茍向鋒， 李谷雨， 朱凌云

(天津工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300387)

齒輪傳動的振動和噪聲嚴(yán)重影響其精度、承載能力和穩(wěn)定性。設(shè)計中為防止輪齒卡死而預(yù)留的齒側(cè)間隙，決定了其傳動過程中會出現(xiàn)齒面嚙合、輪齒脫嚙和齒背接觸。齒輪副的重合度一般大于1.0，導(dǎo)致齒輪的嚙合齒數(shù)是時變的。二者綜合作用的結(jié)果使齒輪嚙合時存在單/雙齒齒面嚙合、輪齒脫嚙和單/雙齒齒背接觸等多種狀態(tài)，造成輪齒沖擊，影響傳動平穩(wěn)性。Gou等考慮齒輪副的多狀態(tài)嚙合特性，分別建立了直齒輪副[1]和面齒輪傳動系統(tǒng)[2]的非線性動力學(xué)模型，為揭示齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性奠定了方法基礎(chǔ)。

錐齒輪齒廓結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其動力學(xué)研究成果較少。Karray等[3]建立了一種單級錐齒輪動力學(xué)模型，研究了齒輪局部損傷對動力學(xué)特性的影響。Kiyono等[4]建立了一種兩自由度的錐齒輪副動力學(xué)模型，分析了錐齒輪與直齒輪、斜齒輪的動力學(xué)特性差異。Wang等[5]基于有限元法，建立了包含軸和軸承的錐齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型。Cheng等[6-7]基于TCA方法得出了錐齒輪接觸點軌跡，建立了一種改進的錐齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型。Yassine等[8]分析了故障錐齒輪系統(tǒng)的動力特性，并與無故障錐齒輪系統(tǒng)的動力特性進行比較。方宗德等[9]建立了包含時變剛度和誤差激勵的多自由度直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型。王三民等[10]建立了包含多種時變參數(shù)的八自由度弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型。王立華[11]建立了含多種時變參數(shù)的12自由度弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，研究了其動力學(xué)特性。蔣函成等[12]建立了考慮軸系和機匣柔性性的齒輪-轉(zhuǎn)子-機匣耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型，推導(dǎo)了各類齒輪副的嚙合關(guān)系。這些研究主要關(guān)注系統(tǒng)參數(shù)計算、動力學(xué)建模及非線性動力學(xué)特性研究，未考慮重合度對系統(tǒng)嚙合特性的影響。

基于錐齒輪嚙合原理，利用微元法計算錐齒輪傳動系統(tǒng)的時變嚙合剛度和載荷分配率；建立含時變嚙合剛度、載荷分配率、綜合傳遞誤差和軸承支承的錐齒輪傳動系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合動力學(xué)模型。通過定義不同的Poincaré截面，研究嚙合頻率和綜合傳遞誤差對系統(tǒng)嚙合狀態(tài)和動態(tài)特性的影響，為系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計和優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 時變參數(shù)的計算

錐齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性受時變參數(shù)計算模型準(zhǔn)確性的影響。由于錐齒輪齒廓較為復(fù)雜，現(xiàn)有研究計算其時變參數(shù)時都進行了簡化。本文基于錐齒輪嚙合原理利用微元法建立時變參數(shù)計算模型。

1.1 直齒錐齒輪模型及受力分析

考慮齒側(cè)間隙和軸承支承的直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)簡化物理模型如圖1所示。p和g分別代表主動輪和從動輪，其當(dāng)量齒輪的基圓半徑為Rbj、扭轉(zhuǎn)振動位移為θj、慣性矩為Ij，扭矩為Tj，k(τ)為時變嚙合剛度，Cm為嚙合阻尼系數(shù)。en(τ)為沿嚙合線方向的綜合傳遞誤差。2Dn為齒側(cè)間隙，kjl、Cjl和Djl分別為沿l方向的軸承支承剛度、軸承支承阻尼系數(shù)和軸承間隙。其中，j=p,g和l=X,Y,Z。

