林夢蝶

(浙江省樂清市柳市鎮(zhèn)第一中學 325604)

數(shù)學教材中的“閱讀材料”是學生感受數(shù)學文化、體驗數(shù)學魅力的真正所在，但卻往往被教師所忽略，致使學生失去用數(shù)學方式看待、理解真實生活的一條途徑，數(shù)學核心素養(yǎng)也未能得以完全發(fā)展．《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》中提出核心素養(yǎng)的構成要求：會用數(shù)學的眼光觀察世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界．本文基于數(shù)學文化的教學模式[1]，以浙教版九年級上冊閱讀材料“精彩的分形”為例，從感受數(shù)學美、積極探索數(shù)學美、主動追求數(shù)學美三個層次，使學生獲得跨學科學習的體驗，逐步培養(yǎng)學生的幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng)．

1 內容分析

本節(jié)內容安排在九年級上冊第4章“相似三角形”后，教材內容主要分成三部分．首先，利用等邊三角形一步步構造出科赫雪花，并給出分形、迭代等概念；其次，給出一組圖片，欣賞蕨類植物中的分形；最后，利用等腰直角三角形構造出“分形龍”，并提出實踐活動要求．

教材設計好的教學思路：由經驗觸動(你是否觀察過雪花的形狀)，到數(shù)學化理解(感受其圖形變換特點和數(shù)量特點)，再到多領域滲透(美術、計算機等)．基于教材和九年級學生的思維特點，確立了以下六條教學目標：(1)從圖形的周長、面積等理解圖形的數(shù)量特點；(2)能推導出n次迭代后科赫雪花的周長、面積等的代數(shù)式；(3)理解科赫雪花“具有有限的面積，但有著無限周長”這一特點；(4)掌握分形、迭代、自相似的概念；(5)感受分形的應用價值； (6)能動手設計一個簡單的分形圖形．

2 教學過程

2.1 經驗觸動

播放北京冬奧會開幕式相關視頻．

師：這是獨具中國人浪漫與自信的開幕式．這部分場景的核心元素是什么？

生：雪花！

師：這是張藝謀導演心中的雪花．昨天你們畫了自己心目中的雪花(展示學生畫作)．你見過雪花嗎？有仔細觀察過嗎？

師：這是顯微鏡下的真實雪花(圖1)，這是數(shù)學家科赫畫出來的雪花(圖2)．科赫選擇了一個簡單的基礎圖形，經過四次重復操作就畫出幾乎與真實雪花重合的圖形．

圖1 圖2 圖3

問題1你能看出科赫選擇了一個什么基礎圖形？

生：局部放大(圖3)，等邊三角形．

設計意圖由北京冬奧會開幕式中的雪花到學生筆下的雪花，再到數(shù)學家科赫畫的雪花，從學生已有的經驗出發(fā)，引起認知沖突(如何畫一朵真正的雪花)，從而激發(fā)學生學習分形的興趣．另外，引導學生用基本幾何圖形解釋、建構真實世界，逐步培養(yǎng)學生用數(shù)學方式去思考世界的習慣．

2.2 數(shù)學化理解

如圖4，科赫先畫出一個等邊三角形，然后構造出了圖5的形狀．

圖4 圖5 圖6

問題2科赫是怎么操作的？

生：可以看作等邊三角形的三邊新生長出三個小等邊三角形．

師生活動：(共同總結)對等邊三角形的每一條邊進行：①三等分；②以居中那條線段為底邊向外作等邊三角形；③擦掉所作等邊三角形的底邊．

問題3對圖5再進行一次剛剛的操作，能想象出它會變成什么樣嗎？將其畫在網格中．

學生活動：在由等邊三角形構成的網格中，學生畫出圖6．

設計意圖通過觀察，引導學生用數(shù)學語言描述出迭代的步驟，加深對迭代的理解；讓學生在網格中畫出第1次、第2次的迭代圖形，理解科赫雪花的自相似過程，并加深對幾何直觀、應用意識等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

師(板書)：像這樣重復反饋的活動，稱為“迭代”．每一次對過程的重復稱為一次“迭代”，而每一次迭代得到的結果會作為下一次迭代的初始值．

問題4將圖5局部放大，它的結構看起來和圖4有什么關聯(lián)？將圖6局部放大，它的結構看起來和圖5有什么關聯(lián)？

生：相似．

師(板書)：將細微部分放大后，其結構看起來仍與原先的一樣，這種圖形叫做分形，這種現(xiàn)象叫做自相似．這種自相似的過程可以無限地進行下去．

問題5如果將圖6繼續(xù)迭代一次，圖形會變成什么樣？

生：每一條邊長出更小的等邊三角形．

追問1 如果無限地迭代下去，這個雪花有什么特點？

追問2 從數(shù)學角度了解、研究圖形特點可以從哪些視角入手？

生：角度(角度是圖形非常重要的研究對象，但自相似不會導致角度變化)．

生：邊長，周長，面積．

師：完成表格．

設計意圖由初始圖象到第1次、第2次迭代，再到第n次迭代，探索圖形變換過程中邊數(shù)、邊長、周長、面積的數(shù)量變化規(guī)律，加深對迭代這一變化的數(shù)學內部規(guī)律的理解，培養(yǎng)學生主動運用數(shù)學解釋現(xiàn)實生活的意識．

