錢鑫宇

（淮陰師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 淮安 223001）

0 引言

數(shù)形結(jié)合思維在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是每一位中學(xué)生都應(yīng)當(dāng)具有的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)思維。對圖形的準(zhǔn)確掌握不僅可以形象地將數(shù)學(xué)問題的解題思路反映出來，也能夠使學(xué)生明確數(shù)學(xué)題目中給出的數(shù)學(xué)信息與解題答案之間的關(guān)聯(lián)，能夠幫助學(xué)生找出隱含條件，建立更合理的解題過程，有助于提升數(shù)學(xué)解題思維的整體性來拓展思路，解決更多數(shù)學(xué)問題，這也是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須具備的邏輯思維能力。

1 作圖解題技巧在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用優(yōu)勢

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，幾何已經(jīng)成為了重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，通過學(xué)習(xí)幾何能夠培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和空間發(fā)展的觀念，也能夠提升學(xué)生的邏輯思維能力。在數(shù)學(xué)解題過程當(dāng)中，學(xué)習(xí)使用作圖的技巧有助于對幾何知識的應(yīng)用能力提高，也有助于學(xué)生解題能力的綜合提高，對于部分較為抽象的習(xí)題使用幾何作圖的解題方法，能夠使題目中的數(shù)學(xué)信息被拆解開來，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)題目的理解，也能夠使學(xué)生在面對數(shù)學(xué)習(xí)題時，更具有靈活思維和創(chuàng)新解題觀點(diǎn)。

作圖能力反映的是學(xué)生的基本應(yīng)用技能和推理能力，也反映出了學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用作圖技巧來解答數(shù)學(xué)問題，一方面許多抽象的函數(shù)問題都能夠通過作圖來直觀感受題目中未知數(shù)的變化；另一方面符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合的理念，將數(shù)學(xué)與圖形之間的聯(lián)系不斷加深能夠使學(xué)生更具有數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1]。

數(shù)形結(jié)合法也是研究數(shù)學(xué)問題的基本方法之一，對于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有非常大的作用，同時也能夠?yàn)閷W(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供更豐富的解題思路，在其他理科學(xué)科的學(xué)習(xí)中也能起到輔助作用。

2 中學(xué)數(shù)學(xué)作圖解題技巧運(yùn)用方法分析

2.1 明確作圖類別

在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中已經(jīng)接觸到了各種不同類型的幾何圖像作圖方法，針對不同的數(shù)學(xué)問題也需要使用不同的圖像來解析數(shù)學(xué)信息。從整體來看應(yīng)當(dāng)先對圖形的類別進(jìn)行判斷，根據(jù)題目給出的數(shù)學(xué)信息和最終需要解答的問題來綜合判斷使用哪種圖形，具體可以分為輔助圖與結(jié)果圖，輔助圖中并不能直接呈現(xiàn)答案，而結(jié)果圖則是能夠清晰地展示出答案的一部分或是最終結(jié)果。通常來講，輔助圖適用于選擇題與填空題，能夠有效縮短做題時間，而面對幾何與函數(shù)問題時則主要以結(jié)果圖為主。在解題過程當(dāng)中根據(jù)圖形的準(zhǔn)確程度可以將其劃分為準(zhǔn)確圖與示意圖，根據(jù)題目中的抽象數(shù)學(xué)信息來繪制的圖像是示意圖，利用專業(yè)的畫圖工具如三角板、圓規(guī)等繪制出的準(zhǔn)確圖形則是準(zhǔn)確圖。示意圖能夠幫助學(xué)生構(gòu)建初步的數(shù)形聯(lián)系，而準(zhǔn)確圖中則往往能直接取得問題的答案。除此之外還有一種圖形分類方法，將通常情況下使用的圖像稱為一般圖，而對于特殊題目中使用的圖像稱為特例圖。但無論使用哪一種圖像都應(yīng)當(dāng)根據(jù)題目中的數(shù)學(xué)信息和涉及的知識點(diǎn)選擇繪圖的具體操作，中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容已經(jīng)有了很大的擴(kuò)展，涉及的知識體系更加龐大，學(xué)生在解題過程中應(yīng)當(dāng)先對題目有初步的了解，同時對各種圖像類型有詳細(xì)的了解，才能在解題過程中精確選擇作圖的類別，以此來找到數(shù)學(xué)問題的答案。