圖1 直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)簡化物理模型

表1為某汽車差速器中直齒錐齒輪傳動部分的系統(tǒng)參數(shù)。其重合度為1.353，結(jié)合齒側(cè)間隙的影響，該直齒錐齒輪傳動中存在單/雙齒齒面嚙合、輪齒脫嚙、單/雙齒齒背接觸等五種嚙合狀態(tài)。

表1 汽車差速器中直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)參數(shù)

設(shè)δp和δg分別為主、從動輪的節(jié)錐角，Xj、Yj、Zj(j=p,g)分別為兩齒輪沿X、Y、Z方向的振動位移，αn為兩齒輪的壓力角，F(xiàn)n和Ff為嚙合點上的正壓力和摩擦力，F(xiàn)nl和Ffl(l=X,Y,Z)分別為其沿l方向的分量，則齒輪副沿嚙合點法向的相對位移如式(1)所示。

(1)

式中：a1=cosδpsinαn、a2=cosδgsinαn、a3=sinδpsinαn、a4=sinδgsinαn、a5=cosδpsinαn、a6=cosδgsinαn；rp和rg分別為嚙合點到兩輪齒旋轉(zhuǎn)中心的距離。

錐齒輪嚙合點處的正壓力Fn和摩擦力Fnl及其分量可由式(2)獲得[13]。

(2)

1.2 時變嚙合剛度

齒輪嚙合剛度是影響齒輪承載能力及動力學(xué)特性的重要參數(shù)。錐齒輪嚙合剛度主要采用Tredgold近似，即利用微元法將錐齒輪齒廓沿齒寬方向簡化為無數(shù)個微元近似求解。在Lafi等[14]研究基礎(chǔ)上，引入了輪齒基體剛度，建立直齒錐齒輪嚙合剛度計算模型。

微元齒輪的嚙合剛度ko包括赫茲接觸剛度kho，輪齒基體剛度kfo，彎曲剛度kbjio，軸向壓縮剛度kajio，剪切剛度ksjio(i=1,2;j=p,g)，分別可由式(3)～(7)得到。

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：w=L*(uf/Sf)2+P*(1+Q*tan2α)+M*(uf/Sf);q=cosσjio[l1/Rbjo+cosθjo-cosα+(θjo-α)sinα]-h1sinσjio/Rbjo;E和ν分別為楊氏模量和泊松比;σjio為沿齒寬方向第o個微元齒輪嚙合線與齒中心線的夾角;θjo=0.5π/zjo+invα為沿齒寬方向的第o個微元齒輪的齒角半值;Nj為沿齒寬方向微元齒輪的數(shù)量;直齒錐齒輪嚙合剛度可由式(8)獲得。

(8)

根據(jù)重合度可將齒廓嚙合區(qū)域分為單齒嚙合區(qū)BC、雙齒嚙合區(qū)AB和CD。則齒輪的單/雙齒嚙合時間分別為tAB=tCD=(εm-1)T0，tBC=(2-εm)T0，其中，T0=tAC=2π/(ωPzP)為單雙齒嚙合交替時間[1]。假定齒背接觸時的嚙合剛度與齒面嚙合時相同，表1所示直齒錐齒輪副的嚙合剛度如圖2所示。

圖2 直齒錐齒輪時變嚙合剛度

1.3 載荷分配率

直齒錐齒輪副的重合度一般大于1.0，齒輪在嚙合時會出現(xiàn)多對齒同時嚙合，導(dǎo)致載荷在嚙合輪齒間的分配，則載荷分配率不可忽視。目前尚無其計算方法的報道。根據(jù)文獻[15-16]中斜齒輪載荷分配率的求解方法，將錐齒輪輪齒沿齒寬方向分為無數(shù)個微元齒輪，結(jié)合最小勢能法建立直齒錐齒輪載荷分配率模型。

齒輪的總勢能U由微元齒輪的勢能Uo疊加得到，如式(9)所示。

(9)

微元齒輪的彎曲勢能Ubjio、壓縮勢能Uajio和剪切勢能Usjio(i=1,2;j=p,g)可分別由式(10)～(12)得到。

(10)

(11)

(12)

