孫學(xué)敏，唐海軍，曹一鳴

中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程中的變革能力與2030能力發(fā)展——基于OECD“學(xué)習(xí)框架2030”的課程圖譜分析

孫學(xué)敏1，唐海軍1，2，曹一鳴3

（1．貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025；2．四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 達(dá)州 635000；3．北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875）

OECD學(xué)習(xí)框架2030為幫助學(xué)生應(yīng)對(duì)未來(lái)世界的不確定性，創(chuàng)造美好的未來(lái)，定義了3種學(xué)生必備的“變革能力”．“面向2030能力發(fā)展”同時(shí)被提出．研究圍繞OECD教育2030項(xiàng)目的最新研究：課程內(nèi)容圖譜分析項(xiàng)目，主要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科中變革能力與2030能力發(fā)展，梳理數(shù)學(xué)學(xué)科中對(duì)應(yīng)的能力，采用內(nèi)容分析法對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)課程中的變革能力與2030能力發(fā)展從總體分布和內(nèi)容關(guān)聯(lián)兩個(gè)方面進(jìn)行深入分析，得到一些啟示和建議．

OECD“學(xué)習(xí)框架 2030”；數(shù)學(xué)課程圖譜；初中數(shù)學(xué)課程；變革能力；2030能力發(fā)展

1 問(wèn)題提出

經(jīng)濟(jì)合作發(fā)展組織（OECD）于2015年啟動(dòng)了“教育2030：未來(lái)的教育與技能2030”項(xiàng)目，2018年發(fā)布了“學(xué)習(xí)框架2030”．“OECD學(xué)習(xí)框架2030”為幫助學(xué)生在急劇變革的世界上茁壯成長(zhǎng)，開(kāi)創(chuàng)更好的未來(lái)，定義了3種學(xué)生所必需的“變革能力”（transformative competencies），即創(chuàng)造新價(jià)值的能力、調(diào)和矛盾和困境的能力、承擔(dān)責(zé)任的能力和“面向2030的能力發(fā)展”（competency development for 2030），即預(yù)期能力、行動(dòng)能力、反思能力[1-4]．

研究圍繞OECD教育2030項(xiàng)目的最新研究：課程內(nèi)容圖譜分析項(xiàng)目（curriculum content mapping，簡(jiǎn)稱(chēng)CCM），主要關(guān)注變革能力與2030能力發(fā)展，梳理數(shù)學(xué)學(xué)科中對(duì)應(yīng)的能力，采用內(nèi)容分析法對(duì)中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程中的變革能力與2030能力發(fā)展從總體和內(nèi)容主題關(guān)聯(lián)兩個(gè)方面進(jìn)行分析，以期為中國(guó)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂與教材編寫(xiě)提供借鑒，為教育工作者在課程教學(xué)中融入相關(guān)能力提供參考．

2 “OECD學(xué)習(xí)框架2030”下變革能力與2030能力發(fā)展的內(nèi)涵

“OECD學(xué)習(xí)框架2030”在“核心素養(yǎng)項(xiàng)目”（DeSeCo1項(xiàng)目）所提出的“OECD關(guān)鍵能力”基礎(chǔ)之上[2]，定義了3種學(xué)生面向未來(lái)必需的“變革能力”：創(chuàng)造新價(jià)值的能力、調(diào)和矛盾和困境的能力、承擔(dān)責(zé)任的能力和“面向2030的能力發(fā)展”，即預(yù)期能力、行動(dòng)能力、反思能力[1-4]（見(jiàn)表1）．

“OECD學(xué)習(xí)框架2030”的主要體現(xiàn)形式是OECD學(xué)習(xí)羅盤(pán)2030（OECD learning compass 2030）．羅盤(pán)由磁針和方向盤(pán)構(gòu)成，其中，“變革能力”和“預(yù)期—行動(dòng)—反思”起到“方向盤(pán)”的作用．在起航駛向“幸福2030”的過(guò)程中，磁針指明方向，而方向盤(pán)起著控制自我轉(zhuǎn)向的作用，也是學(xué)生與航行器溝通的橋梁．

表1 變革能力和2030能力發(fā)展的定義

注：來(lái)源于OECD_Learning_Compass_2030_Concept_Note_Series. Paris: OECD, 2019.

3種變革能力有助于學(xué)習(xí)者在復(fù)雜的和不確定的情境中航行，屬于更高水平的能力．創(chuàng)新是一切個(gè)體成長(zhǎng)和可持續(xù)發(fā)展的核心能源．為了迎接無(wú)法預(yù)測(cè)卻又充滿(mǎn)挑戰(zhàn)的未來(lái)，個(gè)體應(yīng)該學(xué)會(huì)識(shí)別新的增長(zhǎng)來(lái)源從而為社會(huì)增值．勇于承擔(dān)責(zé)任的能力是創(chuàng)造新價(jià)值、調(diào)和矛盾和困境的先決條件，個(gè)體擁有該能力可以為實(shí)現(xiàn)個(gè)人幸福和集體福祉產(chǎn)生有誠(chéng)信、有原則的行為，能夠被他人信賴(lài)，委以重任．個(gè)人必須學(xué)會(huì)成為系統(tǒng)思考者，協(xié)調(diào)、解決工作生活中可能出現(xiàn)的各種矛盾、沖突或困境．三者彼此之間相互關(guān)聯(lián)，相互作用，并隨著情境的改變和個(gè)體經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)發(fā)生變化，使個(gè)體受益終生．

