王建新，李騰旭，李中天，王曄茹

（1 北京林業(yè)大學(xué)信息學(xué)院 北京 100083 2 國(guó)家林草局智能信息處理中心 北京 100083 3 國(guó)家食品安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中心 北京 100022）

諸多發(fā)達(dá)國(guó)家已經(jīng)把食品安全問題提升到國(guó)家安全的戰(zhàn)略高度[1]。我國(guó)也十分重視食品安全問題，已把食品安全上升至與國(guó)防安全同等重要的重大民生工程之一[2]。而食品安全評(píng)價(jià)是實(shí)現(xiàn)食品安全管理的前提和首要條件，它對(duì)食品的安全性給出判斷性描述，最終是一個(gè)分類和等級(jí)評(píng)價(jià)的問題，這是目前研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。由于食品安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)是其它食品安全管理活動(dòng)的前提和基礎(chǔ)，能為食品安全管理部門提供決策輔助[1]，也能為社會(huì)大眾提供食品安全的知情權(quán)，因此是食品安全管理的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。公平公正、科學(xué)合理的評(píng)價(jià)體系使得后續(xù)的風(fēng)險(xiǎn)管理、預(yù)警和響應(yīng)機(jī)制有章可循、有據(jù)可依。

食品安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)體系的主要議題有4 個(gè)，這都是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。第一是建立指標(biāo)體系，即評(píng)價(jià)體系中應(yīng)該包含什么指標(biāo)，它們的組織結(jié)構(gòu)是什么。第二是權(quán)重設(shè)置，即設(shè)置各個(gè)指標(biāo)在評(píng)價(jià)體系中的數(shù)量化的重要程度。第三是指標(biāo)值到分值的映射關(guān)系。由于一般的評(píng)價(jià)結(jié)果最終是分值或等級(jí)這樣的數(shù)量值，因此，需要把指標(biāo)中類別化的或數(shù)量化的取值映射為分值或等級(jí)值。第四是分項(xiàng)分值到總項(xiàng)分值之間的匯總合成關(guān)系。由于指標(biāo)體系中總項(xiàng)會(huì)由若干個(gè)分項(xiàng)構(gòu)成，而每個(gè)分項(xiàng)又可能會(huì)有若干個(gè)更細(xì)的分項(xiàng)構(gòu)成，因此需要建立分項(xiàng)分值到總項(xiàng)之間的匯總合成映射關(guān)系。有時(shí)這種合成匯總關(guān)系比較簡(jiǎn)單，包括簡(jiǎn)單的加權(quán)相加、求均值等，有時(shí)按照實(shí)際需要會(huì)非常復(fù)雜。

要進(jìn)行食品安全評(píng)價(jià)，首先需要建立合理的指標(biāo)體系。指標(biāo)體系分為單層指標(biāo)體系和多層指標(biāo)體系。在單層指標(biāo)體系中，決定食品安全風(fēng)險(xiǎn)綜合程度或指數(shù)的是若干個(gè)變量，這些變量之間的關(guān)系是平行的，它們或者是等權(quán)重的，或者是非等權(quán)重的，所有變量的分值最終決定綜合的食品安全風(fēng)險(xiǎn)程度。為建立乳制品安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指數(shù)，有研究[3]選取了14 個(gè)指標(biāo)，用3 種綜合評(píng)價(jià)法施加于這14 個(gè)指標(biāo)，結(jié)果具有高度一致性，驗(yàn)證了指標(biāo)選取的合理性。呂學(xué)東等[4]構(gòu)建了出口食品生產(chǎn)企業(yè)“三同”成熟度評(píng)價(jià)體系，也是典型的單層評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，文中通過百分制給每個(gè)指標(biāo)賦予了一個(gè)權(quán)重，通過加權(quán)得分評(píng)價(jià)一個(gè)企業(yè)的“三同”成熟度。

然而，在食品安全評(píng)價(jià)中，單層評(píng)價(jià)指標(biāo)體系相對(duì)較少，這是因?yàn)槭称钒踩u(píng)價(jià)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，因此多層指標(biāo)體系在文獻(xiàn)中更為常見，也更為頻繁地在實(shí)踐中使用，常見的層次分析法（AHP 法）也是典型的多層結(jié)構(gòu)。AHP 法是由美國(guó)匹茲堡大學(xué)的運(yùn)籌學(xué)教授薩蒂提出的一種定性與定量結(jié)合的多層權(quán)重分析方法，該方法把一個(gè)復(fù)雜問題先看作一個(gè)整體，然后逐層分解，一個(gè)高層的目標(biāo)可以分解為若干個(gè)低一層級(jí)的目標(biāo)[5]。

