林夢(mèng)蝶

(浙江省樂(lè)清市柳市鎮(zhèn)第一中學(xué) 325604)

數(shù)學(xué)教材中的“閱讀材料”是學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化、體驗(yàn)數(shù)學(xué)魅力的真正所在，但卻往往被教師所忽略，致使學(xué)生失去用數(shù)學(xué)方式看待、理解真實(shí)生活的一條途徑，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也未能得以完全發(fā)展．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中提出核心素養(yǎng)的構(gòu)成要求：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界．本文基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)模式[1]，以浙教版九年級(jí)上冊(cè)閱讀材料“精彩的分形”為例，從感受數(shù)學(xué)美、積極探索數(shù)學(xué)美、主動(dòng)追求數(shù)學(xué)美三個(gè)層次，使學(xué)生獲得跨學(xué)科學(xué)習(xí)的體驗(yàn)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng)．

1 內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容安排在九年級(jí)上冊(cè)第4章“相似三角形”后，教材內(nèi)容主要分成三部分．首先，利用等邊三角形一步步構(gòu)造出科赫雪花，并給出分形、迭代等概念；其次，給出一組圖片，欣賞蕨類植物中的分形；最后，利用等腰直角三角形構(gòu)造出“分形龍”，并提出實(shí)踐活動(dòng)要求．

教材設(shè)計(jì)好的教學(xué)思路：由經(jīng)驗(yàn)觸動(dòng)(你是否觀察過(guò)雪花的形狀)，到數(shù)學(xué)化理解(感受其圖形變換特點(diǎn)和數(shù)量特點(diǎn))，再到多領(lǐng)域滲透(美術(shù)、計(jì)算機(jī)等)．基于教材和九年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)，確立了以下六條教學(xué)目標(biāo)：(1)從圖形的周長(zhǎng)、面積等理解圖形的數(shù)量特點(diǎn)；(2)能推導(dǎo)出n次迭代后科赫雪花的周長(zhǎng)、面積等的代數(shù)式；(3)理解科赫雪花“具有有限的面積，但有著無(wú)限周長(zhǎng)”這一特點(diǎn)；(4)掌握分形、迭代、自相似的概念；(5)感受分形的應(yīng)用價(jià)值； (6)能動(dòng)手設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的分形圖形．

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 經(jīng)驗(yàn)觸動(dòng)

播放北京冬奧會(huì)開幕式相關(guān)視頻．

師：這是獨(dú)具中國(guó)人浪漫與自信的開幕式．這部分場(chǎng)景的核心元素是什么？

生：雪花！

師：這是張藝謀導(dǎo)演心中的雪花．昨天你們畫了自己心目中的雪花(展示學(xué)生畫作)．你見過(guò)雪花嗎？有仔細(xì)觀察過(guò)嗎？

師：這是顯微鏡下的真實(shí)雪花(圖1)，這是數(shù)學(xué)家科赫畫出來(lái)的雪花(圖2)．科赫選擇了一個(gè)簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)圖形，經(jīng)過(guò)四次重復(fù)操作就畫出幾乎與真實(shí)雪花重合的圖形．

圖1 圖2 圖3

問(wèn)題1你能看出科赫選擇了一個(gè)什么基礎(chǔ)圖形？

生：局部放大(圖3)，等邊三角形．

設(shè)計(jì)意圖由北京冬奧會(huì)開幕式中的雪花到學(xué)生筆下的雪花，再到數(shù)學(xué)家科赫畫的雪花，從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引起認(rèn)知沖突(如何畫一朵真正的雪花)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)分形的興趣．另外，引導(dǎo)學(xué)生用基本幾何圖形解釋、建構(gòu)真實(shí)世界，逐步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方式去思考世界的習(xí)慣．

2.2 數(shù)學(xué)化理解

如圖4，科赫先畫出一個(gè)等邊三角形，然后構(gòu)造出了圖5的形狀．

圖4 圖5 圖6

問(wèn)題2科赫是怎么操作的？

生：可以看作等邊三角形的三邊新生長(zhǎng)出三個(gè)小等邊三角形．

師生活動(dòng)：(共同總結(jié))對(duì)等邊三角形的每一條邊進(jìn)行：①三等分；②以居中那條線段為底邊向外作等邊三角形；③擦掉所作等邊三角形的底邊．

