侯慶秋

(江蘇省南京市第五十四中學(xué) 210016)

1 教學(xué)過程

1.1 視頻導(dǎo)入，激起興趣

老師帶領(lǐng)學(xué)生觀看一段一分鐘的折紙視頻，通過視頻，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到在折紙的過程中發(fā)生的很多圖形的變換，從而激發(fā)學(xué)生參與本課學(xué)習(xí)的興趣.

1.2 復(fù)習(xí)反饋，回憶舊知

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理和勾股定理的逆定理.通過簡單的提問，讓學(xué)生回憶起之前所掌握的知識，為今天這節(jié)課的后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ).

1.3 精選例題，活躍思維

在本節(jié)課中，筆者所選的例題是利用勾股定理解決折紙問題的典型方法，在教師和學(xué)生的共同分析之后，教師將解題過程完整地板書在黑板上，讓學(xué)生形成此種情境下的解決問題的初步印象.讓學(xué)生從初步的模仿開始，慢慢形成自己的思路，從而為下面的變式訓(xùn)練做鋪墊.

例1如圖1，折疊長方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=3,BC=5，求EC的長.

圖1

師：分析此題，有哪些已知條件？

生：有矩形ABCD，有折疊，還有AB=3,BC=5.

師：請大家將已知條件用鉛筆標(biāo)注在圖上，通過折疊，我們能發(fā)現(xiàn)什么？有沒有可以挖掘的條件呢？

生：通過觀察發(fā)現(xiàn)折疊前的三角形和折疊后的三角形全等.

師：非常好.那我們可以繼續(xù)表示出哪些邊的邊長呢？

生：因?yàn)锽C=5，所以AD=5，又因?yàn)檎郫B，所以AF=AD=5.那么在直角三角形ABF中，就可以用勾股定理求出BF的邊長為4.

師：還有別的邊可以表示嗎？

生：題目中要求的是EC的長，我們可以設(shè)EC=x，那么DE=EF=3-x，F(xiàn)C=BC-BF=5-4=1，這樣在直角三角形ECF中，我們表示出了三條邊的長，就可以利用勾股定理求出x了.

師：同學(xué)們的想法都非常好，我們共同將這道題的解題過程寫下來.(教師在黑板上板書)

1.4 變式訓(xùn)練，舉一反三

數(shù)學(xué)是一門思維性很強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)題是永遠(yuǎn)做不完的，所以在授課過程中，通過精選例題讓學(xué)生達(dá)到舉一反三、做一題會一類非常重要.在本節(jié)課的變式中，筆者的設(shè)計(jì)意圖就是使學(xué)生在鞏固利用勾股定理列方程一般模式的基礎(chǔ)上跳出思維的框框，看看能否有別的方法來解決這個問題，這種方法甚至比勾股定理更加簡單.通過這樣的思維訓(xùn)練，學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)在無形中被打通了，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的融會貫通性，數(shù)學(xué)的靈活性思維也就躍然于心中.

變式1如圖2，在長方形ABCD中，AB=3，BC=5，如果將該長方形沿對角線BD折疊，那么圖中陰影部分的面積是多少？

要求學(xué)生在上一題的方法總結(jié)的基礎(chǔ)上獨(dú)立思考解決此題，請一位學(xué)生代表交流解題方法.該變式在例1的大前提不變的基礎(chǔ)上改變了折紙的方式，讓學(xué)生在例1的余溫中繼續(xù)思考.此環(huán)節(jié)的目的乃經(jīng)驗(yàn)移交，幫助學(xué)生舉一反三.

變式2如圖3，折疊直角三角形紙片ABC，使直角邊AC落在斜邊AB上(折痕為AD，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處)，已知AC=6 ,BC=8，求CD的長.(將長方形紙片換成三角形紙片的背景)

圖3

學(xué)生嘗試運(yùn)用之前總結(jié)出來的解題經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立完成，全班點(diǎn)評.這一環(huán)節(jié)的設(shè)置，加強(qiáng)了學(xué)生對解題模式的感覺，并且這道題除了可以用勾股定理解決還可以用面積法來解決，這就開拓了學(xué)生的思路，讓學(xué)生對折紙問題在原有模式的基礎(chǔ)上又產(chǎn)生了新的認(rèn)識.

1.5 構(gòu)造模型，經(jīng)驗(yàn)移交

本節(jié)課的設(shè)計(jì)從學(xué)生觀察思考到學(xué)法總結(jié)到實(shí)踐操作，再到檢測反饋，符合了認(rèn)知的過程與規(guī)律；過程中例題的選用由淺入深，層層遞進(jìn)；每個環(huán)節(jié)，教師重引導(dǎo)勤矯正，完成了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的移交.但是本節(jié)課也有一處不足，在經(jīng)驗(yàn)移交的過程中，總結(jié)本節(jié)課利用勾股定理解決問題的一般模式的時候，我是這樣總結(jié)的：①分析圖形；②表示邊長；③尋找相等關(guān)系；④構(gòu)建方程；⑤求解作答.這樣的模式總結(jié)有一個缺點(diǎn)就是太空洞了，只是從宏觀的角度給學(xué)生一個解決問題的指引，其實(shí)應(yīng)該更加具體一點(diǎn)，比如說，在翻折過程中要讓學(xué)生學(xué)會觀察哪些量并沒有發(fā)生變化，從線段的角度或者角的角度去看，抓住不變量，這樣表示各邊長就會更加準(zhǔn)確快速.還要指導(dǎo)學(xué)生由已知到問題有時候需要雙向的思考，對于簡單的問題，由已知到問題可以直接解決，但是對于難題，如果出現(xiàn)由已知到問題卡殼的情況，可以從問題出發(fā)倒推，這樣雙向打通，更有利于問題的解決.