問題6n取一個越來越大的數(shù)，乃至變成無窮大時，邊數(shù)、邊長、周長、面積有何特點？

生：邊數(shù)、周長越來越大，變成無窮大；邊長越來越小，變成無窮??；面積雖然在增加，但是增加得越來越慢．

師：慢到后面是什么情況？代數(shù)不直觀，我們借助幾何．(展示動圖)可以發(fā)現(xiàn)，在不斷的迭代過程中，科赫雪花一直包含在初始等邊三角形的外切圓中．因此，雪花的面積不會無窮大，而是一個有限的值．

師生活動(共同歸納)：科赫雪花具有有限的面積，但有無限的周長．

設計意圖邊數(shù)、邊長、周長能用簡潔的代數(shù)式表示，故n次迭代后的特點能較好地總結出來；但n次迭代后的面積難以化簡，需要借助幾何直觀加以理解．

2.3 多領域滲透

師：像這樣同時具有“有限”和“無限”的概念，對許多科學家有著巨大的吸引力．物理學家惠勒就曾這么說：“將來誰不知道分形概念，也不能稱為有知識．”可以看出，分形在他心中有著多么崇高的地位．

設計意圖進行哲學領域的滲透．數(shù)學和哲學本身具有非常密切的關聯(lián)，許多著名的數(shù)學家，如笛卡爾、萊布尼茲等，本身也是哲學家．走向數(shù)學文化哲學，將最大限度地整合數(shù)學史、數(shù)學社會學、數(shù)學思維、數(shù)學藝術、數(shù)學美學等研究方向，從而使數(shù)學哲學具有更廣闊的發(fā)展空間[2]．學生因此也能更直觀地感受到數(shù)學文化哲學的魅力．

師生活動(共同欣賞)：第一類是分形三大怪物(科赫雪花、謝爾賓斯基三角、謝爾賓斯基海綿)；第二類是常見的簡單分形；第三類是生活中的分形(樹葉、羅馬花椰菜、閃電、海岸線)；第四類是細胞分化．

師：謝爾賓斯基三角，能夠更好地印證分形圖形“面積有限而周長無限”的特點．

設計意圖欣賞分形三大怪物，增加關于純粹數(shù)學的基本知識；欣賞常見的簡單分形，幫助學生后期能畫出一些簡單分形，增強數(shù)學基本技能；欣賞生活中的數(shù)學，讓學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界；欣賞細胞分化中的分形，讓學生用數(shù)學的思維思考世界．

問題7上述分形的初始圖形分別是什么？如何自相似進行迭代的？

問題8分形能應用在哪里？

師生活動(共同總結)：分形包括兩類應用．第一類為顯性應用，包括服裝、地圖、陶瓷紋路等設計，以及電影特效制作等．第二類為隱性應用，包括預測生態(tài)系統(tǒng)的演化、分析金融市場趨勢等．

設計意圖使學生感受圖形幾何的巨大應用價值，以及數(shù)學在社會發(fā)展中的實踐價值．作為圖形顯性的價值當然是用于各種設計，但是圖形背后的數(shù)學規(guī)律和特點則可推動更多交叉領域的發(fā)展．數(shù)學當之無愧為基礎學科．

問題9完成兩個設計任務．(1)繪制一個簡單分形；(2)以分形為核心，利用扭扭棒進行設計．

學生活動1：進行創(chuàng)作設計．展示的同時，說明設計原理(圖7～圖10)．

圖7 圖8 圖9 圖10

設計意圖基于對科赫雪花迭代的學習，學生能夠設計的作品一般局限于基本圖形(三角形、正方形、圓等)的邊長進行三等分或者四等分，再向外或向內進行自相似．這樣很有局限性，后續(xù)展示分形龍的迭代方式，有助于充實對分形概念的理解．