問(wèn)題3對(duì)圖5再進(jìn)行一次剛剛的操作，能想象出它會(huì)變成什么樣嗎？將其畫在網(wǎng)格中．

學(xué)生活動(dòng)：在由等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格中，學(xué)生畫出圖6．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)觀察，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出迭代的步驟，加深對(duì)迭代的理解；讓學(xué)生在網(wǎng)格中畫出第1次、第2次的迭代圖形，理解科赫雪花的自相似過(guò)程，并加深對(duì)幾何直觀、應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

師(板書)：像這樣重復(fù)反饋的活動(dòng)，稱為“迭代”．每一次對(duì)過(guò)程的重復(fù)稱為一次“迭代”，而每一次迭代得到的結(jié)果會(huì)作為下一次迭代的初始值．

問(wèn)題4將圖5局部放大，它的結(jié)構(gòu)看起來(lái)和圖4有什么關(guān)聯(lián)？將圖6局部放大，它的結(jié)構(gòu)看起來(lái)和圖5有什么關(guān)聯(lián)？

生：相似．

師(板書)：將細(xì)微部分放大后，其結(jié)構(gòu)看起來(lái)仍與原先的一樣，這種圖形叫做分形，這種現(xiàn)象叫做自相似．這種自相似的過(guò)程可以無(wú)限地進(jìn)行下去．

問(wèn)題5如果將圖6繼續(xù)迭代一次，圖形會(huì)變成什么樣？

生：每一條邊長(zhǎng)出更小的等邊三角形．

追問(wèn)1 如果無(wú)限地迭代下去，這個(gè)雪花有什么特點(diǎn)？

追問(wèn)2 從數(shù)學(xué)角度了解、研究圖形特點(diǎn)可以從哪些視角入手？

生：角度(角度是圖形非常重要的研究對(duì)象，但自相似不會(huì)導(dǎo)致角度變化)．

生：邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)，面積．

師：完成表格．

設(shè)計(jì)意圖由初始圖象到第1次、第2次迭代，再到第n次迭代，探索圖形變換過(guò)程中邊數(shù)、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積的數(shù)量變化規(guī)律，加深對(duì)迭代這一變化的數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律的理解，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)解釋現(xiàn)實(shí)生活的意識(shí)．

問(wèn)題6n取一個(gè)越來(lái)越大的數(shù)，乃至變成無(wú)窮大時(shí)，邊數(shù)、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積有何特點(diǎn)？

生：邊數(shù)、周長(zhǎng)越來(lái)越大，變成無(wú)窮大；邊長(zhǎng)越來(lái)越小，變成無(wú)窮??；面積雖然在增加，但是增加得越來(lái)越慢．

師：慢到后面是什么情況？代數(shù)不直觀，我們借助幾何．(展示動(dòng)圖)可以發(fā)現(xiàn)，在不斷的迭代過(guò)程中，科赫雪花一直包含在初始等邊三角形的外切圓中．因此，雪花的面積不會(huì)無(wú)窮大，而是一個(gè)有限的值．

師生活動(dòng)(共同歸納)：科赫雪花具有有限的面積，但有無(wú)限的周長(zhǎng)．

設(shè)計(jì)意圖邊數(shù)、邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)能用簡(jiǎn)潔的代數(shù)式表示，故n次迭代后的特點(diǎn)能較好地總結(jié)出來(lái)；但n次迭代后的面積難以化簡(jiǎn)，需要借助幾何直觀加以理解．

2.3 多領(lǐng)域滲透

師：像這樣同時(shí)具有“有限”和“無(wú)限”的概念，對(duì)許多科學(xué)家有著巨大的吸引力．物理學(xué)家惠勒就曾這么說(shuō)：“將來(lái)誰(shuí)不知道分形概念，也不能稱為有知識(shí)．”可以看出，分形在他心中有著多么崇高的地位．

設(shè)計(jì)意圖進(jìn)行哲學(xué)領(lǐng)域的滲透．?dāng)?shù)學(xué)和哲學(xué)本身具有非常密切的關(guān)聯(lián)，許多著名的數(shù)學(xué)家，如笛卡爾、萊布尼茲等，本身也是哲學(xué)家．走向數(shù)學(xué)文化哲學(xué)，將最大限度地整合數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)藝術(shù)、數(shù)學(xué)美學(xué)等研究方向，從而使數(shù)學(xué)哲學(xué)具有更廣闊的發(fā)展空間[2]．學(xué)生因此也能更直觀地感受到數(shù)學(xué)文化哲學(xué)的魅力．