預(yù)期—行動(dòng)—反思（anticipation-action-reflection，簡(jiǎn)稱(chēng)AAR）是能力發(fā)展的過(guò)程與周期，它是發(fā)展和形成變革能力的“催化劑”[4]．AAR基于建構(gòu)主義，是有序循環(huán)的持續(xù)學(xué)習(xí)過(guò)程．行動(dòng)本身的性質(zhì)是中立的，它可能會(huì)對(duì)個(gè)人、社會(huì)或人類(lèi)帶來(lái)任何后果，有可能是積極的，也有可能是消極的．正因如此，行動(dòng)的實(shí)施需要有目的性和責(zé)任感——所以要有預(yù)期在前，反思在后．反思保證了AAR循環(huán)的持續(xù)性．學(xué)習(xí)者自覺(jué)地計(jì)劃、實(shí)踐、反思，不斷循環(huán)，不僅促進(jìn)該領(lǐng)域特殊能力的形成，也有助于形成以上3種變革能力，最終開(kāi)創(chuàng)個(gè)人和社會(huì)幸福的未來(lái)．

3 數(shù)學(xué)課程中變革能力與2030能力發(fā)展的體現(xiàn)

CCM將學(xué)校課程劃分為7個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域[5]，數(shù)學(xué)是其中的一個(gè)重要領(lǐng)域．OECD學(xué)習(xí)框架2030下的變革能力與2030能力發(fā)展屬于跨越學(xué)科的“一般能力素養(yǎng)”．在整體框架下結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科情境中的變革能力與2030能力發(fā)展作進(jìn)一步解析，有助于深入理解各項(xiàng)能力素養(yǎng)．

3.1 數(shù)學(xué)課程中的變革能力

中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育將創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)作為育人的基本任務(wù)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)（2011年）》）將創(chuàng)新能力作為設(shè)計(jì)思路的10個(gè)核心詞之一．?dāng)?shù)學(xué)創(chuàng)新能力存在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每個(gè)環(huán)節(jié)和整個(gè)過(guò)程，它與數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維有著緊密的聯(lián)系．

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程．在數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過(guò)程中，必然會(huì)發(fā)生思維的碰撞，產(chǎn)生困惑甚至經(jīng)歷失?。畯?qiáng)烈的責(zé)任感是面對(duì)挫折、戰(zhàn)勝困難的內(nèi)驅(qū)力．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科中的承擔(dān)責(zé)任還體現(xiàn)在思維活動(dòng)過(guò)程中所表現(xiàn)出的情感、態(tài)度和價(jià)值觀．例如，《課標(biāo)（2011年）》中“形成堅(jiān)持真理、修正錯(cuò)誤、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度”；“如何讓學(xué)生做自己能做的事，并對(duì)自己做的事情負(fù)責(zé)”[6]．

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不僅是學(xué)生個(gè)體的成長(zhǎng)過(guò)程，也是學(xué)生與社會(huì)互動(dòng)的過(guò)程．解決問(wèn)題是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程．而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)是社會(huì)建構(gòu)，將個(gè)人主觀數(shù)學(xué)認(rèn)知轉(zhuǎn)化成使人接受的客觀數(shù)學(xué)知識(shí)，需要社會(huì)性的交流和合作[7]．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，這一社會(huì)性技能體現(xiàn)在：在合作解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中避免倉(cāng)促地給出一個(gè)單一的答案，或只找到一個(gè)非此即彼的解決方案，而是要處理多元化帶來(lái)的緊張、兩難和權(quán)衡．例如，《課標(biāo)（2011年）》中“如何引導(dǎo)學(xué)生善于與同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意見(jiàn)，又能獨(dú)立思考、大膽質(zhì)疑”；“在與他人合作和交流過(guò)程中，能較好地理解他人的思考方法和結(jié)論”等[6]．

3.2 數(shù)學(xué)課程中的2030能力發(fā)展（AAR）

在數(shù)學(xué)學(xué)科情境中，預(yù)期是行動(dòng)前的預(yù)判，比如，數(shù)據(jù)處理前的數(shù)據(jù)直覺(jué)，以及數(shù)據(jù)分析過(guò)程中的預(yù)測(cè)、模擬、推斷等關(guān)鍵能力；預(yù)期同樣反映了學(xué)生個(gè)體在應(yīng)對(duì)未來(lái)新情境和新挑戰(zhàn)時(shí)所具備的情感和態(tài)度，如對(duì)未來(lái)充滿(mǎn)信心、產(chǎn)生負(fù)責(zé)任的行動(dòng)．《課標(biāo)（2011年）》指出：“知道通過(guò)大量地重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率來(lái)估計(jì)概率”；“通過(guò)表格、折線圖、趨勢(shì)圖等，感受隨機(jī)現(xiàn)象的變化趨勢(shì)”等[6]．

行動(dòng)，在數(shù)學(xué)學(xué)科中指經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，學(xué)習(xí)者在此之中積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展實(shí)踐能力．在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，活動(dòng)始終貫穿于其中．學(xué)生在嘗試性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中“創(chuàng)造”出自己的數(shù)學(xué)，同時(shí)，數(shù)學(xué)活動(dòng)也是發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要條件．中國(guó)《課標(biāo)（2011年）》課程目標(biāo)中，將“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”明確地列入“四基”之中，并指出，“積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲”；“體驗(yàn)數(shù)據(jù)收集、處理、分析和推斷過(guò)程，理解抽樣方法，體驗(yàn)用樣本估計(jì)總體的過(guò)程”等[6]．