微元齒輪的勢能Uo可由式(13)得到。

(13)

根據(jù)彈性勢能原理和拉格朗日方法，可得直齒錐齒輪載荷分配率如式(14)所示。

(14)

式中，νs表示輪齒的逆單位勢能。包含多狀態(tài)嚙合特性的直齒錐齒輪載荷分配率模型如式(15)所示。

(15)

式中，Ld(τ)和Lk(τ)分別為齒面嚙合狀態(tài)和齒背接觸狀態(tài)下的載荷分配率。計算表1所示錐齒輪副的載荷分配率如圖3所示，圖3中實線代表第i嚙合齒對的載荷分配率，AB段和CD段虛線分別代表第i-1和i+1嚙合齒對的載荷分配率。

圖3 直齒錐齒輪載荷分配率

2 考慮多狀態(tài)嚙合的直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)彎-扭-軸動力學(xué)建模

直齒錐齒輪副嚙合可視為嚙合點法面(背錐面)上兩個當(dāng)量齒輪嚙合。其齒面嚙合狀態(tài)和齒背接觸狀態(tài)及受力如圖4所示。齒面嚙合時，主動輪沿嚙合線N1N2推動從動輪；齒背接觸時，從動輪齒背齒廓沿嚙合線M1M2推動主動輪。FNpi、FNgi分別為沿嚙合線N1N2、M1M2的正壓力分力，F(xiàn)fpi、Ffgi分別為垂直于嚙合線N1N2、M1M2的摩擦力分力。由錐齒輪嚙合原理可知：假定N1→N2或M1→M2為正壓力的正方向，則FNg1+FNg2>0時為齒面嚙合，F(xiàn)Ng1+FNg2<0時為齒背接觸；FNg1+FNg2=0時為輪齒脫嚙。則，齒面嚙合時Xn>Dn，齒背接觸時Xn<-Dn，輪齒脫嚙時-Dn≤Xn≤Dn。基于集中質(zhì)量法和牛頓第二定律，可得多狀態(tài)嚙合時直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)的彎-扭-軸動力學(xué)模型。

(16)

式中，±和?中上方的符號表示齒面嚙合，下方的符號表示齒背接觸。FNpi=FNgi=Lci(τ)Fn、Ffpi=Ffgj=λci(τ)Lci(τ)μcFn(c=d,k)，d代表齒面嚙合，k代表齒背接觸，mjl(j=p,g；l=X,Y,Z)為沿l方向的集中質(zhì)量，λci(c=d,k;i=1,2)為第i個嚙合齒對的摩擦力方向系數(shù)，μc(c=d,k;i=1,2)為輪齒表面的摩擦力系數(shù)。

(a) 齒面嚙合

由式(2)可求得直齒錐齒輪正壓力和摩擦力沿坐標(biāo)軸方向的分力，如式(17)～(18)所示。

(17)

(18)

式中：λci(τ)=sign[vci(τ)]；vci(τ)(c=d,k;i=1,2)為輪齒的相對滑動速度，如式(19)所示；Scji(τ)(c=d,k;i=1,2;j=p,g)為兩齒輪的摩擦力臂，如式(20)～(22)所示；sign為符號函數(shù)。

式中：Scj2(τ)=Scj1(τ+T0)(c=d,k)；rbj(j=p,g)為兩齒輪齒寬中部的基圓半徑；Rbj=rbj/cosδj(j=p,g)，Rag為從動輪齒頂圓半徑；兩齒輪的壓力角αcji(τ)和嚙合點到兩輪齒旋轉(zhuǎn)中心的距離Rcji(τ)Scji(τ)(c=d,k;i=1,2;j=p,g)可由式(23)～(25)得到。

αcj1(τ)=arccos[Rbj/Rcj1(τ)]

(23)

(24)

αcj2(τ)=αcj1(τ+T0),Rcj2(τ)=Rcj1(τ+T0)

(25)

整理式(16)～(25)，可得直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)彎-扭-軸無量綱歸一化動力學(xué)方程。

(26)

軸承的無量綱化間隙函數(shù)如式(27)所示。

(27)