2.2 樹立起作圖意識

要是用作圖解題技巧來應(yīng)對數(shù)學(xué)問題，首先應(yīng)當(dāng)具有完備的作圖意識，面對任何圖形都能聯(lián)想到有關(guān)的數(shù)學(xué)知識原理并掌握題目中的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)來精準(zhǔn)的將抽象的數(shù)學(xué)問題具象化，將單一的數(shù)字簡化成直觀的圖像，利用作圖意識來對題目進(jìn)行初步的拆解。學(xué)生要通過將每一個有圖像關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識爛熟于心來鍛煉出看題作圖的思維[2]。在遇到數(shù)學(xué)題目時，能夠率先使用數(shù)形結(jié)合的思想，對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析，從而使抽象的問題具象化，將復(fù)雜的知識簡潔化。在中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題中有的習(xí)題必須使用作圖方法來解決，例如幾何問題或是函數(shù)問題，題目中會明確指出需要作圖，但有的題目盡管沒有提及圖形，然而想要獲取正確答案也需要作圖，無論是哪種題目，學(xué)生只要具有了作圖思維都可以妥善應(yīng)對，在完成題目的過程當(dāng)中，通過作圖鍛煉自己的幾何應(yīng)用能力，通過作圖解題來培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維，將不同章節(jié)的知識整合成數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)。在數(shù)學(xué)習(xí)題解答過程當(dāng)中圖形繪制至關(guān)重要，能夠有效提升學(xué)生的解題能力，學(xué)生通過不斷提升自身的作圖意識，也能夠在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到事半功倍的效果。

2.3 強(qiáng)化自身的作圖能力

對題目需要作圖的類型進(jìn)行判斷以及培養(yǎng)作圖意識都是為提高作圖能力而服務(wù)的，這三者之間存在必然聯(lián)系，因此學(xué)生要想最終綜合提高作圖能力需要從不同方面入手。具體來講，分為以下四點(diǎn)措施。

2.3.1 學(xué)會精準(zhǔn)理解題目

首先學(xué)生應(yīng)當(dāng)正確理解題目，對題目中的隱含條件和部分條件，通過作圖的方式來準(zhǔn)確體現(xiàn)，在作圖過程當(dāng)中不要忽略題目中給出的全部數(shù)學(xué)信息。以以下例題為例，在一個由邊長為一的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，將每個小正方形的頂點(diǎn)作為格點(diǎn)，在格點(diǎn)上描出點(diǎn)A和點(diǎn)B，連接線段AB并在AB上畫一個點(diǎn)P，使AP：BP=2：1。在這道題目中需要注意的是，該網(wǎng)格圖由正方形組成，且每個正方形的邊長都為一，那么兩個格點(diǎn)之間的距離是相等的。因此在繪制圖像時要對題目中的已知條件進(jìn)行分析，從而達(dá)到精準(zhǔn)作圖的目的。學(xué)生在讀題過后，通過想象與聯(lián)想的方式理解AP與BP之間的比值為2比1的意思就是p點(diǎn)在線段AB的中點(diǎn)上，那么這道題目自然迎刃而解。除此之外，為了進(jìn)一步提高答案的準(zhǔn)確性，學(xué)生也應(yīng)當(dāng)重視圖形繪制的準(zhǔn)確程度，在閱讀題目之后，可以先將題目中的文字信息及時轉(zhuǎn)化成圖形。若題目是選擇題，則可以在演算紙上進(jìn)行圖像繪制，并直接給出答案，但若解答的是簡答題，則需要確保答題紙上繪制的圖像完全準(zhǔn)確，并結(jié)合圖像寫出正確的解題思路，重視圖像與公式使用之間的聯(lián)系，重視圖像與最終答案之間的關(guān)聯(lián)[3]。

2.3.2 提高自身的作圖熟練度

對于中學(xué)生而言，隨著幾何知識學(xué)習(xí)不斷提高深度，作圖能力的提升成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，通過積極培養(yǎng)畫圖能力來提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也是重要手段之一。在當(dāng)前新課改的發(fā)展背景之下，學(xué)生自身的畫圖能力不僅是教育教學(xué)的重點(diǎn)，也是解題技巧提升的關(guān)鍵所在，學(xué)生應(yīng)當(dāng)在日常學(xué)習(xí)中不斷提升作圖的熟練度，通過多做題、多畫圖、多研究例題等方式來不斷提高自身的作圖熟練程度，實(shí)現(xiàn)思想與畫圖的整合，提升幾何思維能力。在面對數(shù)學(xué)題目時，應(yīng)當(dāng)積極選擇使用作圖為主的解題方式，對題目進(jìn)行解答。

