◎朱云云

(常州市濱江中學，江蘇 常州 213034)

引言

GeoGebra是一種跨平臺的數(shù)學軟件，能夠為幾何、代數(shù)、統(tǒng)計等方面的教學提供重要支持，從而提升教學的質(zhì)量.初中學生正處在思維快速提升的年齡階段，而數(shù)學是一門邏輯性很強的學科，探究性的教學更有助于學生思維的健全發(fā)展.但是在以往的初中數(shù)學教學中，教師卻過于重視知識的填充，忽視了學生心智上的發(fā)展，導致數(shù)學教學的價值沒有充分體現(xiàn)出來[1].對于上述問題，通過在教學中合理地利用GeoGebra，教師可以更加簡便地將抽象的數(shù)學知識形象化、具體化，從而有效提升學生對數(shù)學的學習興趣，促進學生對數(shù)學知識的深度探究，提高學生的思維水平.因此在初中數(shù)學教學中，教師要結(jié)合學生的實際學習需要，合理地開發(fā)GeoGebra的功能，優(yōu)化教學環(huán)境，逐步提高學生的數(shù)學學習素養(yǎng)[2].

一、GeoGebra輔助初中數(shù)學教學的優(yōu)勢

首先，GeoGebra是一款開源的軟件，能讓用戶獲得更好的使用體驗.不僅教師可以利用GeoGebra進行備課并開展課堂教學，而且學生可以在課余的時間對其進行操作，開展自主練習和探究，從而讓自主學習能力獲得提升.并且GeoGebra官方網(wǎng)站提供了豐富的素材，包括數(shù)學游戲素材、圖形素材等，有利于提升教學的趣味性[3].

其次，GeoGebra有多種版本，除了在課堂上可以借助電腦使用GeoGebra軟件之外，還可以使用手機、平板下載和使用這一軟件，這為學生的自主學習提供了更加多元化的選擇.學生可以根據(jù)自己的環(huán)境及需要，靈活地選擇GeoGebra的各種版本，開展個性化的學習.

接著，GeoGebra有助于學生數(shù)形結(jié)合思想的形成和發(fā)展.初中學生正處在數(shù)學學習的關鍵時期，而數(shù)形結(jié)合是學生理解數(shù)學抽象本質(zhì)的一個重要數(shù)學思想.GeoGebra軟件為學生提供了很多可以用來進行數(shù)形轉(zhuǎn)化的工具，為學生探究數(shù)形結(jié)合思想提供了很大的便利.

最后，GeoGebra有助于提升課堂教學的效率.一，在初中數(shù)學教學中經(jīng)常會遇到畫圖的問題，如果花費較多的時間作圖，不僅會浪費課堂時間，而且畫出來的圖像經(jīng)常不標準，這會影響學生的學習效果，但是教師可以使用GeoGebra提前制作好課堂上需要用到的圖像，快捷展示出來，從而提升課堂的效率.二，數(shù)學教學中有很多比較抽象的知識，這給學生的理解帶來了困難，但是通過GeoGebra的使用，則可以將抽象的知識轉(zhuǎn)化為學生容易理解的直觀內(nèi)容，由此增進學生的理解.三，GeoGebra可以成為學生開展自主探究的平臺，有助于提高學生的數(shù)學建模能力.綜上，GeoGebra可以有效地彌補傳統(tǒng)課堂教學的各種不足，從而提升課堂教學的效率.

二、GeoGebra在初中數(shù)學教學中的應用路徑

1.運用GeoGebra進行教學準備

備課對教師來說十分重要，但在以往的備課過程中，教師大多是結(jié)合自己的經(jīng)驗及對學情的了解，制作出簡單的課件，導致備課往往缺乏針對性，無法滿足學生在課堂上的學習需要.在新課程改革的背景下，教師要在備課的過程中對學生的需要進行充分的分析，并且結(jié)合學生的需要來開發(fā)有助于學生深度學習的教學資源，進而為學生有效的課堂學習做好保障.因此在備課的過程中，教師可以根據(jù)需要使用GeoGebra軟件，借助GeoGebra上的資源和功能來準備更有助于學生學習的課堂.

比如，在教學“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”時，教師可以通過對教學內(nèi)容、學情及教學目標的分析來利用GeoGebra完成備課的活動.本單元內(nèi)容是九年級的知識，是對二次函數(shù)概念的深度延伸，也是學生學會利用二次函數(shù)的知識解決問題的基礎.這一單元對三種形式的二次函數(shù)圖像和性質(zhì)進行了整合，而GeoGebra的使用可以幫助學生更好地體會不同形式二次函數(shù)之間的關系，同時鍛煉學生的數(shù)形結(jié)合思想及分類討論能力.在學習這一單元的知識之前，學生已經(jīng)學習了如何研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，能按照一般的步驟來繪制函數(shù)的相關圖像，知道要從哪些角度總結(jié)函數(shù)圖像的性質(zhì).但是本單元所學習的二次函數(shù)圖像對學生來講仍然比較困難，尤其需要學生將三種形式的二次函數(shù)圖像的差異進行對比，這給學生的歸納總結(jié)帶來了阻礙.結(jié)合上述的教學內(nèi)容和學情分析以及對GeoGebra作用的整理，可以將這一單元的教學目標設計為：可以用一般的方法畫出三種形式的二次函數(shù)圖像，理解不同系數(shù)的變化給二次函數(shù)帶來的影響，掌握三種形式下二次函數(shù)的性質(zhì)；有序觀察GeoGebra呈現(xiàn)的二次函數(shù)圖像，增強數(shù)形結(jié)合意識，提升幾何直觀素養(yǎng)；利用GeoGebra探索二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，提升數(shù)學欣賞能力.而根據(jù)這一目標，教師可以先使用GeoGebra軟件制作出y=ax2的函數(shù)圖像；再結(jié)合函數(shù)圖像進行左右平移，得到另一種形式的二次函數(shù)圖像；之后再進行上下平移，得到第三種圖像.通過觀察這一過程中函數(shù)解析式和函數(shù)圖像發(fā)生的變化，幫助學生總結(jié)出二次函數(shù)的性質(zhì).

