宋巧巧

我們知道，坐標(biāo)的意義在于將代數(shù)與幾何聯(lián)系起來(lái).然而，坐標(biāo)系雖然看似簡(jiǎn)單，但它的形成卻是一個(gè)十分漫長(zhǎng)的過(guò)程.

從本質(zhì)上講，坐標(biāo)就是一種位置參考.古代的天文學(xué)家們?yōu)榱舜_定出天空中星星的位置，自然地用到了某種類(lèi)似于坐標(biāo)的方法，即對(duì)天空進(jìn)行網(wǎng)格劃分，根據(jù)網(wǎng)格位置來(lái)確定星體的位置.古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯（Hipparchus，公元前190-公元前125）用經(jīng)度和緯度標(biāo)出天空中點(diǎn)的位置，這就像是給天空畫(huà)上了網(wǎng)格，利用網(wǎng)格可以標(biāo)記和快速地找到星星.

古希臘天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家歐多克索斯（EudoxusofCnidus，公元前408-公元前355）曾使用過(guò)一種坐標(biāo)體系標(biāo)記天空中星體的位置.喜帕恰斯曾評(píng)價(jià)歐多克索斯在描述恒星位置時(shí)采用了恒星的極距（相當(dāng)于赤道系統(tǒng)的偏角）、赤經(jīng)（赤道，以赤道為參考面）、經(jīng)度（黃道，以黃道面為參考）、極經(jīng)度（混合兩種參考）等概念，并給出了兩種星空坐標(biāo)系，如圖1（地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道平面稱(chēng)為黃道，以黃道為參考平面）、圖2（假想過(guò)天體中心與地球赤道面重合的平面為赤道面，以赤道面為參考平面），但沒(méi)有提供天體的緯度.

如果在平面上，經(jīng)度相當(dāng)于水平線，緯線相當(dāng)于豎直線，從喜帕恰斯對(duì)歐多克索斯的評(píng)價(jià)可以看出，歐多克索斯的坐標(biāo)系統(tǒng)，只能確定出星星的高度，并不能準(zhǔn)確地定位星星.喜帕恰斯引入緯線，則可以準(zhǔn)確地定位星星.后來(lái)這種網(wǎng)格坐標(biāo)被古希臘數(shù)學(xué)家進(jìn)行了改進(jìn).他們?cè)谝粋€(gè)平面底部畫(huà)出一條水平線，然后在左側(cè)畫(huà)出一條垂直線（有時(shí)是傾斜的），平面內(nèi)任意點(diǎn)的位置通過(guò)該點(diǎn)到水平線和垂直線之間的距離來(lái)確定.這樣做的意義主要有兩點(diǎn)：（1）把可見(jiàn)的網(wǎng)格轉(zhuǎn)變成了隱形的網(wǎng)格，使空間看起來(lái)更簡(jiǎn)潔；（2）由于測(cè)量距離的需求，引入了標(biāo)準(zhǔn)的公共設(shè)備——尺子，這就向著標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系邁出了重要的一步.

阿波羅尼奧斯（ApolloniusofPerga，約公元前262-公元前190年）在研究坐標(biāo)系上作出了巨大的貢獻(xiàn).我們現(xiàn)今使用的橢圓、拋物線和雙曲線的定義就是由他提供的.在阿波羅尼奧斯的坐標(biāo)體系中，他將水平線稱(chēng)為“直徑”，這里的“直徑”就是我們熟知的x軸，“頂點(diǎn)”就是坐標(biāo)原點(diǎn)，將y軸定義為曲線的切線（參見(jiàn)圖3）.

由此我們已經(jīng)看出阿波羅尼奧斯已經(jīng)區(qū)分出了x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)，盡管使用了不同的稱(chēng)謂，但在外在形式上，他的坐標(biāo)軸只是一條直線，并沒(méi)有方向，也沒(méi)有負(fù)軸，相當(dāng)于今天笛卡爾坐標(biāo)系的第一象限.

建立現(xiàn)代坐標(biāo)系并溝通代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系的，主要是費(fèi)馬（PierredeFermat，1607-1665）和笛卡爾（RenéDescartes，1596-1650）.

費(fèi)馬在研究阿波羅尼奧斯的《論平面軌跡》后，開(kāi)始對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行了深入地研究，用字母來(lái)表示幾何圖形中的點(diǎn)、直線等，如圖4所示，設(shè)曲線上的一點(diǎn)為J，J的位置隨著A、E變化，這個(gè)坐標(biāo)系相當(dāng)于現(xiàn)在的傾斜坐標(biāo)系.費(fèi)馬的坐標(biāo)系利用了韋達(dá)的現(xiàn)代表示方法，其特點(diǎn)是沒(méi)有使用y軸，沒(méi)有負(fù)坐標(biāo)軸.