基于數(shù)學(xué)作為思維學(xué)科的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)為反思提供了大量的思維內(nèi)容，反思為數(shù)學(xué)建構(gòu)了更完善的知識(shí)體系和思維方式[8]．《課標(biāo)（2011年）》指出，“能針對(duì)他人所提的問(wèn)題進(jìn)行反思，初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)”等[6]．

4 基于CCM的變革能力與2030能力發(fā)展分析

中國(guó)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容圖譜研究團(tuán)隊(duì)依據(jù)官方資料“CCM正式研究指南”“CCM數(shù)學(xué)內(nèi)容編碼框架”“CCM正式研究能力框架”等，結(jié)合中國(guó)初中階段數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)形成編碼手冊(cè)，采用質(zhì)性文本分析方法對(duì)《課標(biāo)（2011年）》中的初中部分進(jìn)行編碼分析，識(shí)別現(xiàn)有課程內(nèi)容和內(nèi)容編碼框架的匹配程度，并依據(jù)項(xiàng)目組提供的4級(jí)賦分規(guī)則，以?xún)?nèi)容主題框架中的子主題為單位，判斷現(xiàn)有課程中各內(nèi)容條目所對(duì)應(yīng)的能力素養(yǎng)培養(yǎng)要求，從而進(jìn)行能力要求等級(jí)賦分[9]．具體賦分規(guī)則如表2．

表2 數(shù)學(xué)CCM賦分規(guī)則

研究團(tuán)隊(duì)將上述6項(xiàng)能力素養(yǎng)整合進(jìn)與數(shù)學(xué)內(nèi)容編碼框架相匹配的23條初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主題，形成了138個(gè)“內(nèi)容—能力”二維關(guān)聯(lián)單元．然后以二級(jí)數(shù)學(xué)內(nèi)容主題為單位，根據(jù)表2所示CCM賦分規(guī)則，進(jìn)一步分析識(shí)別每個(gè)單位所涉及的能力素養(yǎng)的層次，最終形成關(guān)于2030能力素養(yǎng)的識(shí)別以及內(nèi)容與能力的二維關(guān)聯(lián)分析等結(jié)果[9]．以下根據(jù)研究團(tuán)隊(duì)前期的分析結(jié)果，從能力的總體分布和內(nèi)容關(guān)聯(lián)兩個(gè)方面對(duì)中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程中的變革能力和2030能力發(fā)展作進(jìn)一步闡釋?zhuān)⒌贸鼋Y(jié)論．

4.1 結(jié)果與分析

4.1.1 總體分布分析

根據(jù)上述形成的138個(gè)“內(nèi)容—能力”二維關(guān)聯(lián)單元能力素養(yǎng)的賦分結(jié)果，分別統(tǒng)計(jì)創(chuàng)造新價(jià)值的能力、調(diào)和矛盾和困境的能力、承擔(dān)責(zé)任的能力、預(yù)期能力、行動(dòng)能力、反思能力6種能力素養(yǎng)各分值所占的比例，結(jié)果如圖1所示．

由圖1可以看出，3種變革能力和2030能力發(fā)展在中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程中均有涉及，但所要求的程度不同．其中，創(chuàng)造新價(jià)值的能力、承擔(dān)責(zé)任的能力、調(diào)和矛盾和困境的能力賦分均為2．在課程標(biāo)準(zhǔn)中，這3種能力在前言、課程目標(biāo)、課程實(shí)施建議和附錄中籠統(tǒng)出現(xiàn)，沒(méi)有關(guān)聯(lián)具體數(shù)學(xué)內(nèi)容．原因可能是，在中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程中，認(rèn)為這3種變革能力是學(xué)習(xí)者通過(guò)學(xué)習(xí)廣泛而全面的具體數(shù)學(xué)內(nèi)容之后，逐漸形成的更高水平的能力素養(yǎng)．

圖1 變革能力與AAR賦分占比

對(duì)于2030能力發(fā)展，具體預(yù)期能力和行動(dòng)能力而言，作為主要目標(biāo)呈現(xiàn)，要求賦分為4的條目占比分別為4.3%和21.7%；作為次要目標(biāo)呈現(xiàn)，要求賦分為3的占比為17.4%和8.7%．可見(jiàn)，行動(dòng)這一能力素養(yǎng)作為主要目標(biāo)呈現(xiàn)所占比重相對(duì)較多，預(yù)期能力次之．說(shuō)明中國(guó)數(shù)學(xué)課程較重視學(xué)生的行動(dòng)能力．如前所述，行動(dòng)能力體現(xiàn)在數(shù)學(xué)課程中，指學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的活動(dòng)過(guò)程．中國(guó)數(shù)學(xué)課程中長(zhǎng)期存在著一些問(wèn)題，如重書(shū)本知識(shí)傳授，輕實(shí)踐能力培養(yǎng)；重學(xué)習(xí)結(jié)果輕學(xué)習(xí)過(guò)程；重間接知識(shí)的學(xué)習(xí)，輕直接經(jīng)驗(yàn)的獲得；重教師的講授，輕學(xué)生的探索[10]，中國(guó)在進(jìn)入新課程改革后，數(shù)學(xué)課程開(kāi)始逐漸重視讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)和探索的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)直接經(jīng)驗(yàn)的獲取和實(shí)踐能力的培養(yǎng)．在《課標(biāo)（2011年）》中將“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”與“基礎(chǔ)知識(shí)”“基本技能”“基本思想”并列為“四基”作為課程目標(biāo)被提出，并設(shè)置了“綜合與實(shí)踐”模塊作為課程內(nèi)容的一部分，目的在于積累學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高實(shí)踐創(chuàng)新能力．反思能力的要求賦分為2，在前言、課程目標(biāo)、課程實(shí)施建議和附錄中籠統(tǒng)出現(xiàn)，沒(méi)有關(guān)聯(lián)具體數(shù)學(xué)內(nèi)容．