拓展：如圖4,長方形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，當(dāng)△CEB’為直角三角形時，BE的長為多少？

圖4

此題需要分類討論，每位學(xué)生發(fā)放16K紙一張，讓學(xué)生參與到課堂的實(shí)踐活動中來，通過自己親手操作，發(fā)現(xiàn)可能出現(xiàn)的兩種可能性.通過這道拓展題，學(xué)生的思維能力又上升到了一個新的高度，對折紙情境下的幾何問題有了全面的認(rèn)識，將精選例題的效益達(dá)到最大化.

2 教學(xué)反思

本課內(nèi)容是蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級上冊第三章第三節(jié)《勾股定理簡單應(yīng)用》專題訓(xùn)練的第一課.本課的教學(xué)目標(biāo)是引領(lǐng)學(xué)生在折紙問題的情境下利用勾股定理解決問題，并在此基礎(chǔ)上，觸類旁通，學(xué)會在其他情境下(如最短距離問題)應(yīng)用勾股定理解決問題.

合理選擇例題，是達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的重要方法.在本節(jié)課中，首先用例1給學(xué)生形成一個初步解決問題的想法，然后又通過兩個變式進(jìn)行強(qiáng)化解題模式，最后通過拓展提升的例題打通學(xué)生的思維，對本節(jié)課的目標(biāo)有了更為清晰地認(rèn)識和理解.在本節(jié)課拓展提升的例題講解環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過實(shí)實(shí)在在的折紙實(shí)驗(yàn)，真正體會到折紙過程中圖形發(fā)生的變化量和不變量，認(rèn)識到分類討論的必要性，實(shí)現(xiàn)了“嘗試運(yùn)用發(fā)現(xiàn)——尋找——使用——檢驗(yàn)的思維流程去解決問題，體會勾股定理的文化價值，增強(qiáng)應(yīng)用意識，并感受解決實(shí)際問題的樂趣”這一教學(xué)目標(biāo).本節(jié)課在設(shè)計(jì)時重點(diǎn)關(guān)注了以下三個方面.

2.1 建構(gòu)模型

模型的構(gòu)造是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑，建構(gòu)模型要讓學(xué)生感悟建構(gòu)的方法的本質(zhì)是“聯(lián)系”.在本節(jié)課的教學(xué)過程中，通過知識整理，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確把握折紙情境下產(chǎn)生的問題的特點(diǎn)與聯(lián)系，建構(gòu)適合搜索的知識網(wǎng)絡(luò)，由粗糙到精致，逐步提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng).

2.2 精選例題

例題是一節(jié)數(shù)學(xué)課課堂教學(xué)內(nèi)容的核心體現(xiàn).所以例題的選擇一定要進(jìn)行全方位地思考.有的時候不一定使用書本上提供的例題，可以根據(jù)學(xué)生的學(xué)情，進(jìn)行必要地篩選或者改編，以契合本節(jié)課的教學(xué)目的，讓學(xué)生更好地把握和理解知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián).大多時候，一道好的例題可以讓本節(jié)課的設(shè)計(jì)達(dá)到畫龍點(diǎn)睛的效果.精心設(shè)計(jì)例題，讓學(xué)生通過觀察圖形或者實(shí)際操作，準(zhǔn)確找到圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系，再通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砀形蜣D(zhuǎn)化思想(把斜三角形、四邊形等圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形問題)，根據(jù)勾股定理寫出適宜的等量關(guān)系.

2.3 小組合作

學(xué)生的學(xué)習(xí)不應(yīng)該僅僅是個體的獨(dú)立學(xué)習(xí)，同學(xué)之間的互相學(xué)習(xí)也是必不可少的一個環(huán)節(jié).在筆者所教授的班級中，往往會把學(xué)生分配到各個小組，小組中的成員包含了不同學(xué)習(xí)能力、不同性格的學(xué)生，科學(xué)的分組可以讓課堂的效果事半功倍.課前學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行知識梳理，學(xué)習(xí)小組協(xié)作做好課前準(zhǔn)備；在課堂討論環(huán)節(jié)，小組合作，思維碰撞，相互學(xué)習(xí)優(yōu)點(diǎn)，凝聚集體的力量.

2.4 思維遞進(jìn)

每一節(jié)課都離不開思維的活動.在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中，每一個問題和每一道題的呈現(xiàn)都是有思維的遞進(jìn)性的，讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就好像是在爬樓梯，一步一步腳踏實(shí)地地前行，也許會感覺到疲憊，但是更多的是享受活躍思維的快樂.要想做到在數(shù)學(xué)課上呈現(xiàn)思維的遞進(jìn)性，本質(zhì)上還是需要教師在課堂設(shè)計(jì)的時候要合理排序，否則學(xué)生在數(shù)學(xué)課上就像過山車一樣，思維忽上忽下，雜亂無章，不利于形成完整而清晰的思維脈絡(luò).

幾何是一個比較抽象的數(shù)學(xué)分支，如何將幾何的教學(xué)更加的具象，讓學(xué)生更好地理解？比如在經(jīng)驗(yàn)移交的時候，如何更加具有直觀性、可操作性，還有在課堂上如何豐富教學(xué)活動調(diào)動起學(xué)生參與課堂的積極性等等，是未來教師還需要不斷探索和研究的課題.