費(fèi)馬給出了一條基本原則：只要在最后的方程里出現(xiàn)兩個(gè)未知量，就可以得到一個(gè)軌跡，它可能是一條直線，也可能是一條曲線.如圖4中，用x、y表示A、E，它們之間的關(guān)系可以用曲線的方程來(lái)表示，它的意義在于通過(guò)建立坐標(biāo)系，獲得了代數(shù)方程，賦予曲線方程以幾何意義，無(wú)論是對(duì)于幾何還是代數(shù)，這都是巨大的進(jìn)步.

幾何圖形比較直觀，這引起了笛卡爾的關(guān)注.他便產(chǎn)生了把代數(shù)應(yīng)用到幾何中的想法，于是創(chuàng)建了笛卡爾坐標(biāo)系，并主要完成了以下幾個(gè)方面的工作：

1.利用方程思想解決作圖問(wèn)題.例如，將某個(gè)幾何問(wèn)題化歸為尋求一個(gè)未知長(zhǎng)度的線段，設(shè)其為x，且滿(mǎn)足關(guān)系x2=ax+b2，其中a和b為已知長(zhǎng)度.由圖5和代數(shù)運(yùn)算得出結(jié)果x=a2+a24+b2.但笛卡爾只考慮了正根，沒(méi)有考慮負(fù)根.

2.求坐標(biāo)系中的方程曲線.先選定一條直線，如圖6所示，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，用x表示AP，用y表示PC.可以看出，笛卡爾與費(fèi)馬繪制曲線的方法，以及坐標(biāo)的使用方法基本一致.

3.笛卡爾建立了一般方程與曲線的關(guān)系，極大地?cái)U(kuò)展了曲線的范疇.當(dāng)時(shí)古希臘人認(rèn)為只有用直尺和圓規(guī)作出來(lái)的曲線才是可靠曲線，但笛卡爾認(rèn)為只要給定一個(gè)含x和y的代數(shù)方程，就可以求出它的曲線，而且有些曲線是無(wú)法用尺規(guī)作出來(lái)的.

4.笛卡爾借助坐標(biāo)研究光學(xué)，給出了折射定律.他還解決了一個(gè)一般性問(wèn)題：什么樣的曲面作為兩種介質(zhì)的交界面時(shí)，從第一種介質(zhì)內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的光線射到曲面上，折射進(jìn)入第二種介質(zhì)恰好匯聚于一點(diǎn).笛卡爾給出了一種卵形線，如圖7（坐標(biāo)系是后人加的）所示，并給出了曲線的方程.

費(fèi)馬研究坐標(biāo)的主要目的在于繼承希臘人（主要是阿波羅尼奧斯）的思想.但笛卡爾利用坐標(biāo)提出了更為一般的處理曲線問(wèn)題的方法，大大超越了費(fèi)馬.也正是由于笛卡爾，人們認(rèn)識(shí)到了坐標(biāo)系的偉大，并由此誕生了解析幾何.

但是，笛卡爾有關(guān)坐標(biāo)的發(fā)明，起初并沒(méi)有引起科學(xué)家們的關(guān)注.許多科學(xué)家認(rèn)為笛卡爾只是提供了一種幾何分析方法，所得到的科學(xué)結(jié)論，仍沒(méi)有超越古希臘幾何學(xué)者所取得的成就.只能說(shuō)這些科學(xué)家只看重知識(shí)（幾何知識(shí)）本身，而沒(méi)有發(fā)現(xiàn)獲得這些知識(shí)的方法（坐標(biāo)幾何法）的價(jià)值.

另一個(gè)原因來(lái)自于笛卡爾自身.笛卡爾為了體現(xiàn)出自己工作的高深，故意將許多地方寫(xiě)得模糊不清，他曾自稱(chēng)說(shuō)歐洲的數(shù)學(xué)家?guī)缀鯖](méi)有一個(gè)人能看懂他的著作.還故意刪減了一些內(nèi)容，稱(chēng)他不愿意奪去讀者自行加工的樂(lè)趣，這或許是一種冠冕堂皇的說(shuō)法，實(shí)際上是擔(dān)心如果書(shū)寫(xiě)得太過(guò)于易懂，那些自命不凡的人，將會(huì)稱(chēng)笛卡爾所寫(xiě)的東西都是他們已知的東西.