師生活動(dòng)(共同欣賞)：第一類是分形三大怪物(科赫雪花、謝爾賓斯基三角、謝爾賓斯基海綿)；第二類是常見的簡(jiǎn)單分形；第三類是生活中的分形(樹葉、羅馬花椰菜、閃電、海岸線)；第四類是細(xì)胞分化．

師：謝爾賓斯基三角，能夠更好地印證分形圖形“面積有限而周長(zhǎng)無(wú)限”的特點(diǎn)．

設(shè)計(jì)意圖欣賞分形三大怪物，增加關(guān)于純粹數(shù)學(xué)的基本知識(shí)；欣賞常見的簡(jiǎn)單分形，幫助學(xué)生后期能畫出一些簡(jiǎn)單分形，增強(qiáng)數(shù)學(xué)基本技能；欣賞生活中的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；欣賞細(xì)胞分化中的分形，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界．

問(wèn)題7上述分形的初始圖形分別是什么？如何自相似進(jìn)行迭代的？

問(wèn)題8分形能應(yīng)用在哪里？

師生活動(dòng)(共同總結(jié))：分形包括兩類應(yīng)用．第一類為顯性應(yīng)用，包括服裝、地圖、陶瓷紋路等設(shè)計(jì)，以及電影特效制作等．第二類為隱性應(yīng)用，包括預(yù)測(cè)生態(tài)系統(tǒng)的演化、分析金融市場(chǎng)趨勢(shì)等．

設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生感受圖形幾何的巨大應(yīng)用價(jià)值，以及數(shù)學(xué)在社會(huì)發(fā)展中的實(shí)踐價(jià)值．作為圖形顯性的價(jià)值當(dāng)然是用于各種設(shè)計(jì)，但是圖形背后的數(shù)學(xué)規(guī)律和特點(diǎn)則可推動(dòng)更多交叉領(lǐng)域的發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)當(dāng)之無(wú)愧為基礎(chǔ)學(xué)科．

問(wèn)題9完成兩個(gè)設(shè)計(jì)任務(wù)．(1)繪制一個(gè)簡(jiǎn)單分形；(2)以分形為核心，利用扭扭棒進(jìn)行設(shè)計(jì)．

學(xué)生活動(dòng)1：進(jìn)行創(chuàng)作設(shè)計(jì)．展示的同時(shí)，說(shuō)明設(shè)計(jì)原理(圖7～圖10)．

圖7 圖8 圖9 圖10

設(shè)計(jì)意圖基于對(duì)科赫雪花迭代的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠設(shè)計(jì)的作品一般局限于基本圖形(三角形、正方形、圓等)的邊長(zhǎng)進(jìn)行三等分或者四等分，再向外或向內(nèi)進(jìn)行自相似．這樣很有局限性，后續(xù)展示分形龍的迭代方式，有助于充實(shí)對(duì)分形概念的理解．

學(xué)生活動(dòng)2：利用扭扭棒進(jìn)行分形設(shè)計(jì)與展示(圖11～圖14)．

圖11 圖12 圖13 圖14

設(shè)計(jì)意圖進(jìn)行藝術(shù)設(shè)計(jì)領(lǐng)域的滲透．新版課標(biāo)初中階段的綜合與實(shí)踐領(lǐng)域明確要求采取項(xiàng)目式的學(xué)習(xí)方式，以問(wèn)題解決為導(dǎo)向，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)和思想方法，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力．在項(xiàng)目化學(xué)習(xí)方式中理解分形的顯性特征——使藝術(shù)具有數(shù)學(xué)美，數(shù)學(xué)具有藝術(shù)美，學(xué)生感受藝術(shù)創(chuàng)作或者數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的快樂(lè)．

師：用計(jì)算機(jī)編程展示“分形龍”第十次的迭代效果．

問(wèn)題10你們已經(jīng)掌握了科赫構(gòu)造分形雪花的基本步驟．還有其他構(gòu)造自相似的方法．如圖17的“分形龍”的初始圖形為等腰直角三角形(圖15)，你能觀察出它是如何得到圖16的嗎？

圖15 圖16 圖17

生：將等邊三角形分割成兩個(gè)全等的三角形，右邊一半不動(dòng)，左邊一半以斜邊所在的直線為軸作軸對(duì)稱．

設(shè)計(jì)意圖進(jìn)行計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的滲透．分形作為計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的產(chǎn)物，在某種程度上證明了科學(xué)與藝術(shù)結(jié)合的可能性[3]．計(jì)算機(jī)的融入，幫助學(xué)生探索分形更多奇妙和有趣的結(jié)論．

