☉彭淑穎

所謂表征能力，即學(xué)生在遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能夠從自我認(rèn)知角度對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題內(nèi)容進(jìn)行識(shí)別，以自己理解的方式應(yīng)用所學(xué)知識(shí)快速解決問(wèn)題的能力。從教學(xué)角度而言，表征能力對(duì)學(xué)生而言意味著學(xué)習(xí)過(guò)程中有效應(yīng)用知識(shí)，能夠基于自身認(rèn)知理解數(shù)學(xué)知識(shí)并應(yīng)用其解決問(wèn)題。就能力培養(yǎng)而言，是否具備表征能力對(duì)于學(xué)生意味著能否快速解決問(wèn)題，是否能夠在較為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中應(yīng)用邏輯思維，在實(shí)現(xiàn)解題的同時(shí)了解問(wèn)題中包含的知識(shí)，具備自我認(rèn)知下的解題思路。

一、基于實(shí)際問(wèn)題形成表征意識(shí)

數(shù)學(xué)教學(xué)中，問(wèn)題是決定教學(xué)方案、推動(dòng)教學(xué)環(huán)節(jié)開(kāi)展的主要方向之一，而數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用正是在解決問(wèn)題中不斷實(shí)現(xiàn)的。從小學(xué)生的實(shí)際情況來(lái)看，他們?cè)敢庠跀?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中以自身熟悉的事物嘗試解決。例如，在學(xué)習(xí)加減法的過(guò)程中習(xí)慣以數(shù)手指、數(shù)東西的方式來(lái)了解數(shù)學(xué)知識(shí)中的內(nèi)涵，進(jìn)而學(xué)習(xí)知識(shí)、解決問(wèn)題［1］。在這種情況下，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生而言意味著從簡(jiǎn)單的外在表現(xiàn)到內(nèi)在的表征，其自身并不知情。教師應(yīng)切實(shí)利用這種現(xiàn)狀實(shí)現(xiàn)表征意識(shí)的養(yǎng)成，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸應(yīng)用表征意識(shí)解決問(wèn)題。

以實(shí)際為例，教師可在分?jǐn)?shù)相關(guān)知識(shí)中向?qū)W生提出問(wèn)題，基于生活化教學(xué)使學(xué)生更容易代入到實(shí)際，形成應(yīng)用表征意識(shí)解決問(wèn)題的習(xí)慣，培養(yǎng)表征能力。如提出問(wèn)題“分蛋糕”，將一塊蛋糕平均分給五位同學(xué)，每人分到的蛋糕大小一樣，應(yīng)該如何分？在這種情況下，學(xué)生會(huì)通過(guò)在紙上繪制出圖形，用圖形均分的方式嘗試解決問(wèn)題，而教師此時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)數(shù)字的方式將每位同學(xué)所分得的蛋糕進(jìn)行表示。在這一過(guò)程中，學(xué)生會(huì)嘗試以小數(shù)形式表達(dá)，即一塊蛋糕分成五份，每人0．2 份。在此情況下，教師可提出分?jǐn)?shù)相關(guān)概念，以表征能力的培養(yǎng)作為主要目的，引導(dǎo)學(xué)生在分?jǐn)?shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中首先了解分?jǐn)?shù)的表現(xiàn)方式，仍通過(guò)“分蛋糕”的問(wèn)題展開(kāi)分析，嘗試通過(guò)不同的人數(shù)、不同的分法引導(dǎo)學(xué)生注意問(wèn)題所在，如在1/2的表達(dá)過(guò)程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)表征意識(shí)以自己理解的方式將分?jǐn)?shù)符號(hào)視為“刀”，而這種分?jǐn)?shù)的表達(dá)方式即為“切為兩份，每人一份就是1/2”。在這種基于表征展開(kāi)的理解過(guò)程中，學(xué)生能夠快速基于表征了解到問(wèn)題的所在，在問(wèn)題分析過(guò)程中培養(yǎng)表征能力，快速解決問(wèn)題。于此基礎(chǔ)上，教師再提出“分幾份”問(wèn)題時(shí)，學(xué)生便可在問(wèn)題分析中以表征意識(shí)嘗試通過(guò)分?jǐn)?shù)呈現(xiàn)內(nèi)容，如分5 份即為1/5，六份則是1/6，六份中的一半是3/6，也是1/2。在這種情況下，教師引導(dǎo)使學(xué)生既能具備表征意識(shí)，更嘗試以自主思考作為驅(qū)動(dòng)，通過(guò)問(wèn)題的解決實(shí)現(xiàn)發(fā)展。

