劉少杭，聶少武，蔣闖，柴福博

(河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽 471003)

0 前言

準(zhǔn)雙曲面齒輪具有重合度大、傳動平穩(wěn)、承載能力高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于各種傳動裝置，在汽車驅(qū)動后橋中的應(yīng)用尤為廣泛。近些年來，為了對汽車驅(qū)動橋準(zhǔn)雙曲面齒輪的嚙合性能進(jìn)行評價，國內(nèi)外學(xué)者對準(zhǔn)雙曲面齒輪的齒面接觸分析(Tooth Contact Analysis，TCA)進(jìn)行了一系列的研究。王星等人[1-2]建立HGT準(zhǔn)雙曲面齒輪切齒加工數(shù)學(xué)模型，對齒面接觸和邊緣接觸進(jìn)行了分析。杜進(jìn)輔等[3]通過分析克林貝格制擺線齒準(zhǔn)雙曲面齒輪，建立一種改進(jìn)的齒面接觸分析模型并對其進(jìn)行分析，避免了TCA結(jié)果出現(xiàn)幾何上的不準(zhǔn)確。杜進(jìn)輔等[4]通過建立奧利康制準(zhǔn)雙曲面齒輪的全齒面模型，對其進(jìn)行了齒面接觸分析。SHIH等[5]建立了采用端面銑削和端面滾切加工的準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面接觸分析的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型。王崢嶸[6]對采用端面滾齒法加工準(zhǔn)雙曲面齒輪提出了兩種基于數(shù)值迭代的齒面接觸分析方法，避免了復(fù)雜的主曲率主方向的推導(dǎo)。卓耀彬等[7]建立了適合準(zhǔn)靜態(tài)齒面接觸分析的準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動系統(tǒng)，并對其進(jìn)行了準(zhǔn)靜態(tài)齒面接觸分析。蘇進(jìn)展等[8]對弧齒錐齒輪進(jìn)行了數(shù)值化齒面接觸分析，實(shí)現(xiàn)了數(shù)值化齒面的幾何特征修改。

目前，對準(zhǔn)雙曲面齒輪副嚙合性能的評價通常是采用輪齒接觸分析(TCA)方法。傳統(tǒng)TCA方法是通過解析法求解齒面接觸區(qū)，因涉及到主方向、主曲率等復(fù)雜曲率計算，推導(dǎo)過程十分繁瑣且計算量大，甚至有時出現(xiàn)齒面接觸橢圓求解異常的情況。因此，本文作者提出一種基于解析法和有限元法融合的齒面接觸分析方法，即利用解析法計算齒面?zhèn)鲃诱`差，通過有限元軟件分析加載接觸，得到齒面接觸區(qū)，通過與專業(yè)軟件進(jìn)行對比，驗(yàn)證該方法的可行性。

1 HFT數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)砂輪結(jié)構(gòu)建立刀盤坐標(biāo)系[9]，如圖1所示。其中，坐標(biāo)系St(Xt,Yt,Zt)與刀盤固連；Gg和Gp是內(nèi)外刀刀刃上的一點(diǎn)；rg和rp分別是內(nèi)外刀刀尖半徑；αg和αp分別為內(nèi)外刀齒齒形角；αg取正值；αp取負(fù)值；ug和up為刀齒曲面參數(shù)。

在HFT法加工過程中，根據(jù)刀具與工件的相對運(yùn)動和位置變化，建立了小輪磨齒加工數(shù)學(xué)模型，如圖2所示。

坐標(biāo)系Sm(Xm,Ym,Zm)與加工機(jī)床固連稱為機(jī)床坐標(biāo)系，Om與機(jī)床中心重合，Sc(Xc,Yc,Zc)與搖臺固連稱為搖臺坐標(biāo)系，加工前坐標(biāo)Sm和Sc重合。j為刀傾角，i為刀轉(zhuǎn)角，q1為角向刀位，Sr1為徑向刀位，Em1為垂直輪位，Xb為床位，Xp1為水平輪位，γm為工件安裝角度，θ為刀具齒面參數(shù)，Sd與工件固連稱為工件坐標(biāo)系，通過展成運(yùn)動關(guān)系可知φ=Rbφ，Rb為切齒滾比。

根據(jù)圖1刀盤坐標(biāo)系中的矢量關(guān)系，可以推導(dǎo)出刀具曲面方程以及單位法矢。

(1)

nt=[-cosαkcosθk-cosαksinθksinαk]

(2)

式中：k=g、p,分別代表內(nèi)刀和外刀。

由St坐標(biāo)系中的刀具曲面方程和單位法矢經(jīng)過一系列坐標(biāo)變換和矢量運(yùn)算得到小輪齒面方程和單位法矢。

r1(uk,θk,φ)=M1hMhsMsmMmcMcjMjtrt(uk,θk)