例如在以下例題中，題目信息設(shè)置為某鎮(zhèn)需要建設(shè)一個車站，居民的主要聚集地點(diǎn)設(shè)置為O、P、Q，要使居民聚集點(diǎn)到車站之間的距離相等應(yīng)當(dāng)如何確立車站的位置。

很明顯這是一道幾何問題，需要學(xué)生通過繪制圖形來進(jìn)行解答。此題中需要使用到的圖像類型是準(zhǔn)確圖，首先需要將O、P、Q三個點(diǎn)相連接，然后再在其中兩條線如OP和OQ上做出中垂線，根據(jù)中垂線定理的逆定理推算出中垂線的交點(diǎn)是最終車站修建的位置。

除此之外在一次函數(shù)習(xí)題中也可以通過畫圖得到最直觀的答案，學(xué)生利用畫圖方式解決習(xí)題也能夠節(jié)省答題時間。但在函數(shù)題目中，通過做題法來解答問題需要學(xué)生對基本理論公式和概念有熟練地掌握才能使作圖的準(zhǔn)確率提升。

2.3.3 積極發(fā)展自身的圖感

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中圖感度指的是學(xué)生對圖形的形狀、位置、判斷的準(zhǔn)確度，這能夠幫助學(xué)生在看到習(xí)題時通過簡單的分析來迅速確認(rèn)繪制圖像的類型以及圖像上要使用到的有關(guān)信息，使學(xué)生能夠更快獲得準(zhǔn)確答案。例如常見的一次函數(shù)選擇題中往往會給出一個數(shù)學(xué)場景，進(jìn)而通過一段描述給出四個函數(shù)圖像，學(xué)生通過分析來選擇哪一個函數(shù)圖像符合題目中描述的數(shù)學(xué)場景[4]。在解答這一類習(xí)題的過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)首先明確題目中具體需要使用到哪一部分的一次函數(shù)知識點(diǎn)。在解題時往往不需要計算出準(zhǔn)確的數(shù)字，只需要知道使用到哪種形狀的函數(shù)圖像即可。通過鍛煉圖感度能夠使學(xué)生在這一過程中對函數(shù)圖像做出更準(zhǔn)確的分析，也能夠使學(xué)生明白明確題目中給出的數(shù)學(xué)信息可以繪制出什么樣的函數(shù)圖像，從而使學(xué)生獲得更準(zhǔn)確的答案。

2.3.4 重視對作圖操作的綜合思考

對于許多數(shù)學(xué)問題而言作圖是解題的有效解題方法，通過采取不同的作圖方式也能夠取得不同的解題效果。學(xué)生應(yīng)當(dāng)對數(shù)學(xué)題中給出的條件綜合思考，篩選出其中的有用條件和干擾條件，發(fā)掘其中的隱含條件，并結(jié)合所學(xué)知識利用好與之有關(guān)聯(lián)的知識內(nèi)容，保證作圖的合理性與完整程度。對于同一道題目而言，采取不同的作圖方式可能會出現(xiàn)不同的答案，這就導(dǎo)致解題的準(zhǔn)確性存在一定的風(fēng)險。為了使作圖解題的準(zhǔn)確性進(jìn)一步提升，學(xué)生應(yīng)當(dāng)先確定最合理的解圖類型，在圖像中體現(xiàn)題目中的有用數(shù)學(xué)條件，實(shí)現(xiàn)數(shù)字與圖像的密切結(jié)合。在幾何與函數(shù)題當(dāng)中對于圖形繪制的要求更高，這時則需要先將這類問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學(xué)問題，再使用作圖的解題技巧加以解答。

2.4 有效運(yùn)用各類作圖解題的方法

2.4.1 跟隨教師深入了解作圖解題流程

學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)過程當(dāng)中要重點(diǎn)關(guān)注教師對典型數(shù)學(xué)例題的示范性講解，要仔細(xì)觀察教師的解題流程和作圖技巧，通過長時間的課堂積累來快速掌握解決問題的主要方法，這也能夠使學(xué)生深刻認(rèn)識到作圖解題的價值所在。在對每一種例題類型深入學(xué)習(xí)過后，學(xué)生還應(yīng)當(dāng)在課后重視同類型習(xí)題的練習(xí)，通過不斷做題來鍛煉出完善的作圖解題思維。當(dāng)學(xué)生對例題理解有所不足時，可以適當(dāng)采用不同顏色繪制不同線條的方式作為解題輔助，或是向教師與其他數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的同學(xué)求助的方式來加深對數(shù)學(xué)題目和作圖解題技巧的理解。

