藍(lán)穗雅

數(shù)學(xué)思想是人對現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”思維抽象和創(chuàng)造的結(jié)果，對各種事物抽象概括及事物間關(guān)系的模式建構(gòu)；是對高度概括的概念、定理、公式等的本質(zhì)認(rèn)識和反映。

《新課標(biāo)》指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。同時(shí)，《新課標(biāo)》的課程總目標(biāo)部分指出：學(xué)生在經(jīng)歷小學(xué)及初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，以“四基”能力，即：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)來適應(yīng)社會生活和繼續(xù)發(fā)展數(shù)學(xué)，這樣看來數(shù)學(xué)思不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本目標(biāo)。

數(shù)學(xué)模型是以某種事物本質(zhì)特征或數(shù)量為基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)化語言，簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。建立數(shù)學(xué)模型的過程稱之為數(shù)學(xué)建模，一般包括四個步驟：問題情境──建立模型──解釋──應(yīng)用。建構(gòu)模型必須要學(xué)生親身參與，不是由教師“打包”硬塞給學(xué)生。簡潔的公式、定理學(xué)生不經(jīng)歷構(gòu)建推演，在解決實(shí)際問題中，只能生搬硬套，做不到靈活運(yùn)用。數(shù)學(xué)建模過程是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一，當(dāng)模型思想滲透于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的重要體現(xiàn)。

一、凸顯數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)的過程性

建模的過程，有利于學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際、從已有的知識經(jīng)驗(yàn)落腳，在不斷建構(gòu)中，學(xué)習(xí)理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)，這一學(xué)習(xí)過程有利于改變教師教學(xué)生聽的“注入式”的教學(xué)模式，將學(xué)生推到主體地位，使學(xué)生在大量的觀察操作實(shí)驗(yàn)中，積極參與數(shù)學(xué)活動，在思考探索的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的各種能力，同時(shí)，非“注入式”教學(xué)模式既有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，又有利于擴(kuò)寬學(xué)生數(shù)學(xué)思想的深度，解決實(shí)際問題的能力，體會數(shù)學(xué)在實(shí)際生活的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感體驗(yàn)。

數(shù)學(xué)的教學(xué)過程實(shí)際是以“問題”為線索，以“解決問題”為主線，教師指引方向。在問題解決過程中，根據(jù)所給信息，讓學(xué)生搭建“腳手架”，用數(shù)學(xué)符號表示問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，建立問題框架，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括及創(chuàng)新能力，使學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識與技能，體會和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

以北師大版一年級數(shù)學(xué)《一共有多少》為例：

集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念。加法運(yùn)算模型的實(shí)質(zhì)是把給定集合中各自元素的個數(shù)合并在一起，得到一個新的數(shù)量（表示新集合中的元素個數(shù)），現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量有關(guān)的原型，如合并、移入、增加等，是學(xué)生學(xué)習(xí)加法模型的前提和基礎(chǔ)。

本課分為三個層次呈現(xiàn)：

第一層：創(chuàng)設(shè)多個豐富的現(xiàn)實(shí)情境（“一共有多少支筆”和“一共有多少只熊貓”），初步感知加法的實(shí)際意義：把兩部分“合起來”這是學(xué)生理解加法的基礎(chǔ)；呈現(xiàn)笑笑和淘氣的對話，整個過程是學(xué)生認(rèn)識數(shù)的運(yùn)算的實(shí)物演示過程，既蘊(yùn)含這對清經(jīng)過的理解，也包含了計(jì)算的方法──數(shù)。

第二層：通過直觀模型（圖片操作、畫圖解釋、手指演示等）再次體會加法的意義，加深理解。

第三層：通過“說一說”用語言描述很畫圖解釋的方式，進(jìn)一步體會圖像表征的過程，幫助學(xué)生用多種方式表達(dá)對加法意義的理解，體會加法在生活中的應(yīng)用。

從學(xué)生理解、思維方式的角度看，大量豐富的情境為學(xué)生提供了更多的加法原型，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合并的操作，發(fā)現(xiàn)歸納各種原型的本質(zhì)，都蘊(yùn)含了“合并”的意思，形成對加法模型的建構(gòu)。在學(xué)生經(jīng)歷多種解決問題的方法和策略（數(shù)一數(shù)、畫一畫、擺一擺），讓學(xué)生體會不同情境中的共同特性，引導(dǎo)學(xué)生思考的方向，有助于培養(yǎng)學(xué)生探索并建立適合自己的理解和學(xué)習(xí)方式，而不只是要學(xué)生會用“3+2”來求出結(jié)果，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解加法的意義，使學(xué)生不斷地積累經(jīng)驗(yàn)，固化對加法運(yùn)算模型的建構(gòu)和理解。