建立指標(biāo)體系之后，需要為各個(gè)指標(biāo)設(shè)置權(quán)重，方能通過指標(biāo)變量的值計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)得分。設(shè)置指標(biāo)權(quán)重通常分為主觀設(shè)定和客觀計(jì)算兩種方式，有時(shí)也會(huì)把二者結(jié)合起來操作。有研究[4]由專家直接給出各個(gè)指標(biāo)的權(quán)重值。然而，AHP 法中的權(quán)重一般由若干個(gè)專家分別給出，收集專家給出的權(quán)重分值后，需要進(jìn)行一致性驗(yàn)證[5]。如果驗(yàn)證通過，就說明專家們對(duì)權(quán)重的分配達(dá)成基本一致的意見，權(quán)重保留；否則，需要專家重新對(duì)權(quán)重進(jìn)行分配。除了采用層次分析法[5-6]外，多個(gè)應(yīng)用中用層次分析法建立指標(biāo)體系和設(shè)置權(quán)重，包括對(duì)農(nóng)副產(chǎn)品供應(yīng)商的評(píng)價(jià)體系研究[7]，對(duì)基于供應(yīng)鏈的區(qū)域性食品安全狀況的評(píng)價(jià)[8]，對(duì)食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量安全的評(píng)價(jià)體系研究[9]，以及對(duì)我國(guó)食品企業(yè)信用評(píng)價(jià)體系的建設(shè)[10]等。AHP 法中的權(quán)重設(shè)置是典型的主客觀相結(jié)合的方法。熵權(quán)法通過指標(biāo)數(shù)據(jù)確定指標(biāo)的權(quán)重[11-13]，是純粹客觀的權(quán)重設(shè)置法，然而，前提條件是各個(gè)待評(píng)價(jià)的對(duì)象在每個(gè)指標(biāo)變量上的取值已經(jīng)全部獲取，因此該方法的適應(yīng)性較弱，對(duì)一些指標(biāo)值超出已知數(shù)據(jù)范圍的新對(duì)象無(wú)法評(píng)價(jià)。主成分分析方法也是一種客觀設(shè)置權(quán)重的方法，其利用歷史數(shù)據(jù)，通過各指標(biāo)的線性貢獻(xiàn)判定指標(biāo)權(quán)重。例如，研究[3]利用主成分分析方法實(shí)現(xiàn)了乳制品安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指數(shù)中的權(quán)重設(shè)置。

在建立指標(biāo)體系、設(shè)置各指標(biāo)權(quán)重后，需要建立指標(biāo)值到分值的映射關(guān)系，映射關(guān)系建立的方法有很多種，如等級(jí)離散劃分法[2]，把評(píng)價(jià)結(jié)果值區(qū)間[1，5]劃分為5 個(gè)安全等級(jí)，包括“很差”“很好”等，例如后者的評(píng)價(jià)值區(qū)間可以是（4.2，5]等。而為了度量哪些變量會(huì)影響消費(fèi)者舉報(bào)網(wǎng)絡(luò)外賣餐飲店的食品安全違法違規(guī)行為，王浩等[14]自定義了若干個(gè)原因變量，這些變量大部分都是5 等級(jí)取值的。更多使用的是指標(biāo)值到得分值之間的線性映射，如采用線性映射[15]計(jì)算低碳生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)增收、安全供給等方面的綠色發(fā)展指數(shù)，最后綜合計(jì)算總體的綠色發(fā)展指數(shù)。

食品安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)體系中另外一個(gè)重要的議題就是建立分指標(biāo)項(xiàng)（分項(xiàng)）分值到總指標(biāo)項(xiàng)（總項(xiàng)）之間的匯總合成映射關(guān)系。不管是單層指標(biāo)體系[3]，還是多層指標(biāo)體系[4-10]，總項(xiàng)分值是n 個(gè)分項(xiàng)分值的線性加權(quán)和，如公式（1）所示。