2.4 回顧反思

問(wèn)題11總結(jié)一下，根據(jù)科赫設(shè)計(jì)雪花的步驟，我們?nèi)绾芜M(jìn)行分形設(shè)計(jì)？

師生活動(dòng)(共同總結(jié))：設(shè)計(jì)分形的步驟：①選擇初始圖形；②設(shè)計(jì)自相似：相似(縮放)→圖形變換(旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱)；③開始迭代．

師：最后，希望你們?nèi)缤坪昭┗ㄒ话?，在這有限的時(shí)間內(nèi)，創(chuàng)造無(wú)限的美好與可能．

設(shè)計(jì)意圖在教學(xué)中滲透德育．有限和無(wú)限是一對(duì)辯證統(tǒng)一的概念，在分形中，學(xué)生感受到這對(duì)概念，延伸到實(shí)際生活中，帶來(lái)數(shù)學(xué)與哲學(xué)整合碰撞的精彩火花．以辯證觀去理解、欣賞數(shù)學(xué)深層次的辯證統(tǒng)一美[4]．

3 進(jìn)一步思考

浙教版的六冊(cè)數(shù)學(xué)教材中共出現(xiàn)19篇閱讀材料．常規(guī)教學(xué)中，不少教師往往忽略這部分“邊角料”，坦言根本就沒有上過(guò)這些內(nèi)容，因而關(guān)于閱讀材料的教學(xué)設(shè)計(jì)更是少之越少．但這部分“邊角料”反而才是喚醒學(xué)生數(shù)學(xué)興趣、激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)熱情和學(xué)生自主創(chuàng)造數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的核心素材．只有充分利用好這部分內(nèi)容，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能真正得以落地．

(1)趣味性

趣味性是使學(xué)生投入到學(xué)習(xí)的第一抓手．很多數(shù)學(xué)公式和定理具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某橄笮?，學(xué)生望之卻步．因此在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要抓住教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，觸動(dòng)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，注意多領(lǐng)域滲透帶來(lái)的非凡數(shù)學(xué)體驗(yàn)．同時(shí)，閱讀材料的內(nèi)容本身已經(jīng)非常有吸引力，如“地球有多大”“誰(shuí)將獲得最后一個(gè)小組出線名額”“美妙的鑲嵌”等等(均為浙教版)．教師可以嘗試用一節(jié)課甚至十幾分鐘，讓學(xué)生關(guān)注這部分內(nèi)容，及時(shí)開展教學(xué)．

(2)拓展性

拓展性不僅意味著對(duì)現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識(shí)的完善和補(bǔ)充，也意味著對(duì)數(shù)學(xué)體系的擴(kuò)充，亦即高階數(shù)學(xué)觀念的滲透．從小學(xué)的自然數(shù)到初中的實(shí)數(shù)，學(xué)生完成的是對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充．類似地，本節(jié)“精彩的分形”則是讓學(xué)生感受到圖形幾何學(xué)的擴(kuò)充．傳統(tǒng)幾何學(xué)之所以被描述為無(wú)生氣的(cold)和枯燥乏味的(dry)的，一個(gè)很重要的原因是它不能描繪云彩、山脈、海岸線、樹木等物體的自然形狀．傳統(tǒng)的歐氏幾何中，線、面、體都是光滑、有統(tǒng)一規(guī)律的，但這樣有統(tǒng)一規(guī)律的事物在實(shí)際生活中只是一小部分．分形幾何卻能描繪更多曲折、破碎事物的不統(tǒng)一規(guī)律．

(3)實(shí)驗(yàn)性

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)意味著賦予數(shù)學(xué)更多的活動(dòng)操作，學(xué)生獲得更多的實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．如“有趣的拼圖”“美妙的鑲嵌”“立體圖的一種畫法”等等，都是進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的內(nèi)容．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅只是為了應(yīng)付考試和升學(xué)，當(dāng)下社會(huì)賦予數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多的內(nèi)涵．正如新課標(biāo)中提出的三大修訂原則——堅(jiān)持目標(biāo)導(dǎo)向、堅(jiān)持問(wèn)題導(dǎo)向、堅(jiān)持創(chuàng)新導(dǎo)向，都推動(dòng)教師要更加關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等核心素養(yǎng)．這部分核心素養(yǎng)單憑做題和考試很難培養(yǎng)，因而可以通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)賦予數(shù)學(xué)教學(xué)更多的活力和可能性．