式中，q代表xp、yp、zp、xg、yg、zg。rl(t,xn)(l=x,y,z)為沿l方向的嚙合狀態(tài)函數(shù)，如式(28)～(29)所示；h(t,xn)為沿正壓力方向的嚙合狀態(tài)函數(shù)，如式(30)所示。

rx(t,xn)=ry(t,xn)=

(28)

rz(t,xn)=

(29)

h(t,xn)=

(30)

3 參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響

系統(tǒng)中存在齒面嚙合、輪齒脫嚙和齒背接觸等嚙合狀態(tài)。為研究不同參數(shù)下各嚙合狀態(tài)對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，定義三個不同的Poincaré截面：

系統(tǒng)的多狀態(tài)嚙合行為可由符號N-P-Q表征，其中，N表示系統(tǒng)運動周期數(shù)，P表示輪齒脫嚙次數(shù)，Q表示齒背接觸次數(shù)，若P或Q為零，表明系統(tǒng)無輪齒脫嚙或齒背接觸。

3.1 嚙合頻率ω的影響

(a) Γn

當(dāng)ω較小時，系統(tǒng)為1-0-0運動，完全齒面嚙合狀態(tài)，無輪齒脫嚙和齒背接觸。當(dāng)ω增大至ω=0.73(A1)時，系統(tǒng)相軌跡與x=D相切，此時相圖和時間歷程圖為圖6(a)和6(b)所示。當(dāng)ω增大至A1點右側(cè)時，系統(tǒng)處于1-1-0運動，系統(tǒng)依舊為周期1運動，但出現(xiàn)了輪齒脫嚙。當(dāng)ω增大至A2點時，1-1-0運動經(jīng)倍化分岔進入2-2-0運動，系統(tǒng)相軌跡兩次穿越齒側(cè)間隙邊界，此時對應(yīng)的TLE值接近0。

當(dāng)ω增加到A3點時，2-2-0運動經(jīng)逆倍化分岔退化為1-1-0運動，其對應(yīng)的TLE值近似為0，之后經(jīng)鞍結(jié)分岔進入混沌運動，此時系統(tǒng)中同時存在齒面嚙合、輪齒脫嚙和齒背接觸三種運行狀態(tài)，其Poincaré映射圖和時間歷程圖如圖6(c)和6(d)所示。當(dāng)ω增大至A4點時，系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔由混沌運動退化為1-1-0運動，系統(tǒng)中齒背接觸消失。當(dāng)ω增大至A5點時，1-1-0運動倍化為2-2-0運動，此時系統(tǒng)中存在齒面嚙合和輪齒脫嚙兩種運動狀態(tài)。當(dāng)ω增大至A6點時，系統(tǒng)相軌跡與x=D相切，2-2-0運動經(jīng)擦切分岔轉(zhuǎn)遷為2-1-0運動，此時相圖和時間歷程圖為圖6(e)和6(f)所示。

該2-1-0運動在A7點經(jīng)鞍結(jié)分岔進入混沌運動，其對應(yīng)的TLE>0，此時Poincaré映射圖和時間歷程如圖6(g)和6(h)所示，混沌區(qū)域系統(tǒng)出現(xiàn)了齒面嚙合、輪齒脫嚙和齒背接觸三種運行狀態(tài)。隨著ω增大，A8～A9點系統(tǒng)出現(xiàn)了新的混沌運動，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與之前不同，此時Poincaré映射圖和時間歷程圖如圖6(i)和6(j)所示。

當(dāng)ω>2.2(A9點右側(cè))時，系統(tǒng)經(jīng)逆倍化分岔序列由混沌運動退化為6-2-2運動。當(dāng)嚙合頻率增加到A10點時，6-2-2運動逆倍化為3-1-1運動，其對應(yīng)的TLE值發(fā)生了突變，此時Poincaré映射圖和時間歷程圖分別如圖6(k)和6(l)所示。