隨著對(duì)解析幾何的推廣，坐標(biāo)系也逐漸被完善，這主要得益于范斯庫(kù)藤（FransvanSchooten，1615-1660）和沃利斯（JohnWallis，1616-1703）.范斯庫(kù)藤是荷蘭數(shù)學(xué)家，1632年與笛卡爾相識(shí)，并閱讀了他尚未出版的《幾何》一書(shū)，當(dāng)時(shí)覺(jué)得難以理解，后來(lái)對(duì)《幾何》做注解，將其翻譯成拉丁文于1649年出版，該書(shū)后來(lái)又多次出現(xiàn)再版，這為笛卡爾坐標(biāo)系的推廣起到了關(guān)鍵作用.更為重要的是，范斯庫(kù)藤還給出了坐標(biāo)變換——從一條基線（x軸）到另一條基線變換的代數(shù)式，這可能是坐標(biāo)變換的最早工作成果.

沃利斯是一位英國(guó)牧師和數(shù)學(xué)家，他的主要貢獻(xiàn)

在于推動(dòng)了無(wú)窮小微積分的發(fā)展.我們?cè)诟邤?shù)中學(xué)習(xí)到的無(wú)窮大的符號(hào)∞，就是他發(fā)明的，同樣他用1∞來(lái)表示無(wú)窮小.沃利斯在坐標(biāo)系上的貢獻(xiàn)在于他引入了負(fù)坐標(biāo)，將坐標(biāo)幾何的研究由第一象限推廣到了四個(gè)象限，后來(lái)牛頓又用了沃利斯的坐標(biāo)體系，使得解析幾何有了快速的普及.

牛頓在《流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)》一書(shū)中還發(fā)明了一種新的坐標(biāo)體系.17-18世紀(jì)坐標(biāo)系是由一個(gè)x軸，一個(gè)與x軸垂直或成某一角度的y軸構(gòu)成的.牛頓則采用了固定點(diǎn)和通過(guò)該點(diǎn)的直線作坐標(biāo)軸（類(lèi)似于極坐標(biāo)），他還采用了雙極坐標(biāo)，點(diǎn)的位置決定了該點(diǎn)到兩個(gè)固定點(diǎn)的距離.不過(guò)，牛頓的這些成果大約形成于1671年，卻到了1736年才出版.而雅各布·伯努利（Ja?kobI.Bernoulli，1654-1705）于1691年在《教師學(xué)報(bào)》上就發(fā)表了有關(guān)極坐標(biāo)的成果，因此通常認(rèn)為是雅各布首先發(fā)明了極坐標(biāo).

17世紀(jì)中后期，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉伊爾（PhilippedeLaHire，1640-1718，）、約翰·伯努利（JohannBernoul?li，1667-1748）、帕朗（AntoineParent，1666-1716）、歐拉（LeonhardPaulEuler，1707-1783）等人，將平面坐標(biāo)系發(fā)展為空間三維坐標(biāo)系.

坐標(biāo)系的偉大在于它溝通了幾何與代數(shù)，首先，幾何的概念得以用代數(shù)表示，幾何的問(wèn)題也可以通過(guò)代數(shù)運(yùn)算求解.反過(guò)來(lái)，又可以利用幾何來(lái)解釋代數(shù)，使代數(shù)問(wèn)題變得形象直觀，還可以借助幾何去發(fā)現(xiàn)那些新的代數(shù)結(jié)論.拉格朗日曾對(duì)這一結(jié)合做出過(guò)非常高的評(píng)價(jià)，他說(shuō)：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就是緩慢的，它們的應(yīng)用就十分狹窄.但當(dāng)它們結(jié)合在一起時(shí)，相互吸取新鮮的活力，就會(huì)以快速的步伐走向完善.”

毫無(wú)疑問(wèn)，將代數(shù)與幾何聯(lián)合起來(lái)，離不開(kāi)坐標(biāo)系，只有在坐標(biāo)系的框架下，實(shí)在物體的運(yùn)動(dòng)或變化，才能抽象成為數(shù)學(xué)模型，問(wèn)題才得以解決.解析幾何學(xué)的創(chuàng)立，開(kāi)啟了用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的新時(shí)代.在西方數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程中，幾何學(xué)似乎一直就是至高無(wú)上的.一些代數(shù)問(wèn)題，也都要用幾何方法去解決.解析幾何的產(chǎn)生，改變了這種傳統(tǒng)，在數(shù)學(xué)思想上可以看作是一次飛躍，代數(shù)方程和曲線、曲面聯(lián)系起來(lái)了.