轎車和卡車若是從同一個(gè)地點(diǎn)相向而行，第一次相遇就是迎面相遇，也就是說，小轎車已經(jīng)從m 城到達(dá)了n 城，然后從n城返回的時(shí)候迎面遇上了卡車。教師在幫助學(xué)生完成對(duì)題目理解的時(shí)候，一定要讓學(xué)生能夠在線段中理解到在小轎車和卡車完成第一次相遇的時(shí)候，此刻小轎車行駛的距離加上卡車行駛的距離等于m 城到n 城的雙倍的距離。對(duì)于這道題目的第二問上的解答，在畫線段理解的過程中就可以看出來，第二次相遇小轎車和卡車的相遇有兩種可以假設(shè)的狀況，第一種是小轎車和卡車的迎面相遇，第二種是小轎車追上卡車是一種追及相遇。在第一種情況下，小轎車和卡車的迎面相遇是指小轎車從m 城到n 城，卡車從n 城到m 城；在第二種情況下小轎車完成了折回再次開始從m城到n 城，卡車則繼續(xù)從m 城到n 城，這個(gè)時(shí)候小轎車從后面追上卡車完成追及相遇。對(duì)于上述這種多次相遇追及類型的問題，在運(yùn)動(dòng)的個(gè)體數(shù)量上沒有變化，僅僅是改變運(yùn)動(dòng)個(gè)體在某一時(shí)間段的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變就是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)個(gè)體在同一時(shí)間同一地點(diǎn)反復(fù)相遇反復(fù)追及，或者兩個(gè)運(yùn)動(dòng)個(gè)體在同一時(shí)間點(diǎn)不同的地點(diǎn)反復(fù)相遇反復(fù)追及的問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，這一類型的問題被形象地稱為“反復(fù)折騰型”的行程類問題。

三、流水行船問題

流水行船問題在小學(xué)數(shù)學(xué)中算是一種比較特殊并且學(xué)生計(jì)算較為困難的行程類問題。在講解之前，教師首先應(yīng)該讓學(xué)生明白船是如何在河流中行駛的，船在河流中行駛的時(shí)候不僅僅受到人為給的動(dòng)力。也就是說，船在河流中行駛除了自己前進(jìn)的速度外，河水還會(huì)給其一種往前推的外部動(dòng)力，學(xué)生所要分析的是，在這種情況下，船的行駛的速度、時(shí)間、路程。在行程問題的解答過程中，這類問題是較為復(fù)雜且抽象的。［3］部分學(xué)生在理解與認(rèn)知的過程中，可能會(huì)感覺到一定的思維難度，同時(shí)也難以全面系統(tǒng)地進(jìn)行理解與認(rèn)知。比如很多學(xué)生在解答這類問題時(shí)，常常會(huì)忽略到最為關(guān)鍵的水流問題。

事實(shí)上，對(duì)于流水行船的過程中，水流給予船舶的力量，無非就是兩種力量，一種是順流的推進(jìn)速度，一種是逆流的阻礙速度。在具體的行程問題解答中，教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題干信息來判斷水流方向與行船方向是否一致。在明確兩種不同的方向的基礎(chǔ)上，教師要指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀題干，有效把握題干中的變化。比如很多題型中，水流方向是不斷變化的?？赡茉谇捌谑琼樍鳎搅撕笃趧t會(huì)變成逆流。在明確這些水流方向的基礎(chǔ)上，教師再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的思考，科學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然，為引導(dǎo)學(xué)生深入全面地進(jìn)行認(rèn)知，教師可以讓學(xué)生來進(jìn)行自主思考和探究。待學(xué)生思考探究完成后，教師再結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)成效給予必要的教學(xué)指導(dǎo)，以此來真正有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，一艘小船從a 地開往b 地，這時(shí)候小船是順?biāo)?，小船的速度是每小時(shí)28 千米，小船到達(dá)b 地后，然后又開始逆水行駛，小船再次回到a 地的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)回來比去多行駛了兩個(gè)小時(shí)，已知水流速度是每小時(shí)4千米。問：從a 地到b 地相距多少千米？在流水行船的問題中，常見的兩個(gè)公式是：順?biāo)俣?船的速度+水的速度、逆水速度=船的速度-水的速度；然后教師教學(xué)生利用線段求解這一類的問題，小船去的時(shí)候速度（順?biāo)俣龋?船的速度+流水的速度=28 千米/時(shí)。在這道題目中，題中已知小船的順?biāo)俣仁?8千米/時(shí)，在此時(shí)就可以計(jì)算出船在靜水中的速度28-4=24 千米/ 時(shí)。船來的時(shí)候速度（逆水速度）=船的速度- 流水的速度24-4=20 千米/時(shí)。則小船回來的時(shí)候所用的時(shí)間為（20×2）÷（28-20）=5 小時(shí)，由此就可以計(jì)算出來小船回來所用時(shí)間5小時(shí)，小船回來時(shí)逆水速度20千米/時(shí)，得出a 地到b 地的距離28×5=140 千米。流水行船類型的問題在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)是最基礎(chǔ)的，學(xué)生只要能夠找到船在靜水中的速度、船在逆水中的速度以及船在順?biāo)械乃俣冗@三個(gè)量，就能弄清楚一般類型的流水行船問題，但是這一類問題難點(diǎn)也在于學(xué)生很容易會(huì)將這三種速度弄混淆，如一些學(xué)生會(huì)將船在順?biāo)械乃俣日J(rèn)為是船在靜水中的速度。