2.4.2 總結(jié)成套的作圖解題方案

對于數(shù)學(xué)成績相對較差的學(xué)生，他們往往是由于基礎(chǔ)知識掌握能力不足，在課堂學(xué)習(xí)與習(xí)題練習(xí)中遇到了許多基礎(chǔ)性的困難。這樣的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程當(dāng)中應(yīng)當(dāng)由淺入深，先對簡單的典型例題進(jìn)行解題過程的探索。通過對例題的規(guī)范答案進(jìn)行深入研究，在腦海中生成完善的解題方法,自行總結(jié)出一套較為完善的作圖解題方案。在對簡單例題有足夠的了解之后，再對較難的問題不斷練習(xí)，尋找題目當(dāng)中存在的隱藏條件，不斷剖析題目中給出的每一個數(shù)學(xué)信息來提高自身的解題能力[5]。在日常習(xí)題練習(xí)中，可以通過對每一個可以使用作圖解決的知識點(diǎn)進(jìn)行作圖練習(xí)的方式，培養(yǎng)起自身的數(shù)形結(jié)合思維和作圖解題邏輯，以此來不斷提高作圖水平。除此之外學(xué)生也可以采用習(xí)題分類的方式，對不同的習(xí)題進(jìn)行圖像類別劃分，以此來形成一套更加具有綜合性的解題方案，使解題技巧在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到個性化應(yīng)用。

2.4.3 養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣

審題是解決數(shù)學(xué)的關(guān)鍵過程，也是尋找答案的過程,尋找解題思路的過程，良好的審題習(xí)慣是解決問題的先決條件，在看到一道數(shù)學(xué)題時，學(xué)生應(yīng)當(dāng)首先思考這道習(xí)題是否需要通過畫圖方式來解決，如果不畫圖應(yīng)當(dāng)利用哪些知識來解答問題，如果畫圖那么需要選擇哪一種圖形，選擇好圖形之后再將題目中可以利用在作圖中的有效信息提取出來，通過這樣抽絲剝繭的解題流程能夠不斷提高自身探索能力。尤其是在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時，許多題目不借助圖形將會難以找到函數(shù)的交點(diǎn)，這時學(xué)生通過審題能夠掌握更多的條件，確定在圖像繪制中需要使用到哪些數(shù)學(xué)信息，以此來繪制出完整的圖形，對一次函數(shù)問題進(jìn)行解答。在解決最大值最小值問題時，許多學(xué)生由于對題目理解不足感到解題困難，這時學(xué)生應(yīng)當(dāng)靜下心來重新審題，對已知條件和未知條件進(jìn)行詳細(xì)的分析。養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣對數(shù)學(xué)習(xí)題充分掌握，既能提高解題效率又能提高驗(yàn)算的質(zhì)量。

2.4.4 科學(xué)處理不確定的內(nèi)容

通常來講沒有給出圖像的幾何問題不僅僅是對幾何知識點(diǎn)的考查，也是對學(xué)生幾何思維以及數(shù)學(xué)思維的考察，解決這樣的問題也是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)之一。學(xué)生要在自主探究過程當(dāng)中隨著圖像完成度的提升，不斷對數(shù)學(xué)信息進(jìn)行分析，先利用已知條件確定出一部分圖，對于題目中不確定的部分可以采取不同的幾何圖形加以替代，包括射線與直線這樣的可調(diào)控圖形，用代替線段的方式讓幾何圖形更具有動態(tài)分析的可能。以此給未知部分留有余地，達(dá)到對數(shù)學(xué)習(xí)題中的不確定部分科學(xué)調(diào)控的目的。

3 結(jié)論

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)不斷提升自身的數(shù)形結(jié)合思維，提升利用作圖技巧解決數(shù)學(xué)習(xí)題的能力，這不僅能夠節(jié)省解題時間，也能夠使學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力得到加強(qiáng)。通過不斷練習(xí)習(xí)題、分析例題來對數(shù)學(xué)公式與概念綜合把握，提升數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，借助作圖達(dá)到舉一反三學(xué)以致用的目的。