4.1.2 內(nèi)容關(guān)聯(lián)分析

數(shù)學(xué)課程中能力的發(fā)展要以數(shù)學(xué)核心內(nèi)容為載體．國(guó)際數(shù)學(xué)課程圖譜分析項(xiàng)目在確定數(shù)學(xué)學(xué)科的“學(xué)習(xí)內(nèi)容”時(shí)，盡量使選定的數(shù)學(xué)內(nèi)容能夠覆蓋世界不同地區(qū)（如亞洲、美洲、歐洲等）的數(shù)學(xué)課程，最終形成了“CCM數(shù)學(xué)內(nèi)容主題框架”．內(nèi)容框架共包括7類(lèi)內(nèi)容主題：（1）數(shù)（number）；（2）測(cè)量（measurement）；（3）數(shù)據(jù)和概率（data and probability）；（4）表達(dá)式、方程和代數(shù)（expressions, equations and algebra）；（5）函數(shù)（function）；（6）幾何（geometry）；（7）數(shù)學(xué)通識(shí)部分（general description, where relevant）．上述內(nèi)容主題共包含31項(xiàng)子主題，其中與中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容匹配的子主題有23項(xiàng)[11]．進(jìn)一步分析31項(xiàng)子主題下內(nèi)容與能力的二維關(guān)聯(lián)結(jié)果，有助于厘清變革能力和2030能力發(fā)展與中國(guó)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主題的整合情況．

（1）數(shù)．

內(nèi)容主題“數(shù)”包含7項(xiàng)子主題（如圖2所示）．其中“MNU3復(fù)數(shù)”“MNU5分?jǐn)?shù)和小數(shù)相關(guān)問(wèn)題解決中的計(jì)算策略”“MNU7基于向量的建模和運(yùn)算”在中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程中不涉及，MNU3、MNU7將在高中階段學(xué)習(xí)，MNU5在小學(xué)階段學(xué)習(xí)．另外4項(xiàng)子主題與中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容完全或部分匹配．變革能力與2030能力發(fā)展對(duì)這4項(xiàng)子主題的賦分均為2，在課程標(biāo)準(zhǔn)中沒(méi)有關(guān)聯(lián)到具體“數(shù)”的內(nèi)容，換言之，“數(shù)”內(nèi)容主題沒(méi)有將變革能力與2030能力發(fā)展作為主要或次要培養(yǎng)目標(biāo)進(jìn)行整合．“數(shù)”對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)課程乃至其它學(xué)科、日常生活和工作都是重要的基礎(chǔ)，中國(guó)歷來(lái)重視“雙基”的培養(yǎng)，并強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、運(yùn)算能力．變革能力與2030能力發(fā)展，是學(xué)生掌握了牢固的“雙基”之后發(fā)展的更高水平的能力素養(yǎng)．

圖2 “數(shù)”內(nèi)容與能力二維關(guān)聯(lián)圖

（2）測(cè)量．

內(nèi)容主題“測(cè)量”僅包含“MME1度量單位和比例尺”內(nèi)容，在中國(guó)初中階段數(shù)學(xué)課程中無(wú)涉及（如圖3所示），原因在于中國(guó)這部分內(nèi)容在小學(xué)階段學(xué)習(xí)，具體對(duì)應(yīng)一至六年級(jí)“圖形與幾何”中的“分類(lèi)和度量”．這是否間接地反映了中國(guó)小學(xué)階段“圖形與幾何”內(nèi)容領(lǐng)域難度較大，還需通過(guò)國(guó)際比較研究作進(jìn)一步探討．

圖3 “測(cè)量”內(nèi)容與能力二維關(guān)聯(lián)圖

（3）數(shù)據(jù)和概率．

內(nèi)容主題“數(shù)據(jù)和概率”共含7項(xiàng)子主題（如圖4所示），其中“MDP6線性模型”“MDP7雙變量關(guān)聯(lián)（相關(guān)）”在中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程中不涉及．由圖4可以看出，形成的“內(nèi)容—能力”二維關(guān)聯(lián)單元賦分為2或3．表明6種能力素養(yǎng)在5項(xiàng)子主題中都有所體現(xiàn)，體現(xiàn)的程度不同．對(duì)于賦分為3的關(guān)聯(lián)單元，預(yù)期能力作為次要培養(yǎng)目標(biāo)被整合在3個(gè)二級(jí)內(nèi)容主題中，分別為“MDP2整理、展示和解釋數(shù)據(jù)”“MDP3隨機(jī)過(guò)程”“MDP4概率模型”．這3個(gè)子主題的學(xué)習(xí)都涉及對(duì)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)、模擬、推斷等做出計(jì)劃的過(guò)程，與此密切相關(guān)的能力素養(yǎng)是預(yù)期能力，因此課程標(biāo)準(zhǔn)中明確關(guān)聯(lián)了這3項(xiàng)子主題．

特別地，對(duì)于子主題“MDP2整理、展示和解釋數(shù)據(jù)”，目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析與處理能力，為了使學(xué)生真正地感知數(shù)據(jù)、親近數(shù)據(jù)，最好的辦法就是讓學(xué)生親歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析以及做出決策的全過(guò)程，并在此過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析與處理能力，因此該內(nèi)容主題同時(shí)將行動(dòng)能力作為次要培養(yǎng)目標(biāo)進(jìn)行了整合．3個(gè)變革能力在課程標(biāo)準(zhǔn)中沒(méi)有關(guān)聯(lián)到具體的“數(shù)據(jù)和概率”內(nèi)容．

