何瓊，王小霞，朱文國

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，陜西 延安 716000)

連通性是拓?fù)鋵W(xué)中十分重要的概念，學(xué)者們利用不同的方式把它的相關(guān)概念和性質(zhì)推廣到LF拓?fù)淇臻g中[1-7]，并且研究了不同的連通性，如S*-連通性[1]、LFα-p連通性[2]、弱連通性[3]、β連通性[4]和WP-δ連通性[5]等.2010年，陳海燕利用半開集和半閉集[8]的定義，首次給出Es集和Es閉集的概念[9]；2018年，安艷將Es集和Es閉集推廣到LF拓?fù)淇臻g中，并研究了它們的相關(guān)性質(zhì)[10].本文首先定義了Es-隔離集，并給出Es-連通性的概念；其次利用分析類比的方法，借助Es閉集的性質(zhì)刻畫了Es-連通性的等價條件，討論了Es-連通集和連通集之間的關(guān)系；最后研究了Es-連通性的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)一步豐富了LF拓?fù)淇臻g的連通性理論.

在本文中L是具有逆合對應(yīng)的完全分配格，X是非空集，(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，它包含最大元1X和最小元0X,且對有限交和任意并封閉，δ中的元稱為開集或開元，它的補(bǔ)集是閉集.M*(L)表示LX中全體非空并既約元之集，δ|Y表示δ在Y上的限制.其他沒說明的符號見文獻(xiàn)[1]和[10-13].

1 預(yù)備知識

定義1[8]設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX.

(1)若?U∈δ,使得U≤A≤U-，則稱A為半開集；

(2)若?F∈δ′,使得F°≤A≤F，則稱A為半閉集；

(LX，δ)中全部半開集構(gòu)成的集合記為SO(LX),全部半閉集構(gòu)成的集合記為SC(LX).

定義2[10]設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX.

(1)Es(A)=∧{O∈SO(LX)|A≤O}，若A滿足A=Es(A)，則稱A為Es集；

(LX，δ)中全部Es集構(gòu)成的集合記為Es(LX)，全部Es閉集構(gòu)成的集合記為Es*(LX).

注：(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX,如果A是開集，那么A一定是半開集，則它一定是Es集；反之不成立.Es集的補(bǔ)集是Es閉集.

定義3[10]設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX.

(1)包含于A的一切Es集的并稱為A的Es內(nèi)部，記為intE(A),即

intE(A)=∨{B∈ES(LX)|B≤A}；

(2)包含A的一切Es閉集的交稱為A的Es閉包，記為clE(A),即

clE(A)=∧{B∈Es*(LX)|A≤B}.

推論1[10]設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX.

(1)任意多個Es集的并是Es集；有限多個Es集的交是Es集；

(2)A是Es集的充要條件是A=intE(A)；

(3)A是Es閉集的充要條件是A=clE(A).

2 Es-連通性及其相關(guān)性質(zhì)

定義4 設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，A，B∈LX，如果clE(A)∧B=A∧clE(B)=0X，則稱A和B是Es-隔離集.

注：兩個無交的Es閉集一定是Es-隔離集.

定理1 設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，A，B∈LX，如果A，B是隔離集，則A，B是Es-隔離集.

證明設(shè)A，B是隔離集,由定義4知cl(A)∧B=A∧cl(B)=0X.由定義2中Es閉集是閉集知clE(A)?cl(A),所以clE(A)∧B=A∧clE(B)=0X.但反之不成立.

定義5 設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，G∈LX,如果(LX，δ)中存在非空Es-隔離集A，B且A≠B使得G=A∨B，那么稱G是Es-連通集.當(dāng)(LX，δ)中最大元1X為Es-連通集時，則稱(LX，δ)是Es-連通空間.