式中，T——總項(xiàng)分值；vi——各分項(xiàng)分值；αi——各分項(xiàng)權(quán)重，i=1，2，…，n，且要滿足αi=1。

1 分項(xiàng)到總項(xiàng)的映射關(guān)系

除了線性映射外，分項(xiàng)到總項(xiàng)分值的映射方式可以有多種，可以更復(fù)雜，而不僅僅限于公式（1）這種映射方式。更一般的形式如公式（2）所示。

式中，f——任意的線性或非線性映射。

雖然線性映射方式在分項(xiàng)到總項(xiàng)的映射中比較常用，但是它存在一個(gè)重要缺陷。在食品安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)中，如果某個(gè)分指標(biāo)的分值較高，即風(fēng)險(xiǎn)較高，則會(huì)認(rèn)為總指標(biāo)中存在這樣一個(gè)“短板”：即使其它分指標(biāo)的數(shù)量很多，風(fēng)險(xiǎn)都比較小，也不能把總指標(biāo)判定為低風(fēng)險(xiǎn)。也就是說，在風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和評(píng)價(jià)中，分值較高的分項(xiàng)的影響較大，分指標(biāo)的分值不適合按照權(quán)重線性相加。

食品安全風(fēng)險(xiǎn)的大小，以及它對(duì)監(jiān)管部門和輿情的影響，并不簡(jiǎn)單是各個(gè)因素嚴(yán)重程度的加權(quán)和，而是更偏重于突出事件、出現(xiàn)嚴(yán)重問題的因素或分指標(biāo)。實(shí)現(xiàn)這一映射關(guān)系的傳統(tǒng)做法是使用模糊隸屬度函數(shù)（簡(jiǎn)稱為模糊函數(shù)）。例如，公式（3）是一個(gè)簡(jiǎn)單的模糊函數(shù)，也稱為最大模糊算子：

根據(jù)公式（3），總指標(biāo)分值（代表總體風(fēng)險(xiǎn)）是分指標(biāo)分值的最大值。也就是說，總指標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值由分指標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值中最大的那個(gè)決定。這個(gè)映射關(guān)系比較符合人們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)知：系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)由系統(tǒng)中的短板決定。有研究應(yīng)用模糊綜合[16]的方式對(duì)高校食堂的食品衛(wèi)生做了評(píng)價(jià)和分析，易于發(fā)現(xiàn)食堂食品衛(wèi)生的短板問題，以便督促改進(jìn)，有研究應(yīng)用更一般的三角模糊法[12]評(píng)價(jià)冷鏈貨架周期，然而，通過施加三角模糊的運(yùn)算法則，最終的映射結(jié)果仍呈現(xiàn)為非此即彼的形式。還有研究[11]首先用熵權(quán)法確定分指標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)分值，然后也通過模糊綜合的方式獲得總指標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)分值。

另一方面，與風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估評(píng)價(jià)相反，若要對(duì)安全性進(jìn)行評(píng)價(jià)，計(jì)算安全指數(shù)等，則分指標(biāo)的安全值中最小的那個(gè)對(duì)總指標(biāo)具有決定作用，這也是一個(gè)模糊函數(shù)，稱為最小模糊算子：

公式（4）的意義是：總指標(biāo)的安全性由最不安全的分指標(biāo)決定。

然而，上述模糊評(píng)價(jià)的方式存在另一個(gè)重要的缺陷，即總指標(biāo)的分值必須是某一個(gè)分指標(biāo)的分值，非此即彼，具有排他性，并不滿足實(shí)踐應(yīng)用中的需求，也就是嚴(yán)格單調(diào)性范式要求。所謂嚴(yán)格單調(diào)性范式要求是：對(duì)于兩個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象，若除第k個(gè)分指標(biāo)外，其它分指標(biāo)的值都相同，則兩個(gè)對(duì)象的總指標(biāo)值相對(duì)于第k 個(gè)分指標(biāo)的值要滿足嚴(yán)格單調(diào)性。嚴(yán)格單調(diào)性包括嚴(yán)格單調(diào)增和嚴(yán)格單調(diào)減。這里以嚴(yán)格單調(diào)增為例，形式化地描述嚴(yán)格單調(diào)性范式要求。