圖4 “數(shù)據(jù)和概率”內(nèi)容與能力二維關(guān)聯(lián)圖

（4）表達(dá)式、方程和代數(shù)．

內(nèi)容主題“表達(dá)式、方程和代數(shù)”包含5項(xiàng)子主題（如圖5所示），中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程中對(duì)這5項(xiàng)子主題都有涉及．由圖5可以看出，6個(gè)能力素養(yǎng)與5項(xiàng)子主題形成的30個(gè)“內(nèi)容—能力”二維關(guān)聯(lián)單元賦分均為2，表明該內(nèi)容沒(méi)有將變革能力與2030能力發(fā)展作為主要或次要培養(yǎng)目標(biāo)進(jìn)行整合．在“表達(dá)式、方程和代數(shù)”內(nèi)容中，中國(guó)數(shù)學(xué)課程仍然重視“雙基”的培養(yǎng)，同時(shí)發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想和應(yīng)用意識(shí)．事實(shí)上，中國(guó)中學(xué)生之所以在國(guó)際測(cè)試中成績(jī)斐然和中國(guó)學(xué)生在這一學(xué)段建立起來(lái)的扎實(shí)的“代數(shù)”基礎(chǔ)是密不可分的．變革能力與能力發(fā)展2030在這里仍被看作學(xué)生掌握了牢固的“雙基”之后發(fā)展的更高水平的能力素養(yǎng)，籠統(tǒng)地出現(xiàn)在《課標(biāo)（2011年）》中，被視為初中課程實(shí)施過(guò)程中，教師需要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)滲透或者有可能進(jìn)行培養(yǎng)的能力素養(yǎng)．

圖5 “表達(dá)式與方程及代數(shù)”內(nèi)容與能力二維關(guān)聯(lián)圖

（5）函數(shù)．

內(nèi)容主題“函數(shù)”下，與中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容匹配的子主題有“MFU1使用函數(shù)對(duì)關(guān)系進(jìn)行建?！薄癕FU2二次函數(shù)”“MFU4三角函數(shù)”．“MFU3指數(shù)函數(shù)”在初中數(shù)學(xué)中不涉及，將在高中階段學(xué)習(xí)．6個(gè)能力素養(yǎng)與3項(xiàng)子主題形成的18個(gè)“內(nèi)容—能力”二維關(guān)聯(lián)單元賦分均為2（如圖6所示），6個(gè)能力素養(yǎng)課程標(biāo)準(zhǔn)中沒(méi)有關(guān)聯(lián)到具體“函數(shù)”的內(nèi)容．“函數(shù)”在中國(guó)數(shù)學(xué)內(nèi)容中屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，是溝通代數(shù)的橋梁，也是物理、化學(xué)等自然學(xué)科和解決生產(chǎn)生活實(shí)際問(wèn)題時(shí)建模的基本工具，因此是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容．中國(guó)數(shù)學(xué)課程非常重視“函數(shù)”這一核心內(nèi)容，并注重在其中培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、模型思想和應(yīng)用意識(shí)．變革能力與能力發(fā)展2030這類(lèi)跨越學(xué)科的“一般能力素養(yǎng)”被視為初中函數(shù)課程實(shí)施過(guò)程中，教師需要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)滲透或者有可能進(jìn)行培養(yǎng)的能力素養(yǎng)．

圖6 “函數(shù)”內(nèi)容與能力二維關(guān)聯(lián)圖

（6）幾何．

內(nèi)容主題“幾何”中的3項(xiàng)子主題與中國(guó)初中階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容都完全匹配或部分匹配，包括：“MGE1空間關(guān)系（平面幾何、空間幾何的定理和性質(zhì)）”“MGE2平面、空間中的幾何旋轉(zhuǎn)和變換，包括相似變換”“MGE3勾股定理”（如圖7所示）．3項(xiàng)子主題都將行動(dòng)能力作為主要培養(yǎng)目標(biāo)進(jìn)行了整合．幾何內(nèi)容在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、直觀想象能力等方面有著至關(guān)重要的作用．20世紀(jì)初，在“培利—克萊因運(yùn)動(dòng)”中，培利主張：數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)從歐式幾何中解脫出來(lái)，給予實(shí)驗(yàn)幾何充分的重視，更多地利用幾何的直觀性等．中國(guó)自建國(guó)以來(lái)經(jīng)歷了幾次幾何課程改革，都在逐漸增加實(shí)驗(yàn)幾何、直觀幾何的內(nèi)容．《課標(biāo)（2011年）》在“幾何”課程內(nèi)容部分十分強(qiáng)調(diào)直觀、實(shí)驗(yàn)操作以及對(duì)性質(zhì)定理的探索活動(dòng)，因此在“幾何”內(nèi)容主題中明確要求了行動(dòng)能力．變革能力與AAR中的反思能力，在“幾何”課程中沒(méi)有整合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容．