四、特殊行程問題

在小學(xué)數(shù)學(xué)行程類數(shù)學(xué)問題的教學(xué)中，涉及到行程類問題是多種樣式的，但這些題目的類型都是行程類問題類型中最基本的題目。小學(xué)數(shù)學(xué)題目中出現(xiàn)的特殊行程問題，主要是幫助學(xué)生在這一學(xué)習(xí)階段在大腦中對(duì)行程類問題有一個(gè)最簡(jiǎn)單最基礎(chǔ)的了解。對(duì)于特殊類型的行程問題，不少學(xué)生在初步接觸的過程中，無從下手，認(rèn)為這部分的行程問題具有一定的特殊性，無法快速有效地把握好解題切入點(diǎn)。事實(shí)上，特殊行程問題是簡(jiǎn)單行程問題的一種變式。［4］學(xué)生之所以會(huì)在解答過程中，無法找到切入點(diǎn)，就因?yàn)樗麄儧]有認(rèn)識(shí)到特殊與一般之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。為此，教師在特殊類行程問題的教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生將特殊行程問題通過數(shù)形結(jié)合的方式等轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄠€(gè)一般行程問題。在先解答一般行程問題的基礎(chǔ)上，再逐步提升到復(fù)雜行程問題的解決過程中。如此往復(fù)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維便得到了有效的提升和優(yōu)化，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力也能夠得到有效的增進(jìn)。為此，教師要注重不斷優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，積極培育學(xué)生良好的數(shù)學(xué)分析習(xí)慣，切實(shí)有效地提升學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力。

例如，小民和小紅在環(huán)形跑道上賽跑，已知小民的速度是每秒鐘跑6 米，小紅的速度是每秒鐘跑4 米，已知學(xué)校操場(chǎng)環(huán)形跑道300 米，問小民第二次追上小紅的時(shí)候，小民已經(jīng)在環(huán)形跑道上跑了多少圈？教師在這一道題目的分析過程中，要注意讓學(xué)生在畫圖分析中解題。在這一道題目中，最好的作圖分析是環(huán)形圖，做好圖紙后教師要幫助學(xué)生理解有關(guān)于這一道題目的相關(guān)分析。題目中小民第一次追上小紅小民的路程是環(huán)形跑道的路程，然后此時(shí)就相當(dāng)于小民和小紅再次同時(shí)同地開始跑，就可以將復(fù)雜的二次追及問題轉(zhuǎn)化成一次追及問題，這樣在一定程度上減少了學(xué)生的解題難度。特殊行程類問題的做法其實(shí)就是多個(gè)一般行程類問題的疊加，所以學(xué)生在特殊行程類問題的解答中，重點(diǎn)要學(xué)會(huì)將特殊行程類問題分解成一般行程類問題，然后用線段巧解一般行程類問題。

五、總結(jié)

行程類問題的難點(diǎn)在于問題中涉及的變化比較多，因此，教師要教學(xué)生學(xué)會(huì)利用線段巧解行程類問題，注重引導(dǎo)學(xué)生借助線段搞清楚物體運(yùn)動(dòng)的具體狀況，再將抽象的數(shù)學(xué)文字進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這樣有利于學(xué)生更加形象直觀地了解到行程類問題中一些已知數(shù)據(jù)的微妙的變化。學(xué)生在這一階段對(duì)于行程類問題的有效思考，對(duì)于他們以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將有很大程度上的幫助，也對(duì)于學(xué)生日后數(shù)學(xué)模型思維的建立和拓展有很重要的作用。