學生活動2：利用扭扭棒進行分形設計與展示(圖11～圖14)．

圖11 圖12 圖13 圖14

設計意圖進行藝術設計領域的滲透．新版課標初中階段的綜合與實踐領域明確要求采取項目式的學習方式，以問題解決為導向，整合數(shù)學與其他學科的知識和思想方法，發(fā)展創(chuàng)新意識和實踐能力．在項目化學習方式中理解分形的顯性特征——使藝術具有數(shù)學美，數(shù)學具有藝術美，學生感受藝術創(chuàng)作或者數(shù)學實驗的快樂．

師：用計算機編程展示“分形龍”第十次的迭代效果．

問題10你們已經掌握了科赫構造分形雪花的基本步驟．還有其他構造自相似的方法．如圖17的“分形龍”的初始圖形為等腰直角三角形(圖15)，你能觀察出它是如何得到圖16的嗎？

圖15 圖16 圖17

生：將等邊三角形分割成兩個全等的三角形，右邊一半不動，左邊一半以斜邊所在的直線為軸作軸對稱．

設計意圖進行計算機領域的滲透．分形作為計算機圖形學的產物，在某種程度上證明了科學與藝術結合的可能性[3]．計算機的融入，幫助學生探索分形更多奇妙和有趣的結論．

2.4 回顧反思

問題11總結一下，根據科赫設計雪花的步驟，我們如何進行分形設計？

師生活動(共同總結)：設計分形的步驟：①選擇初始圖形；②設計自相似：相似(縮放)→圖形變換(旋轉、平移、軸對稱)；③開始迭代．

師：最后，希望你們如同科赫雪花一般，在這有限的時間內，創(chuàng)造無限的美好與可能．

設計意圖在教學中滲透德育．有限和無限是一對辯證統(tǒng)一的概念，在分形中，學生感受到這對概念，延伸到實際生活中，帶來數(shù)學與哲學整合碰撞的精彩火花．以辯證觀去理解、欣賞數(shù)學深層次的辯證統(tǒng)一美[4]．

3 進一步思考

浙教版的六冊數(shù)學教材中共出現(xiàn)19篇閱讀材料．常規(guī)教學中，不少教師往往忽略這部分“邊角料”，坦言根本就沒有上過這些內容，因而關于閱讀材料的教學設計更是少之越少．但這部分“邊角料”反而才是喚醒學生數(shù)學興趣、激發(fā)學生數(shù)學熱情和學生自主創(chuàng)造數(shù)學應用價值的核心素材．只有充分利用好這部分內容，學生的數(shù)學核心素養(yǎng)才能真正得以落地．

(1)趣味性

趣味性是使學生投入到學習的第一抓手．很多數(shù)學公式和定理具有嚴謹?shù)某橄笮?，學生望之卻步．因此在進行教學設計時，要抓住教學內容的特點，觸動學生已有經驗，注意多領域滲透帶來的非凡數(shù)學體驗．同時，閱讀材料的內容本身已經非常有吸引力，如“地球有多大”“誰將獲得最后一個小組出線名額”“美妙的鑲嵌”等等(均為浙教版)．教師可以嘗試用一節(jié)課甚至十幾分鐘，讓學生關注這部分內容，及時開展教學．

(2)拓展性

拓展性不僅意味著對現(xiàn)有數(shù)學知識的完善和補充，也意味著對數(shù)學體系的擴充，亦即高階數(shù)學觀念的滲透．從小學的自然數(shù)到初中的實數(shù)，學生完成的是對數(shù)系的擴充．類似地，本節(jié)“精彩的分形”則是讓學生感受到圖形幾何學的擴充．傳統(tǒng)幾何學之所以被描述為無生氣的(cold)和枯燥乏味的(dry)的，一個很重要的原因是它不能描繪云彩、山脈、海岸線、樹木等物體的自然形狀．傳統(tǒng)的歐氏幾何中，線、面、體都是光滑、有統(tǒng)一規(guī)律的，但這樣有統(tǒng)一規(guī)律的事物在實際生活中只是一小部分．分形幾何卻能描繪更多曲折、破碎事物的不統(tǒng)一規(guī)律．

(3)實驗性

數(shù)學實驗意味著賦予數(shù)學更多的活動操作，學生獲得更多的實踐活動經驗．如“有趣的拼圖”“美妙的鑲嵌”“立體圖的一種畫法”等等，都是進行數(shù)學實驗設計的內容．數(shù)學學習不僅僅只是為了應付考試和升學，當下社會賦予數(shù)學學習更多的內涵．正如新課標中提出的三大修訂原則——堅持目標導向、堅持問題導向、堅持創(chuàng)新導向，都推動教師要更加關注學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng)．這部分核心素養(yǎng)單憑做題和考試很難培養(yǎng)，因而可以通過數(shù)學實驗賦予數(shù)學教學更多的活力和可能性．