澳大利亞科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)校（Australian Science and Mathematics School，Adelaide，South Australia）展示了一節(jié)課．這節(jié)課主要探討偽科學(xué)論斷并讓學(xué)生考察什么證據(jù)能保證結(jié)論的真實(shí)性．課堂中教師在“圓和三角定理”的猜想和證明中運(yùn)用了一個(gè)數(shù)學(xué)專(zhuān)用模型，從中學(xué)生學(xué)到了考察結(jié)論的真實(shí)性，以及什么證據(jù)才能證明結(jié)論的真實(shí)性．課堂中學(xué)生分組證明他們的結(jié)論．這有助于學(xué)生在一個(gè)真實(shí)情境中發(fā)展協(xié)調(diào)矛盾與困境的能力．這個(gè)教學(xué)案例對(duì)中國(guó)課程在“幾何”內(nèi)容主題中培養(yǎng)“調(diào)和矛盾和困境”能力提供了一些啟示．如，在子主題“MGE1空間關(guān)系（平面幾何、空間幾何的定理和性質(zhì)）”定理的猜想和證明活動(dòng)中整合調(diào)和矛盾和困境的能力．

圖7 “幾何”內(nèi)容與能力二維關(guān)聯(lián)圖

（7）數(shù)學(xué)通識(shí)部分．

內(nèi)容主題“數(shù)學(xué)通識(shí)部分”中，包括4項(xiàng)子主題（如圖8所示）．“MGE1”指會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，“做數(shù)學(xué)家的工作，像數(shù)學(xué)家一樣思考”．“做數(shù)學(xué)家的工作，像數(shù)學(xué)家一樣思考”并非要將學(xué)生培養(yǎng)成數(shù)學(xué)家，而是創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生從事與數(shù)學(xué)家相似的數(shù)學(xué)思考和實(shí)踐活動(dòng)，從中體會(huì)數(shù)學(xué)如何對(duì)現(xiàn)實(shí)生活、現(xiàn)實(shí)世界發(fā)揮作用，數(shù)學(xué)如何與現(xiàn)實(shí)生活、現(xiàn)實(shí)世界產(chǎn)生聯(lián)系．因此與“MGE1”子主題密切關(guān)聯(lián)的是行動(dòng)能力．對(duì)于“MGE2”，根據(jù)研究團(tuán)隊(duì)的解讀，即學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過(guò)程中應(yīng)遵循一定的社會(huì)倫理、道德價(jià)值的規(guī)范，在初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)前言至教學(xué)實(shí)施建議中有許多相關(guān)描述，表述雖不是很顯性地展示了學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過(guò)程中需要遵循的倫理和價(jià)值規(guī)范是什么，但教師可以創(chuàng)造機(jī)會(huì)在教學(xué)活動(dòng)中整合并滲透．例如，區(qū)別樣本與總體的關(guān)系、科學(xué)合理選擇統(tǒng)計(jì)量、客觀準(zhǔn)確解讀數(shù)據(jù)（不造假，不抄襲等）、以及在抽樣調(diào)查和結(jié)果報(bào)告過(guò)程中遵循樣本群體的保護(hù)原則，保護(hù)其隱私、名譽(yù)、減少干預(yù)與破壞等，這些均是教師在教學(xué)中有機(jī)會(huì)進(jìn)行滲透的內(nèi)容．因此，圖中能力賦分2占大多數(shù)，包括3個(gè)變革能力和反思能力．

圖8 “數(shù)學(xué)通識(shí)部分”內(nèi)容與能力二維關(guān)聯(lián)圖

“MGE2”子主題中涉及“能解釋統(tǒng)計(jì)結(jié)果，根據(jù)結(jié)果做出簡(jiǎn)單的判斷和預(yù)測(cè)，并能進(jìn)行交流”旨在發(fā)展學(xué)生的預(yù)期能力和行動(dòng)能力．“MGE3與編程、數(shù)據(jù)科學(xué)、計(jì)算思維相關(guān)的概念”與中國(guó)初中數(shù)學(xué)內(nèi)容對(duì)應(yīng)較少，和編程、數(shù)據(jù)科學(xué)相關(guān)的算法等概念在高中階段開(kāi)始出現(xiàn)．編程、數(shù)據(jù)科學(xué)、計(jì)算思維與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)密切相關(guān)．其中，計(jì)算思維作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一部分，要求學(xué)生綜合使用數(shù)學(xué)思維和計(jì)算思維做出預(yù)測(cè)，為論證提供證據(jù)，并對(duì)不同的問(wèn)題解決方案進(jìn)行檢驗(yàn)和比較．與中國(guó)數(shù)學(xué)課程對(duì)應(yīng)的內(nèi)容是經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析過(guò)程，學(xué)會(huì)根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果進(jìn)行推斷和預(yù)測(cè)，因此將預(yù)期能力和行動(dòng)能力作為主要培養(yǎng)目標(biāo)進(jìn)行了較多整合．“MGE4與全球公民意識(shí)和可持續(xù)發(fā)展教育相關(guān)的概念”在中國(guó)初中階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中不涉及，屬于跨學(xué)科內(nèi)容，主要在人類(lèi)學(xué)（humanities）中學(xué)習(xí)．然而，全球公民意識(shí)和可持續(xù)發(fā)展教育是國(guó)際課程建設(shè)的重要內(nèi)容，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得的知識(shí)和技能有助于學(xué)生探索可持續(xù)性問(wèn)題及其解決方案．如，學(xué)生運(yùn)用空間推理、測(cè)量、估計(jì)、計(jì)算和比較來(lái)衡量當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)系統(tǒng)的健康狀況，并為可持續(xù)性發(fā)展提出建議和措施；對(duì)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和生態(tài)系統(tǒng)隨時(shí)間的變化進(jìn)行衡量、追蹤和量化；借助數(shù)據(jù)分析結(jié)果預(yù)測(cè)未來(lái)變化，進(jìn)而在決策和采取行動(dòng)中做出優(yōu)化選擇等[11]．學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)技能探索和理解全球公民意識(shí)和可持續(xù)發(fā)展相關(guān)的概念時(shí)，學(xué)生需要負(fù)責(zé)任地行事，處理多元化帶來(lái)的緊張、兩難和權(quán)衡．促進(jìn)理解和合作，創(chuàng)造新的增長(zhǎng)點(diǎn)，為環(huán)境可持續(xù)性做出貢獻(xiàn)，從而加速自身變革能力的發(fā)展．