(3)

n1(uk,θk,φ)=LdhLhsLsmLmcLcjLjtnt(uk,θk)

(4)

式中:Ldh、Lhs、Lsm、Lmc、Lcj、Ljt分別為矩陣Mdh、Mhs、Msm、Mmc、Mcj、Mjt去掉最后一行及最后一列得到的3×3矩陣。

大輪采用成形法加工，成形法加工數(shù)學(xué)模型是刀傾法加工數(shù)學(xué)模型的一種特殊情況，因此只需令圖2中的j=0、Xb=0、Em1=0、Rb=0、φ=0、φ=0，即可推導(dǎo)出大輪齒面方程和單位法矢。

2 解析法求解傳動誤差

齒面接觸分析是通過數(shù)學(xué)方法模擬出齒輪副的嚙合過程，依據(jù)準(zhǔn)雙曲面齒輪副在嚙合過程中的位置和運(yùn)動關(guān)系[10]，建立準(zhǔn)雙曲面齒輪嚙合數(shù)學(xué)模型，如圖3所示。

圖3中小輪軸線和大輪軸線夾角為90°，軸線之間距離為ΔE，S2與大輪固連，S1與小輪固連，Sb和Sd為輔助坐標(biāo)系，嚙合過程中S2繞大輪軸線旋轉(zhuǎn)φ2，S1繞小輪軸線旋轉(zhuǎn)φ1。

通過上述建立的刀傾法加工數(shù)學(xué)模型即可推導(dǎo)出小輪齒面方程r1(u1,θ1)、小輪法矢n1(u1,θ1)和大輪齒面方程r2(u2,θ2)、大輪法矢n2(u2,θ2)。分別將它們進(jìn)行坐標(biāo)變換，變換到固定坐標(biāo)系Sa中，得到如下：

ra1(u1,θ1,φ1)=MadMd1r1(u1,θ1)

(5)

ra2(u2,θ2,φ2)=MabMb2r2(u2,θ2)

(6)

na1(u1,θ1,φ1)=LadLd1n1(u1,θ1)

(7)

na2(u2,θ2,φ2)=LabLb2n2(u2,θ2)

(8)

式中：Lad、Ld1、Lab、Lb2分別為矩陣Mad、Md1、Mab、Mb2去掉最后一行及最后一列得到的3×3矩陣。

在齒輪副嚙合過程中，齒面Σ1和齒面Σ2持續(xù)相切接觸，故在任一時刻兩齒面都有公共接觸點(diǎn)，在公共接觸點(diǎn)處兩齒面有相同的徑矢ram和相同法矢nam。

ra1(u1,θ1,φ1)=ra2(u2,θ2,φ2)

(9)

na1(u1,θ1,φ1)=na2(u2,θ2,φ2)

(10)

由式(9)(10)可得到5個相互獨(dú)立的標(biāo)量方程，5個標(biāo)量方程中含有6個未知數(shù)，通過給定φ1值，求解出其他5個未知數(shù)(u1,u2,θ1,θ2,φ2)，得到第一個接觸點(diǎn)，將它設(shè)為參考點(diǎn)。以此為初值，通過以一定的步長改變φ1值求解出齒面上的所有點(diǎn)。

由傳動誤差的定義，得到其表達(dá)式[11-12]如下:

(11)

3 齒面接觸區(qū)有限元仿真

通過加工數(shù)學(xué)模型求解出齒面方程，采用旋轉(zhuǎn)投影原理進(jìn)行網(wǎng)格劃分進(jìn)而求解出齒面點(diǎn)，將齒面點(diǎn)導(dǎo)入UG中建立準(zhǔn)雙曲面齒輪模型[13]。為便于有限元軟件的仿真分析，將準(zhǔn)雙曲面齒輪模型分割為單齒模型。為便于六面體網(wǎng)格的劃分，建立輔助面將單齒模型進(jìn)行切分，最后將模型和輔助面導(dǎo)出為(.x_t)文件。

ABAQUS齒面接觸有限元仿真流程如圖4所示。仿真流程主要分為前處理、求解和后處理3個部分。在前處理過程中，通過導(dǎo)入上述(.x_t)文件，進(jìn)行裝配，完成幾何模型的構(gòu)建。通過設(shè)置材料密度、彈性模量、泊松比完成材料參數(shù)的定義。通過對大小輪各邊布點(diǎn)，劃分網(wǎng)格完成網(wǎng)格系統(tǒng)的構(gòu)建。

在求解過程中，求解器的設(shè)定采用靜力通用類型。連接關(guān)系采用面與面接觸。邊界條件的設(shè)定通過設(shè)置邊界約束以及施加負(fù)載扭矩實(shí)現(xiàn)。