二、概念理解中的表征能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)本身較為抽象，學(xué)習(xí)過(guò)程中需要學(xué)生能夠準(zhǔn)確以自身思維理解概念，并將概念應(yīng)用到數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)思維拓展與提升，且知識(shí)應(yīng)用合理、準(zhǔn)確。從表征能力培養(yǎng)角度而言，引導(dǎo)學(xué)生理解概念的過(guò)程便是表征能力培養(yǎng)的過(guò)程，教師可基于概念分析引導(dǎo)學(xué)生潛移默化地產(chǎn)生表征能力，培養(yǎng)表征能力［2］。這種方式相對(duì)于傳統(tǒng)教學(xué)而言意味著學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)過(guò)程中以自身所見(jiàn)所聞對(duì)較為書(shū)面化的數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)現(xiàn)主觀理解，在主觀分析中實(shí)現(xiàn)應(yīng)用，牢記相關(guān)內(nèi)容的同時(shí)更提升知識(shí)的應(yīng)用性，對(duì)教學(xué)而言意味著教學(xué)效率提升，與當(dāng)下的教學(xué)理念契合度較高，能夠以此作為教學(xué)方式，既實(shí)現(xiàn)表征能力的培養(yǎng)，亦使教學(xué)具備較高效率。

以實(shí)際為例，在面積相關(guān)知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師便可在概念分析階段形成表征能力的培養(yǎng)，以此使學(xué)生能夠?qū)⑤^為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榫呦蠡乃伎純?nèi)容，進(jìn)而在教學(xué)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)表征能力培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生在潛移默化中具備一定的表征能力［3］。這種能力對(duì)于學(xué)生而言在此階段尚處于一種直觀、主觀的意識(shí)，但已經(jīng)初步形成表征能力。如教師向?qū)W生提出問(wèn)題：“我們應(yīng)該怎樣描述一個(gè)物體的大?。俊边M(jìn)而以學(xué)生日常學(xué)習(xí)、生活可見(jiàn)的事物作為描述對(duì)象，如嘗試描述教學(xué)白板的大小、課桌桌面的大小，在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)語(yǔ)言描述面積的過(guò)程中嘗試通過(guò)概念代入來(lái)實(shí)現(xiàn)表征能力的培養(yǎng)。在這種情況下，學(xué)生紛紛舉出一些他們見(jiàn)過(guò)的、能夠直觀感知到的物體大小，如地板的大小、墻面的大小等。于此基礎(chǔ)上，教師逐漸以教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)一些單位的代入與計(jì)算引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)教學(xué)白板的大小大概是四扇窗戶的大小、一面墻的面積大小是兩塊桌面的面積等。在此過(guò)程中，教師還可引導(dǎo)學(xué)生用筆盒、書(shū)本來(lái)測(cè)量桌面、教學(xué)白板的大小，進(jìn)而在實(shí)際動(dòng)手操作中了解到桌面是“六本數(shù)學(xué)書(shū)”“十個(gè)筆盒”的大小，最終引入面積概念，通過(guò)計(jì)算方式引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)。在此過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)能夠發(fā)現(xiàn)其選擇的物品大小不同會(huì)使最終發(fā)現(xiàn)的物品呈現(xiàn)出“x 個(gè)……”的變化，教師亦可引導(dǎo)學(xué)生了解面積測(cè)量過(guò)程中的基本計(jì)量單位，在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)知識(shí)復(fù)習(xí)。

三、創(chuàng)新引導(dǎo)形成表征感知

就傳統(tǒng)教學(xué)模式而言，學(xué)生表征能力常常與思維能力混為一談，教學(xué)過(guò)程中亦沒(méi)有針對(duì)表征能力展開(kāi)培養(yǎng)的策略。以此而言，教學(xué)中常常因?yàn)榻處熑鄙佥^為有效的引導(dǎo)方式，使學(xué)生僅僅停留在表征能力的形成階段中，無(wú)法實(shí)現(xiàn)表征能力的提升。因此，若想實(shí)現(xiàn)小學(xué)生數(shù)學(xué)表征能力的培養(yǎng)，還需基于實(shí)際通過(guò)創(chuàng)新引導(dǎo)使學(xué)生熟悉基于表征方式解決問(wèn)題，進(jìn)而在學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得較為有效的發(fā)展，更為快速地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)［4］。舉例而言，這種創(chuàng)新引導(dǎo)的方式應(yīng)基于邏輯關(guān)聯(lián)實(shí)現(xiàn)，即引導(dǎo)學(xué)生在培養(yǎng)表征意識(shí)的過(guò)程中掌握邏輯知識(shí)，進(jìn)而基于邏輯在意識(shí)層面上實(shí)現(xiàn)提升與發(fā)展，使這種知識(shí)在邏輯過(guò)程中逐漸形成完整的知識(shí)架構(gòu)，進(jìn)而基于表征實(shí)現(xiàn)從思維——邏輯——認(rèn)知——代入，進(jìn)而解決問(wèn)題的良性循環(huán)。由此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)以解題能力的提升實(shí)現(xiàn)表征能力培養(yǎng)，通過(guò)引導(dǎo)發(fā)展思維能力，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)第一時(shí)間感知到表征方向，應(yīng)用表征能力解決問(wèn)題。