4.2 研究結(jié)論

（1）變革能力與2030能力發(fā)展在中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程中都有所體現(xiàn)，教師有機(jī)會(huì)在教學(xué)活動(dòng)中整合并滲透，但絕大多數(shù)沒(méi)有整合到具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容中．

OECD定義的6種能力素養(yǎng)在6類(lèi)23項(xiàng)內(nèi)容主題中都有不同程度地體現(xiàn)，形成的138個(gè)“內(nèi)容—能力”二維關(guān)聯(lián)單元賦分等級(jí)包括2、3、4，其中賦分2的關(guān)聯(lián)單元占據(jù)大部分比例，說(shuō)明大部分變革能力與2030能力發(fā)展目標(biāo)在初中數(shù)學(xué)課程有所涉及，但課程標(biāo)準(zhǔn)僅在前言、課程目標(biāo)、課程實(shí)施建議和附錄中進(jìn)行了籠統(tǒng)的能力素養(yǎng)要求，沒(méi)有關(guān)聯(lián)具體數(shù)學(xué)內(nèi)容，是對(duì)教學(xué)活動(dòng)的建議．或者課程標(biāo)準(zhǔn)中沒(méi)有提及，僅在課程標(biāo)準(zhǔn)解讀、教材、教參中提到，教師需要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)在教學(xué)活動(dòng)中整合并滲透．

（2）“行動(dòng)能力”作為初中數(shù)學(xué)課程主要培養(yǎng)目標(biāo)受到較多關(guān)注，其次是“預(yù)期能力”，3種變革能力和反思能力沒(méi)有整合到具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容中．

在6類(lèi)23項(xiàng)內(nèi)容主題中，作為主要目標(biāo)培養(yǎng)的能力素養(yǎng)是“行動(dòng)能力”，占比21.7%，預(yù)期能力次之，占比4.3%．說(shuō)明目前中國(guó)數(shù)學(xué)課程較重視學(xué)生的行動(dòng)能力．創(chuàng)造新價(jià)值的能力、承擔(dān)責(zé)任的能力、調(diào)和矛盾和困境的能力等3種變革能力和反思能力沒(méi)有整合到具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容主題中，課程標(biāo)準(zhǔn)僅在前言、課程目標(biāo)、課程實(shí)施建議和附錄中進(jìn)行了籠統(tǒng)的能力素養(yǎng)要求．進(jìn)一步通過(guò)能力與內(nèi)容關(guān)聯(lián)分析發(fā)現(xiàn)：與行動(dòng)能力整合較多的內(nèi)容主題依次為“幾何”“數(shù)學(xué)通識(shí)部分”“數(shù)據(jù)和概率”．與預(yù)期能力整合較多的一級(jí)內(nèi)容主題是“數(shù)學(xué)通識(shí)部分”和“數(shù)據(jù)和概率”．“數(shù)學(xué)通識(shí)部分”下的子主題“與全球公民意識(shí)和可持續(xù)發(fā)展教育相關(guān)的概念”這類(lèi)跨學(xué)科內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有助于加速學(xué)生變革能力的發(fā)展，在中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程中不涉及．

5 啟示及建議

5.1 中國(guó)數(shù)學(xué)課程需進(jìn)一步關(guān)注變革能力與2030能力發(fā)展

變革能力與2030能力發(fā)展是幫助學(xué)生應(yīng)對(duì)未來(lái)各種不確定和挑戰(zhàn)的能力與素養(yǎng)．中國(guó)數(shù)學(xué)課程已然意識(shí)到變革能力與2030能力發(fā)展的重要性，在課程標(biāo)準(zhǔn)中屢次提到“創(chuàng)新意識(shí)”，并將創(chuàng)新意識(shí)作為課程標(biāo)準(zhǔn)的十大核心詞之一，其它5個(gè)能力素養(yǎng)也在課程標(biāo)準(zhǔn)中的前言、課程目標(biāo)、課程實(shí)施建議、附錄和課程內(nèi)容部分，或課程標(biāo)準(zhǔn)解讀、教材、教參中被不同程度地提到．面向2030新的時(shí)代背景，未來(lái)中國(guó)設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)以能力與素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)課程時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步關(guān)注新興跨領(lǐng)域素養(yǎng)，重視培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)性技能．變革能力是復(fù)雜的，為促進(jìn)這些能力的形成和發(fā)展，中國(guó)數(shù)學(xué)課程需要進(jìn)一步結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，給學(xué)生提供真實(shí)情境中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，注重知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系[12]．