定理2 設(shè) (LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，1X∈M*(L),則下面各個條件等價成立：

(1)G不是Es-連通集；

(2)存在Es閉集A，B使得A∧G≠0X,B∧G≠0X,G′∨A∨B=1X及G∧A∧B=0X；

(4)存在Es集A，B使得A∧G≠0X,B∧G≠0X，G≤A∨B及G∧A∧B=0X；

證明(1)?(2)設(shè)G不是Es-連通集，那么存在非空Es-隔離集A，B且A≠B使得G=A∨B.設(shè)A,B是LF拓?fù)淇臻g中Es閉集,有

A∧B=0X，

A∧G=A∧(A∨B)=(A∧A)∨(A∧B)=A≠0X,

B∧G=B∧(A∨B)=(B∧A)∨(B∧B)=B≠0X,

使G∧A∧B=0X.由G=A∨B可知G′=A′∧B′，即

G′∨A∨B=(A′∧B′)∨A∨B=(A′∨A∨B)∧(B′∨A∨B)=1X，

所以(2)成立.

G′∨A∨B=(A′∧B′)∨A∨B=(A′∨A∨B)∧(B′∨A∨B)=1X,

所以(1)成立.

定理3 設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，Y是X中的子集，且Y是Es-連通集，如果在(LY，δ|Y)中有Es-隔離集U和V，則Y?U或Y?V．

證明設(shè)U和V是(LY，δ|Y)中的Es閉集，Y∩U和Y∩V是(LY,δ|Y)中的Es閉集，有

(Y∩U)∪(Y∩V)=Y∩(U∪V)=Y,

(Y∩U)∩(Y∩V)=Y∩U∩V=0X.

如果Y∩U和Y∩V是非空的,Y是Es-隔離集，同時Y也是(LX，δ)中Es-連通子集，則Y∩U=0X或Y∩V=0X,即Y?U或Y?V.

定理4 設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，如果G是(LX，δ)中的Es-連通集，G≤H≤clE(G),那么H是(LX，δ)中的Es-連通集.

推論2 設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g，如果G是(LX，δ)中的Es-連通集，那么clE(G)是(LX，δ)中的Es-連通集.

定理5 設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g,G∈LX，如果G是Es-連通集，那么G是連通集.

證明設(shè)G不是連通集，則存在隔離集A，B且A≠B使得G=A∨B，cl(A)∧B=A∧cl(B)=0X.由定義2中Es閉集是閉集知clE(A)?cl(A),所以clE(A)∧B=A∧clE(B)=0X.即存在Es-隔離集A，B且A≠B使得G=A∨B，故G不是Es-連通集，矛盾.

定理5反之不成立.即：設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g,G∈LX，如果G是連通集，那么G不是Es-連通集.

例如在(LX，δ)空間中，設(shè)X={x1,x2}，L={0,a,b,c,d,1}，L中元素之間的關(guān)系：a′=b,b′=a,c′=d,d′=c,1′=0,0′=1,a∧b=d,0

則δ={R(0,0),R(0,b),R(0,d),R(a,0),R(a,b),R(a,d),R(d,0),R(d,d),R(1,1)}.令Φ是所有半閉集之族，則

Φ={R(0,0),R(0,b),R(0,d),R(a,0),R(a,d),R(d,0),R(d,d),R(1,1)}.

令Ψ是所有Es閉集之族，則

Ψ={R(0,0),R(0,b),R(0,d),R(a,0),R(a,d),R(d,0),R(d,d),R(a,b),R(d,b),R(1,1)}.

定理6 設(shè)(LX，δ)是LF拓?fù)淇臻g,G和H都是(LX，δ)中的Es-連通集，如果clE(G)∧H≠0X或G∧clE(H)≠0X,那么G∨H是(LX，δ)中的Es-連通集.

(G∨H)∧A∧B=(G∧A∧B)∨(H∧A∧B)=0X,

即(G∧A)∨(H∧B)=0X.故(G∧A)=0X，(H∧B)=0X,有

G∧clE(H)≤G∧clE(A)=G∧A=0X.

同理H∧clE(G)=0X,所以H和G是Es-隔離的，與假設(shè)矛盾.故G∨H是Es-連通的.