以實(shí)際教學(xué)環(huán)節(jié)為例，在三角形相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)中存在大量習(xí)題，這些習(xí)題多以不同的三角形面積計(jì)算、三角形邊長(zhǎng)或是對(duì)應(yīng)某一角的計(jì)算形式出現(xiàn)。因此，在問(wèn)題解決過(guò)程中，教師可基于此展開(kāi)引導(dǎo)，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)表征能力的提升。如在問(wèn)題解決過(guò)程中，若是學(xué)生難以基于表征方式產(chǎn)生聯(lián)想，教師可引導(dǎo)其在復(fù)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中通過(guò)基礎(chǔ)知識(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)三角形三邊關(guān)系的分析與理解，通過(guò)不同形式小木棒構(gòu)成三角形的方式引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題中回顧知識(shí)、解決問(wèn)題。由于學(xué)生通常難以解決問(wèn)題，教師可通過(guò)對(duì)應(yīng)內(nèi)容的解決實(shí)現(xiàn)引導(dǎo)，在學(xué)生嘗試將不同長(zhǎng)度的小木棒拼接成三角形的過(guò)程中引導(dǎo)其感知三角形三邊關(guān)系，通過(guò)小木棒的選擇、分析，復(fù)習(xí)三角形三條邊的定理，即兩條邊的長(zhǎng)度和必須應(yīng)大于第三條邊，只有這樣才能構(gòu)成一個(gè)三角形。于此過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)小木棒拼接了解知識(shí)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)不斷嘗試、不斷選擇最適合的表征培養(yǎng)感知意識(shí)，進(jìn)而通過(guò)內(nèi)化實(shí)現(xiàn)從知識(shí)到實(shí)際、從實(shí)際到了解的過(guò)程，在組成三角形的過(guò)程中探索發(fā)現(xiàn)，將實(shí)際聯(lián)系問(wèn)題，進(jìn)而在解決相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中通過(guò)表征能力舉一反三，合理解決問(wèn)題的同時(shí)促進(jìn)自身對(duì)問(wèn)題的感知，熟練應(yīng)用表征能力結(jié)合知識(shí)解決問(wèn)題。

四、以思維拓展促進(jìn)表征能力提升

思維是表征能力的基礎(chǔ)，更是教學(xué)開(kāi)展的基礎(chǔ)。從教師角度而言，表征能力的基礎(chǔ)在于學(xué)生的靈活思維、直覺(jué)思維，屬于感性思維，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要抽象思維、理性思維。從這一點(diǎn)來(lái)看，以數(shù)學(xué)教學(xué)、表征能力培養(yǎng)為基礎(chǔ)的教學(xué)則是將感性思維與理性思維結(jié)合的基礎(chǔ)［5］。因此，教師還需拓展學(xué)生思維，在學(xué)生具備表征能力的基礎(chǔ)上使其實(shí)現(xiàn)多元化展現(xiàn)，避免對(duì)學(xué)生思維產(chǎn)生拘束的同時(shí)影響其思維拓展與提升。教師可在教學(xué)過(guò)程中以個(gè)體特點(diǎn)、集體特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生表征能力下的思維培養(yǎng)，以提升思維邏輯的靈活性，選擇更為有效的方式展開(kāi)培養(yǎng)。以實(shí)際為例，圓錐相關(guān)知識(shí)是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中較難理解的部分，教師需針對(duì)實(shí)際，以學(xué)生個(gè)體操作中得出的感想、集體交流中碰撞產(chǎn)生的思維火花實(shí)現(xiàn)表征能力的培養(yǎng)和提升。如引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位展開(kāi)操作，結(jié)合多媒體教學(xué)設(shè)備引導(dǎo)學(xué)生在圓錐“倒水”的環(huán)節(jié)中了解圓錐與圓柱的區(qū)別，基于以往知識(shí)形成每位學(xué)生的表征能力提升，引導(dǎo)其實(shí)現(xiàn)個(gè)體發(fā)展。