假設(shè)兩個(gè)待評(píng)價(jià)對(duì)象O＇和O″在n-1 個(gè)分指標(biāo)上的分值都相同，而在第k 個(gè)分指標(biāo)上的分值不同，也就是二者的分指標(biāo)值分別是：S1，S2，…Sk-1，Sk＇，Sk+1…Sn和S1，S2，…Sk-1，Sk″，Sk+1…Sn，且假設(shè)Sk＇＞Sk″，那么嚴(yán)格單調(diào)增范式要求需要兩個(gè)總指標(biāo)的分值滿足Tk＇＞Tk″，然而，最大模糊算子和最小模糊算子顯然都不滿足嚴(yán)格單調(diào)范式要求，會(huì)出現(xiàn)Tk＇=Tk″的情況。例如，假設(shè)兩個(gè)待評(píng)價(jià)對(duì)象O＇和O″只有兩個(gè)分指標(biāo)，它們的分值向量分別是（0.3，0.8）和（0.4，0.8）。根據(jù)最大模糊算子，這兩個(gè)待評(píng)價(jià)對(duì)象的總指標(biāo)分值都是0.8，顯然不滿足嚴(yán)格單調(diào)性范式要求。事實(shí)上，就風(fēng)險(xiǎn)而言，O″比O＇風(fēng)險(xiǎn)更高，二者風(fēng)險(xiǎn)值不應(yīng)該相等。同理，對(duì)最小模糊算子也存在大量不滿足嚴(yán)格單調(diào)性范式的例子。

模糊評(píng)價(jià)方式雖然突出了重點(diǎn)分指標(biāo)對(duì)總指標(biāo)分值的決定作用，但是完全忽略了其它分指標(biāo)對(duì)總指標(biāo)分值的影響，在邏輯上并不合理，在實(shí)踐應(yīng)用中是有缺陷的。

為了融合和兼顧重點(diǎn)分指標(biāo)對(duì)總指標(biāo)的決定性影響和嚴(yán)格單調(diào)性范式兩個(gè)要求，需要新的映射方式，為此，作者提出廣義向量模長(zhǎng)的映射方法，并從數(shù)學(xué)證明和實(shí)踐應(yīng)用兩個(gè)角度說明其優(yōu)勢(shì)。

2 數(shù)據(jù)與方法

2.1 歐式向量模長(zhǎng)映射方法

有研究[12]采用歐式距離比較兩個(gè)商品的貨架期差異，并取得良好的效果。兩個(gè)商品的歐式距離由分項(xiàng)計(jì)算，如公式（5）所示：

借鑒這個(gè)距離定義，可以建立基于歐式模長(zhǎng)的分指標(biāo)值到總指標(biāo)值的映射方式，即通過計(jì)算分指標(biāo)值構(gòu)成的向量與0 向量的距離獲取總指標(biāo)的分值，如公式（6）所示：

顯然，歐式向量模長(zhǎng)的映射方式是符合嚴(yán)格單調(diào)范式的（證明略）。另外，該評(píng)價(jià)方式也滿足重點(diǎn)分指標(biāo)對(duì)總指標(biāo)的決定性影響的要求。例如，假設(shè)食品安全風(fēng)險(xiǎn)由4 個(gè)因素構(gòu)成，其分值分別是v1，v2，v3，v4，各因素的權(quán)重均為0.25，對(duì)于某食品，前3 個(gè)分指標(biāo)的分值都是0.1，第4 個(gè)分指標(biāo)的值是0.9，則按照線性加權(quán)和映射方式，綜合風(fēng)險(xiǎn)的分值是0.25×0.1+0.25×0.1+0.25×0.1+0.25×0.9=0.3。用歐式向量模長(zhǎng)的方式可以做如下計(jì)算：

歐式向量模長(zhǎng)的映射方式也有其不足之處。從公式（7）的例子可以看出，突出的分值對(duì)總指標(biāo)的影響程度是固定不變的，因此，歐式模長(zhǎng)不具有普適性，不能隨需要而調(diào)整，究其關(guān)鍵原因是由于該評(píng)價(jià)方式?jīng)]有可調(diào)整的超參數(shù)。另外，公式（7）所示歐式模長(zhǎng)評(píng)價(jià)方式?jīng)]有考慮各個(gè)分指標(biāo)的權(quán)重，需要在歐式模長(zhǎng)的基礎(chǔ)上提出更普適的映射方式。