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生構(gòu)建起2+3=5這個算式，并讓學(xué)生繼續(xù)通過說一說、填一填的活動，理解2+3=5的含義。應(yīng)該說，這個過程是讓學(xué)生經(jīng)歷了，基于問題情境建立加法運(yùn)算模型的完整過程，這對學(xué)生感受理解并掌握加法運(yùn)算的本質(zhì)，發(fā)展抽象思維能力都有極大的作用。

在具體情境中抽象出加法模型后，建模并未結(jié)束。還要變換問題情境，將加法模型運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中去，以此深化模型的內(nèi)涵。故而教材呈現(xiàn)一個新的問題情境（練一練7.說一說，算一算。），這是要求學(xué)生根據(jù)真實(shí)的生活情境說一說發(fā)現(xiàn)的加法問題。在多種事物中，分類出同類物品，抽象出數(shù)量，建立數(shù)量關(guān)系，明確同類物品相加的道理，擴(kuò)展模型的外延。

二、抓住轉(zhuǎn)化，厘清方法，建立模型

數(shù)學(xué)模型的建立以豐富的現(xiàn)實(shí)問題為原型，具體問題為載體，學(xué)生經(jīng)歷多種思維活動，以多種數(shù)學(xué)思想方法的支撐，發(fā)現(xiàn)這些原型的本質(zhì)特征，才能建構(gòu)好數(shù)學(xué)模型。

以北師大版六年級數(shù)學(xué)《圓的面積》為例：

教材以具體的一個問題 “如何得到一個圓的面積” 為開端。利用圓內(nèi)接規(guī)則多邊形，發(fā)現(xiàn)圓的面積總是比規(guī)則多邊形的面積大；圓內(nèi)數(shù)格子也存在誤差。這兩種方法的結(jié)果都是得到近似值，而無法準(zhǔn)確計(jì)算圓的面積。教材提示用“轉(zhuǎn)化”的方法，將圓轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的規(guī)則圖形，那么可以利用規(guī)則圖形面積計(jì)算公式得到圓的面積的準(zhǔn)確值。轉(zhuǎn)化后的面積不會發(fā)生變化，轉(zhuǎn)化后圖形的面積就是圓的面積?！稗D(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想就是將未知的知識內(nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎闹R內(nèi)容，在轉(zhuǎn)化的過程中，知識內(nèi)容的本質(zhì)不變。

在轉(zhuǎn)化時(shí)，通過對圓的等份（偶數(shù)份）切割，較短的曲線近似看成線段（化曲為直），在多次等分中，可以發(fā)現(xiàn)將圓等分的份數(shù)越多，每一份扇形的弧線就越向線段逼近，拼成的圖形就越接近平行四邊形，當(dāng)圓等分的分?jǐn)?shù)足夠多，那么圓就可以轉(zhuǎn)化為一個平行四邊形。由“曲”變“直”的轉(zhuǎn)化中讓學(xué)生在有限分割中體會無限細(xì)分，在無限逼近中體會極限思想。

找到拼成的平行四邊形和圓之間的聯(lián)系，即新圖形其中的一部分相當(dāng)于原圖形的哪一部分是“轉(zhuǎn)化”的關(guān)鍵。轉(zhuǎn)化成的平行四邊形的底相當(dāng)于圓的周長，轉(zhuǎn)化成的平行四邊形的高相當(dāng)于圓的半徑。由平行四邊形的面積公式可得：。

圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法不只有將圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形這一種，還可以將圓轉(zhuǎn)化成五年級學(xué)過的規(guī)則圖形，如：長方形、三角形、梯形等，無論轉(zhuǎn)化成哪一個圖形，都能推導(dǎo)出：S=π。

數(shù)學(xué)知識要注重 “生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解。數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識發(fā)展的全過程，學(xué)生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上，只有在親身參與學(xué)習(xí)活動，才能在數(shù)學(xué)思考、問題解等方面得到發(fā)展。在教學(xué)中，教師要把基本思想轉(zhuǎn)化成自己的教學(xué)行為，讓學(xué)生的各方面素質(zhì)在潛移默化中得到提升；數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮在活動中培養(yǎng)人思維和創(chuàng)新能力的作用。