除此以外，教師在思維拓展引導(dǎo)的過(guò)程中還可基于學(xué)生的自主探究能力實(shí)現(xiàn)表征多元化，即基于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)實(shí)現(xiàn)表征能力的培養(yǎng)，通過(guò)鼓勵(lì)學(xué)生的方式引導(dǎo)其找到最適合自己的能力提升方式。從小學(xué)生的特點(diǎn)展開(kāi)分析，他們?cè)诒碚髂芰?yīng)用的過(guò)程中習(xí)慣以自身最適合的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)、解決問(wèn)題，而每個(gè)學(xué)生的成長(zhǎng)環(huán)境、邏輯方式不同，表征上的展現(xiàn)也就存在著差別。在這種情況下，教師還應(yīng)以鼓勵(lì)的方式實(shí)現(xiàn)引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生在以表征方式解決問(wèn)題的過(guò)程中積極探索、思考，通過(guò)不同的表征類型得出不同的解題方式，于解題過(guò)程中不僅鍛煉自身表征能力，更實(shí)現(xiàn)思維方面的舉一反三。以實(shí)際為例，在解題過(guò)程中常常有不同的解法，而這種不同情況的出現(xiàn)在于學(xué)生思考問(wèn)題的方式不同，也就意味著他們?cè)诒碚鲀?nèi)容的選擇上存在差異［6］。作為教師應(yīng)鼓勵(lì)這種差異，并且在條件允許的情況下引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)交流，以創(chuàng)新方式實(shí)現(xiàn)表征能力的培養(yǎng)。如在兩位數(shù)乘法的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生常常在計(jì)算過(guò)程中難以應(yīng)用簡(jiǎn)單的表征方式，相對(duì)而言更喜歡應(yīng)用一些取整數(shù)、基于以往所學(xué)知識(shí)的方式展開(kāi)計(jì)算。如在問(wèn)題“26 個(gè)同學(xué)去坐過(guò)山車，門票25 元一位，那么要花費(fèi)多少錢？”中，學(xué)生學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘法后的計(jì)算方式多為25×26=650元，而一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)的學(xué)生更愿意計(jì)算25×30-25×4，首先取整數(shù)，然后計(jì)算差額，最終結(jié)果與基礎(chǔ)計(jì)算內(nèi)容相同。從教師角度而言，這種計(jì)算方式可能較為麻煩，需要計(jì)算兩次。對(duì)于學(xué)生而言，這種計(jì)算方式意味著由其表征形式展開(kāi)的計(jì)算，通過(guò)更為有效的方式進(jìn)行計(jì)算后能夠得出“與其他人不一樣”的計(jì)算方式，對(duì)于小學(xué)生而言意味著發(fā)現(xiàn)。在這種情況下，教師應(yīng)鼓勵(lì)其計(jì)算發(fā)現(xiàn)，并且嘗試通過(guò)教學(xué)說(shuō)明此類計(jì)算方式的有效性，引導(dǎo)學(xué)生參與并且嘗試，實(shí)現(xiàn)思維能力提升、表征能力提升。

總而言之，本文對(duì)數(shù)學(xué)表征能力展開(kāi)分析，通過(guò)培養(yǎng)小學(xué)生表征能力的教學(xué)方法、教學(xué)途徑展開(kāi)研究，發(fā)現(xiàn)表征能力的培養(yǎng)在于教師引導(dǎo)，更在于學(xué)生通過(guò)教師引導(dǎo)親身參與到學(xué)習(xí)中，從自主角度自發(fā)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)，于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中主動(dòng)應(yīng)用思維邏輯解決問(wèn)題。從實(shí)際情況來(lái)看，小學(xué)生的興趣與習(xí)慣決定其在知識(shí)學(xué)習(xí)中的行為，教師需要注意這一情況，還需結(jié)合實(shí)際基于學(xué)生個(gè)體情況、集體共同點(diǎn)展開(kāi)教學(xué)，在專注個(gè)體的同時(shí)以集體作為教學(xué)參照，通過(guò)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式，潛移默化地實(shí)現(xiàn)學(xué)生表征能力的形成與提升。