2.2 廣義向量模長(zhǎng)映射方法

定義從分指標(biāo)值到總指標(biāo)值的廣義向量模長(zhǎng)映射方式如公式（8）所示：

式中，β——超參數(shù)，取值范圍可以從負(fù)無(wú)窮（包括）到正無(wú)窮（包括）；αi——各個(gè)分指標(biāo)的權(quán)重，i=1，2，…，n，且要滿足廣義向量模長(zhǎng)的廣義性體現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一，該模型具有超參數(shù)β，有更廣泛的適應(yīng)性；第二，與歐式模長(zhǎng)映射方式不同，它兼顧了各個(gè)分項(xiàng)的權(quán)重值。

首先，證明如下有關(guān)漸近性的命題：

命題1.當(dāng)超參數(shù)β 趨于正無(wú)窮時(shí)，廣義向量模長(zhǎng)映射退化為最大模糊算子映射。

證明：為了證明過程的簡(jiǎn)潔，先假設(shè)共有2 個(gè)分指標(biāo)（有更多分指標(biāo)時(shí)，證明過程類似），也就是n=2，兩個(gè)分指標(biāo)的值分別是v1和v2，且v1＞v2。

從上面的證明結(jié)果可以看出，經(jīng)過廣義向量模長(zhǎng)映射，總指標(biāo)值就是分指標(biāo)的最大值。這種映射實(shí)際上就是最大模糊算子映射。

命題2.當(dāng)超參數(shù)β 趨于正0 時(shí)，廣義向量模長(zhǎng)評(píng)價(jià)方式退化為幾何加權(quán)平均。

根據(jù)洛必達(dá)法則，上式分子分母同時(shí)求導(dǎo)：

因此，

公式（9）其實(shí)是幾何平均的一般形式。特殊地，當(dāng)α1=α2=0.5 時(shí)，

上式恰好是各個(gè)分指標(biāo)值傳統(tǒng)意義上的幾何平均。下面通過一個(gè)例子比較算術(shù)平均映射和幾何平均映射。仍然假設(shè)有2 個(gè)分指標(biāo)，每個(gè)分指標(biāo)所占權(quán)重都是0.5，兩個(gè)分指標(biāo)的值分別是0.3 和0.9，那么它們的算術(shù)平均值是0.6，然而，幾何平均值是0.5196，二者雖接近，但又有不同，幾何平均映射的結(jié)果更接近于分指標(biāo)中較小的值。

命題3.當(dāng)超參數(shù)β 趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，廣義向量模長(zhǎng)評(píng)價(jià)方式退化為最小模糊算子。

于是有，

因此，

所得結(jié)果即為分指標(biāo)中的最小值。這說明，當(dāng)超參β 趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，廣義向量模長(zhǎng)映射即最小模糊算子映射。

2.3 廣義向量模長(zhǎng)映射方法的超參取值區(qū)間

公式（8）表示廣義向量模長(zhǎng)映射方法，其超參β 在正無(wú)窮、0、負(fù)無(wú)窮處均沒有定義，除此之外，在實(shí)數(shù)軸上的任何其它地方都有定義，可計(jì)算。為此，前文通過求極限的方式，重新在這3 處給出了公式（8）的擴(kuò)展定義，使得公式（8）的超參β 在包括正、負(fù)無(wú)窮的整個(gè)實(shí)數(shù)軸上都有了定義。進(jìn)一步地，通過前文的證明，可以得出：廣義向量模長(zhǎng)映射方法能夠涵蓋前述的幾乎所有的映射方法，包括最大模糊算子法、最小模糊算子法、歐式模長(zhǎng)法、算術(shù)平均法、幾何平均法，也包括這些方法之間的過渡狀態(tài)方法。廣義向量模長(zhǎng)映射法隨著超參β 的變化，與其它映射方法的關(guān)系如圖1所示。

圖1 廣義向量模長(zhǎng)映射法與其他映射方法的關(guān)系Fig.1 The relationship between generalized vector modulus length mapping method and other methods