后處理過程是當(dāng)上述所有操作設(shè)置完畢后，提交作業(yè)，得到場輸出數(shù)據(jù)中的接觸應(yīng)力。

接觸橢圓是齒輪副嚙合產(chǎn)生的瞬時接觸區(qū)，不同時刻瞬時接觸橢圓的集合稱為齒面接觸區(qū)[14-15]。因此，本文作者通過使用Python語言編寫腳本，對分析結(jié)果進(jìn)行提取。Python提取ABAQUS中輸出結(jié)果的流程如圖5所示。

Python提取流程圖主要分為讀取數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)兩部分。在讀取數(shù)據(jù)階段，首先打開odb文件讀取場輸出結(jié)果中的齒面接觸應(yīng)力，然后定義2個數(shù)組，分別儲存單元編號和對應(yīng)的接觸應(yīng)力值，最后關(guān)閉結(jié)果文件。在輸出數(shù)據(jù)階段，首先打開新建的儲存文件，然后通過比較每個單元在不同時刻的接觸應(yīng)力，找到最大接觸應(yīng)力，并將每個單元的最大接觸應(yīng)力值寫入文件中，最后關(guān)閉文件。

ABAQUS軟件在分析結(jié)束后，關(guān)閉odb文件，運(yùn)行上述的腳本文件，即可得到主從動輪接觸面上的每個單元在整個分析過程中不同時刻的最大接觸應(yīng)力。每一時刻顯示的接觸應(yīng)力云圖形狀等同于齒面瞬時接觸橢圓。通過提取不同時刻的最大接觸應(yīng)力，得到齒面接觸區(qū)。

4 算例分析

以一對HFT法加工的準(zhǔn)雙曲面齒輪為例，分別進(jìn)行建模以及有限元接觸分析。表1所示為準(zhǔn)雙曲面齒輪幾何參數(shù)，表2所示為加工參數(shù)。

表1 準(zhǔn)雙曲面齒輪幾何參數(shù)

表2 加工參數(shù)

利用解析法對輪齒接觸原理進(jìn)行研究，通過 MATLAB軟件編寫傳動誤差程序。圖6所示為由MATLAB程序計算得出的傳動誤差，圖7所示為由格里森CAGE軟件得到的傳動誤差。

由圖6—圖7可以看出：解析法得到的傳動誤差幅值(交點(diǎn)對應(yīng)的縱坐標(biāo))為28 μrad，格里森CAGE軟件得到的傳動誤差幅值為28.5 μrad，兩者傳動誤差幅值基本相同，驗(yàn)證了解析法求解傳動誤差的正確性。

在UG中建立準(zhǔn)雙曲面齒輪模型，如圖8所示。

將建立好的模型導(dǎo)入有限元軟件ABAQUS中進(jìn)行負(fù)載接觸分析，得到分析結(jié)果后再進(jìn)行后處理，即對分析結(jié)果進(jìn)行提取，得到齒面接觸區(qū)，如圖9—圖11所示。

然后將準(zhǔn)雙曲面齒輪的幾何參數(shù)以及加工參數(shù)輸入到軟件MASTA中，建立齒輪副模型，通過施加不同載荷，得到齒輪副在不同負(fù)載下的齒面接觸區(qū)，如圖12所示。

通過對比ABAQUS仿真齒面接觸區(qū)與MASTA軟件仿真結(jié)果，發(fā)現(xiàn)接觸區(qū)都是位于齒面中部，成內(nèi)對角接觸，齒面接觸區(qū)形狀大小趨于一致，驗(yàn)證了文中所提出的齒面接觸分析方法的正確性。

為進(jìn)一步對有限元仿真結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，對表1中準(zhǔn)雙曲面齒輪進(jìn)行磨齒加工和齒面誤差測量實(shí)驗(yàn)，如圖13和圖14所示。通過對磨齒后的齒面進(jìn)行測量反調(diào)，保證了實(shí)際加工齒面與設(shè)計齒面一致，最后在滾檢機(jī)T50上進(jìn)行了齒面滾檢實(shí)驗(yàn)(加載扭矩40 N·m)，得到了輕載下大輪凹面接觸區(qū)，如圖15所示。

通過對比滾檢結(jié)果圖15(b)與有限元仿真結(jié)果圖11(b)可以看出：仿真接觸區(qū)的形狀、位置、大小與滾檢結(jié)果趨于一致，進(jìn)一步證明了所提出的齒面接觸分析方法的正確性與可行性。

5 結(jié)論

基于解析法和有限元法對準(zhǔn)雙曲面齒輪齒面接觸分析進(jìn)行了研究，通過解析法求解出了傳動誤差曲線，通過有限元仿真獲得了齒面三維接觸區(qū)，避免了解析法在求解接觸區(qū)橢圓時復(fù)雜的曲率計算，同時使得齒面接觸區(qū)顯示更加真實(shí)直觀。通過對比仿真結(jié)果與MASTA軟件結(jié)果，以及齒面加工滾檢實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提齒面接觸分析方法的正確性與可行性。