5.2 堅(jiān)持能力目標(biāo)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整合

數(shù)學(xué)核心內(nèi)容在學(xué)生能力與素養(yǎng)的培養(yǎng)以及世界觀的形成上起著無(wú)法取代的作用．中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)科CCM以國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)為參考、以證據(jù)為基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和面向2030學(xué)習(xí)框架能力與素養(yǎng)進(jìn)行了二維關(guān)聯(lián)分析．通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，中國(guó)應(yīng)堅(jiān)持將變革能力與2030能力發(fā)展與課程內(nèi)容實(shí)施整合，具體體現(xiàn)為：進(jìn)一步探索開(kāi)發(fā)適合學(xué)生變革能力與2030能力發(fā)展的數(shù)學(xué)內(nèi)容，如將“數(shù)學(xué)通識(shí)部分”的子主題“與全球公民意識(shí)和可持續(xù)發(fā)展教育相關(guān)的概念”這類(lèi)跨學(xué)科內(nèi)容整合在數(shù)學(xué)課程中，并注重變革能力在其中的融合．與時(shí)俱進(jìn)地?cái)U(kuò)展更新時(shí)代性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，以知識(shí)主題為引領(lǐng)，全面落實(shí)“四基”．同時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步將變革能力與課程內(nèi)容深度融合．例如，在“幾何”二級(jí)內(nèi)容主題“空間關(guān)系（平面幾何、空間幾何的定理和性質(zhì)）”中進(jìn)一步整合變革能力．3個(gè)變革能力和反思能力在中國(guó)《課標(biāo)（2011年）》中都沒(méi)有關(guān)聯(lián)到具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容．在課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中說(shuō)明具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中需要發(fā)展的能力與素養(yǎng)，有助于指導(dǎo)教師找到更多的機(jī)會(huì)以能力與素養(yǎng)為導(dǎo)向?qū)嵤┙虒W(xué)，并基于顯性的、可觀測(cè)的能力與素養(yǎng)進(jìn)行評(píng)價(jià)，同時(shí)確保內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的主體地位，發(fā)揮其對(duì)教學(xué)實(shí)施和評(píng)價(jià)的具體指導(dǎo)作用．如澳大利亞數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在課程文本表述時(shí)，在數(shù)學(xué)內(nèi)容中把需要的一般能力用圖標(biāo)識(shí)出來(lái)，并有相應(yīng)的注釋以及對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科的說(shuō)明，教師會(huì)找到更多的機(jī)會(huì)以能力與素養(yǎng)為導(dǎo)向?qū)嵤┙虒W(xué)和評(píng)價(jià)．

5.3 在一般能力與素養(yǎng)框架下發(fā)展數(shù)學(xué)能力

縱觀“教育2030：未來(lái)的教育與技能2030”項(xiàng)目整體，OECD學(xué)習(xí)框架2030闡述了學(xué)生面對(duì)充滿(mǎn)變化且不穩(wěn)定的新未來(lái)，攜手創(chuàng)造“幸福2030”所需的關(guān)鍵能力及形成過(guò)程，為當(dāng)今中國(guó)以能力與素養(yǎng)為導(dǎo)向的各學(xué)科課程設(shè)計(jì)提供了一個(gè)頂層框架．以國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)為參照，在統(tǒng)一的課程能力與素養(yǎng)發(fā)展框架下設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)學(xué)科課程目標(biāo)與能力體系，有利于進(jìn)一步發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科能力與素養(yǎng)的內(nèi)涵和價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的跨學(xué)科能力，使學(xué)生成長(zhǎng)為“全面發(fā)展的人”[13-29]．中國(guó)應(yīng)立足本土，同時(shí)緊跟國(guó)際，在OECD學(xué)習(xí)框架2030下對(duì)照看待中國(guó)的數(shù)學(xué)課程，尋找差距、彌補(bǔ)不足，做到揚(yáng)長(zhǎng)避短．

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[26] 黃興豐，黃榮金．預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡轉(zhuǎn)化為課堂實(shí)踐的課例研究——以相等分?jǐn)?shù)為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（3）：25-31．

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Transformative Competencies and Competency Development for 2030 in Junior High School Mathematics Curriculum in China——Curriculum Content Mapping Analysis Based on “OECD Learning Framework 2030”

SUN Xue-min1, TANG Hai-jun1, 2, CAO Yi-ming3

(1. School of Mathematical Science, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550025, China;2. College of Mathematics, Sichuan University of Arts and Science, Sichuan Dazhou 635000, China;3. School of Mathematical Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

The OECD learning framework 2030 defines three kinds of “Transformative Competencies” that students must have in order to help them cope with the uncertainties of the future world and create a better future. “Competency Development for 2030” is proposed at the same time. This paper is based on the latest research on OECD Education 2030 Project: curriculum content mapping analysis project, which mainly focuses on the development of transformative competencies and competency development for 2030 in mathematics. In this paper, the author makes a deep analysis of the transformative competencies and competency development for 2030 in Chinese mathematics curriculum from the two perspectives of overall distribution and content correlation by using the content analysis, and some enlightenment and suggestions are obtained.

OECD learning framework 2030; mathematics curriculum content mapping; junior high school mathematics curriculum; transformative competencies; competency development for 2030

G632.3

A

1004–9894（2022）06–0045–07

孫學(xué)敏，唐海軍，曹一鳴．中國(guó)初中數(shù)學(xué)課程中的變革能力與2030能力發(fā)展——基于OECD“學(xué)習(xí)框架2030”的課程圖譜分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（6）：45-51．

2022–07–22

教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心、課程教材研究所——課程圖譜分析項(xiàng)目；2021年度四川省高校人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地四川教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展研究中心——基于學(xué)生作業(yè)的實(shí)習(xí)教師教學(xué)反思與教學(xué)重建研究（PDTR2021-08）

孫學(xué)敏（1987—），女，內(nèi)蒙古烏蘭察布人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．曹一鳴為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：張楠、陳漢君]