首先，超參β 的值越大，映射結(jié)果就越接近于分指標(biāo)項(xiàng)中的最大值。極端情況，當(dāng)β 為正無(wú)窮時(shí)，映射結(jié)果即分指標(biāo)項(xiàng)的最大值。相反地，超參β 的值越小，映射結(jié)果就越接近于分指標(biāo)項(xiàng)中的最小值。極端情況，當(dāng)β 為負(fù)無(wú)窮時(shí)，映射結(jié)果即分指標(biāo)項(xiàng)的最小值。特殊地，當(dāng)β 的值為0，1，2時(shí)，廣義向量模長(zhǎng)映射法分別退化為幾何平均映射法、算術(shù)平均映射法和歐式模長(zhǎng)映射法。

除了超參β 在正負(fù)無(wú)窮的極端情況，廣義向量模長(zhǎng)映射方法均滿足嚴(yán)格單調(diào)范式。

除了上述特殊情況，超參β 在過渡狀態(tài)情況下的映射方法更有意義。當(dāng)β 位于區(qū)間（1，+∞）中時(shí)，映射結(jié)果會(huì)更偏向于較大的分項(xiàng)值，并且隨著β 的增加，這種偏向的程度更深。當(dāng)考慮風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)等綜合指標(biāo)時(shí)，可以讓超參β 選擇這個(gè)區(qū)間的值。相反地，若考慮安全指數(shù)等指標(biāo)，則可讓超參取值在區(qū)間（-∞，0）中。超參β 在這個(gè)區(qū)間中時(shí)，映射獲得的總指標(biāo)的值更傾向于各個(gè)分指標(biāo)的最小值，并且隨著β 的減小，這種傾向性就更明顯。當(dāng)超參β 在區(qū)間[0，1]中時(shí)，既可以映射風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)，也可以映射安全指數(shù)，然而，由于不能很好地體現(xiàn)關(guān)鍵子指標(biāo)對(duì)總指標(biāo)的決定作用，因此建議盡量不采用。不過，當(dāng)要把分指標(biāo)信息盡量完整地反映到總指標(biāo)中，而又不考慮分指標(biāo)值的大小對(duì)映射方式的影響時(shí)，可以考慮用這個(gè)區(qū)間中的超參值。與眾多文獻(xiàn)中的映射方式類似，可以讓超參β 取值為1，這時(shí)廣義向量模長(zhǎng)映射法就退化為線性加權(quán)平均法。

由于廣義向量模長(zhǎng)映射法完全由超參數(shù)β 決定，因此，用Gβ表示一個(gè)特定的映射方法。例如，G10表示超參為10 的廣義向量模長(zhǎng)映射法，G∞就是最大模糊算子映射法。

3 結(jié)果與分析

3.1 超參數(shù)對(duì)映射關(guān)系的影響實(shí)例

根據(jù)廣義向量模長(zhǎng)的公式（8），表1列出部分超參數(shù)對(duì)總指標(biāo)分值的影響程度。這里仍然假設(shè)只有兩個(gè)分指標(biāo)，其權(quán)重α1=α2=0.5，且分項(xiàng)值v1=0.9，v2=0.2。根據(jù)廣義向量模長(zhǎng)的公式（8），以及它在一些特殊點(diǎn)上的擴(kuò)展定義，得到對(duì)應(yīng)關(guān)系，見表1。

從表1可以看出，隨著超參數(shù)β 從正無(wú)窮變化到負(fù)無(wú)窮，總指標(biāo)項(xiàng)的值從分指標(biāo)的最大值逐漸變化為分指標(biāo)的最小值。在實(shí)際應(yīng)用中，可以參考表1中的數(shù)據(jù)，按照實(shí)際需求，選取合適的映射關(guān)系，即選取重要值的分指標(biāo)對(duì)總指標(biāo)的合適的影響程度。也可以根據(jù)實(shí)際需求，選取表中兩個(gè)相鄰超參之間的某個(gè)中間值。

表1 廣義向量模長(zhǎng)方法中超參數(shù)對(duì)總指標(biāo)分值的影響關(guān)系Table 1 Impact of the hyper-parameter to total metric score in the method of generalized vector modulus length

3.2 廣義向量模長(zhǎng)映射法的應(yīng)用

為了評(píng)估蘭州市柑橘類水果的農(nóng)藥殘留風(fēng)險(xiǎn)，文獻(xiàn)[17]建立了指標(biāo)體系，其中包括甲拌磷等6 個(gè)分指標(biāo)。本文把廣義向量模長(zhǎng)映射法應(yīng)用于這個(gè)評(píng)價(jià)案例，驗(yàn)證該方法的有效性。比較結(jié)果如表2所示。