可見，當(dāng)嚙合頻率較小時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的齒面嚙合狀態(tài)。隨著嚙合頻率的增加，系統(tǒng)逐漸出現(xiàn)輪齒脫嚙，其運動類型也由穩(wěn)定的周期1運動轉(zhuǎn)遷為復(fù)雜的多周期運動，在1倍頻和1.5倍頻附近系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運動，且在混沌運動區(qū)域系統(tǒng)出現(xiàn)了齒背接觸狀態(tài)，在2.2倍頻以后系統(tǒng)重新出現(xiàn)多周期運動，但齒背接觸狀態(tài)依舊存在。隨著嚙合頻率的增加，系統(tǒng)多狀態(tài)嚙合行為和運動特性變得復(fù)雜，選擇合理嚙合頻率可獲得期望的運動特性。

3.2 綜合傳遞誤差ε的影響

取無量綱參數(shù)ω=0.73、F=0.1、ζ=0.05，其余參數(shù)取值與3.1相同，可得綜合傳遞誤差ε增大的三種Poincaré截面分岔圖和TLE圖如圖7。

(a) Γn

當(dāng)ε較小時(B1點左側(cè))，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的1-0-0運動，只存在齒面嚙合。ε增大至B1點時，系統(tǒng)相軌跡與xn=D相切，1-0-0運動經(jīng)擦切分岔轉(zhuǎn)遷為1-1-0運動，系統(tǒng)中出現(xiàn)了輪齒脫嚙，由于振動幅值較小，所以系統(tǒng)單雙齒交替嚙合影響較為明顯，系統(tǒng)相軌跡出現(xiàn)波動，此時相圖和時間歷程圖為圖8(a)和8(b)所示。ε增大到B2點，系統(tǒng)經(jīng)倍化分岔由1-1-0運動轉(zhuǎn)遷為2-2-0，系統(tǒng)中存在齒面嚙合和輪齒脫嚙兩種運行狀態(tài)。

隨著ε增大到B3點時，系統(tǒng)經(jīng)擦切分岔由2-2-0運動退化為2-1-0運動，系統(tǒng)相軌跡穿過齒側(cè)間隙的半值由之前的兩次減少為一次，此時相圖和時間歷程圖為圖8(c)和8(d)所示。當(dāng)ε增大到B4點時，系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔由2-1-0運動轉(zhuǎn)遷為混沌運動，混沌區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)齒面嚙合、輪齒脫嚙和齒背接觸三種運行狀態(tài)，此時相圖和時間歷程圖為圖8(e)和8(f)所示。

可見，隨著綜合傳動誤差波動幅值的增大，系統(tǒng)中逐漸出現(xiàn)了輪齒脫嚙和齒背接觸狀態(tài)，其多狀態(tài)嚙合行為和運動特性變得復(fù)雜，穩(wěn)定性隨之惡化。因此，應(yīng)提高直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)的制造精度、減小綜合傳遞誤差，以提高其運動平穩(wěn)性。

4 結(jié) 論

考慮多狀態(tài)嚙合、載荷分配率、時變嚙合剛度和齒側(cè)間隙，建立了直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)彎-扭-軸動力學(xué)模型。采用微元法計算了載荷分配比和時變嚙合剛度。基于Poincaré映射理論和分岔理論，研究了嚙合頻率和綜合傳動誤差對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。結(jié)論如下：

(1) 結(jié)合本文建立的直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)彎-扭-軸動力學(xué)模型和三種Poincaré截面，可以更加準(zhǔn)確地揭示系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

(2) 根據(jù)直齒錐齒輪傳動系統(tǒng)的嚙合原理，采用微元法計算的載荷分配率和時變嚙合剛度相比傳統(tǒng)方法計算更加準(zhǔn)確，更能反映系統(tǒng)參數(shù)的運行規(guī)律。

(3) 當(dāng)嚙合頻率較小時，系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性和動態(tài)嚙合特性簡單且穩(wěn)定，隨著嚙合頻率的增加，系統(tǒng)的動態(tài)嚙合特性變得非常復(fù)雜；隨著綜合傳動誤差波動幅值的增大，系統(tǒng)的動態(tài)特性變得越來越復(fù)雜，系統(tǒng)的傳動平穩(wěn)性也隨之惡化。