表2 廣義向量模長(zhǎng)映射法與其它方法的應(yīng)用比較Table 2 Application comparison between the method of generalized vector modulus length and other methods

觀察表2中線性加權(quán)映射法（G1），它的最終結(jié)果與分指標(biāo)最大風(fēng)險(xiǎn)值0.8 相差甚遠(yuǎn)，因此不能反映具有重要值的分指標(biāo)對(duì)總指標(biāo)的決定作用。相反地，最大模糊映射法（G∞）和廣義向量模長(zhǎng)法（G10）的結(jié)果都是或比較接近分指標(biāo)的最大值，符合實(shí)際情況，更有應(yīng)用價(jià)值。

然而，最小模糊映射法（G-∞）在所有情境中的結(jié)果都是0，因此在考慮風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)而不是安全指數(shù)時(shí)，不具有應(yīng)用價(jià)值。相反地，在考慮安全指數(shù)計(jì)算時(shí)，該方法會(huì)更為實(shí)用。

情景1 和情景2 的6 個(gè)分指標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)值除了“苯醚甲環(huán)唑”外，全部相同，廣義向量模長(zhǎng)映射法（G10）捕捉到這個(gè)差異，總指標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)值也有所不同，且滿足嚴(yán)格單調(diào)性范式。然而，最大模糊映射法（G∞）不具備捕捉這個(gè)差異的能力，其最終的風(fēng)險(xiǎn)值均為0.8，與分指標(biāo)的最大值完全相同。

兩個(gè)分指標(biāo)“敵敵畏”和“苯醚甲環(huán)唑”的權(quán)重不同，在情景2 和情景3 中交換了風(fēng)險(xiǎn)值，這在線性加權(quán)映射法（G1）中得以體現(xiàn)，從情景2 的0.32變化為情景3 的0.23，在廣義向量模長(zhǎng)映射法（G10）也得以體現(xiàn)，從情景2 的0.70947 變化為0.63661，而最大模糊映射法（G∞）不具備捕捉這個(gè)變化的能力，它對(duì)權(quán)重的變化并不敏感。

綜上分析，廣義向量模長(zhǎng)映射法從各個(gè)角度看，具有比較大的綜合優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

食品安全風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)體系的科學(xué)合理性和公平公正性對(duì)食品安全管理具有重要作用，是其不可或缺的組成部分。好的評(píng)價(jià)體系能夠使食品安全監(jiān)督檢查有據(jù)可依，可以更好地區(qū)分食品企業(yè)和食品產(chǎn)品，結(jié)合監(jiān)督抽檢和檢驗(yàn)檢查等起到引導(dǎo)和督促的作用。評(píng)價(jià)體系建設(shè)的第4 個(gè)議題（由分到總的映射）中，存在不能體現(xiàn)重要分指標(biāo)值對(duì)總指標(biāo)值的決定作用、不滿足嚴(yán)格單調(diào)性范式等問題。本文提出的廣義向量模長(zhǎng)映射法不但能夠很好地體現(xiàn)重要分指標(biāo)值對(duì)總指標(biāo)值的決定作用，而且能夠滿足嚴(yán)格單調(diào)性范式。更重要的是，通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，證明廣義向量模長(zhǎng)映射法是傳統(tǒng)映射方法的統(tǒng)一形式，可通過超參的選取，確定適合應(yīng)用場(chǎng)景的廣義向量模長(zhǎng)映射實(shí)例。通過實(shí)際的應(yīng)用場(chǎng)景，驗(yàn)證了這些結(jié)論。

在多層的指標(biāo)體系中，存在多次的從分指標(biāo)值到總指標(biāo)值的映射過程，需要有多個(gè)超參β。一般來說，同一個(gè)指標(biāo)體系下的超參不要求統(tǒng)一，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需求，決定不同映射關(guān)系中的不同超參的值。

雖然提出廣義向量模長(zhǎng)的分指標(biāo)值到總指標(biāo)值的映射方法，但是指標(biāo)體系建設(shè)中仍然存在諸多問題和難點(diǎn)，后續(xù)將把映射方法與另外3 個(gè)議題結(jié)合，形成有機(jī)統(tǒng)一的指標(biāo)體系方法論和建設(shè)指南。