總之，教師在準備教學的過程中要充分地發(fā)揮GeoGebra的作用，將其融入備課中，從而簡化教師的備課流程，提升教師備課的效率，增強教師備課的能力.

2.運用GeoGebra進行教學傳遞

在課堂教學的過程中，教師可以使用GeoGebra向?qū)W生傳遞一些比較復雜的內(nèi)容，從而幫助學生突破平面作圖的限制，使他們對數(shù)學知識形成更加深刻的理解.GeoGebra是一款十分優(yōu)秀的教學軟件，尤其在畫圖方面，它可以即時呈現(xiàn)教學所需的各種圖像，從而給了教師和學生更多的時間來進行語言和思維上的交流，便于學生建立邏輯清晰的知識鏈條.因此在實際的教學中，除了在上課之前使用GeoGebra來完成備課，教師還可以根據(jù)學生的課堂學習需要，即時使用GeoGebra進行知識傳遞，打造靈活多變的數(shù)學課堂[4].

比如，在教學“一次函數(shù)的圖像”時，教師可以利用GeoGebra豐富學生的課堂學習經(jīng)歷.教師可以在課堂上利用課件或者電子白板向?qū)W生展示與一次函數(shù)有關的實際問題，比如“科學家測量得到，當海拔每上升1千米的時候，溫度就會下降6攝氏度，那么溫度和海拔之間的關系可以怎么表示？”.學生在之前已經(jīng)學習了一次函數(shù)的概念，掌握了一次函數(shù)的建模方法，因此學生可以很快地將這個問題中的數(shù)量表示出來，寫出y=-6x的式子.在學生寫出函數(shù)式后，教師再使用信息技術(shù)向?qū)W生展示更多的相關問題，進一步激活學生對一次函數(shù)的印象.接下來，教師再引導學生借助GeoGebra探究一次函數(shù)的圖像，首先讓學生在紙上畫出y=-6x和y=-6x+5的圖像，接著教師在GeoGebra上輸入相關的數(shù)據(jù)，快速呈現(xiàn)兩個函數(shù)的圖像，讓學生觀察軟件上的圖像和自己的圖像之間是否存在差別，同時使用GeoGebra上的播放功能來展示這兩個圖像的形成過程，強化學生對畫圖步驟的理解.之后，教師再引導學生對兩個圖像之間的差異進行分析，讓學生對y=kx+b函數(shù)中b的變化給函數(shù)圖像帶來的影響進行探索，之后再向?qū)W生展示y=6x的函數(shù)圖像，讓學生再次進行對比，從而總結(jié)出k的變化給函數(shù)圖像帶來的影響.

總之，GeoGebra可以為教師的信息傳遞提供很多便利，因此在實際的教學中，教師要根據(jù)課堂教學情況，靈活地開發(fā)GeoGebra，幫助學生完善學習活動.

3.運用GeoGebra引導自主探究

數(shù)學是對學生思維的教育，因此在初中數(shù)學教學中，教師要使用各種方法來促進學生的數(shù)學自主探究，讓學生學會靈活地運用已有的知識經(jīng)驗構(gòu)建新的知識，從而提升學生的數(shù)學學習能力.而GeoGebra有十分便利的功能，可以為學生的數(shù)學探究提供重要的支持，因此教師可以將GeoGebra作為學生自主探究的平臺，幫助學生開展深度數(shù)學學習[5].

比如，在教學“等腰三角形的軸對稱性”時，教師可以將學生的實踐操作和GeoGebra的功能聯(lián)系在一起，幫助學生進一步探索等腰三角形的性質(zhì).第一，教師在GeoGebra上向?qū)W生展示等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形這三種圖形(注意不要設置網(wǎng)格，從而讓學生對這三種等腰三角形形成更加直觀的印象).第二，教師引導學生回憶軸對稱圖形的概念等與本節(jié)課有關的知識，進一步激活學生的學習狀態(tài).第三，教師在GeoGebra上標出其中一個三角形的頂點、腰和底邊等關鍵要素，并且讓學生說一說另外兩個三角形的相關要素.第四，教師讓學生展開自主學習活動，讓學生想一想可以怎么做出一個等腰三角形，在學生做好后，讓學生通過折一折、比一比等方式初步探索等腰三角形的性質(zhì).第五，教師在GeoGebra上添加網(wǎng)格，并且適當調(diào)整做好的三角形，過其中一個三角形的頂點做一條角平分線，之后再做出這個三角形底邊的垂線，讓學生通過GeoGebra上顯示的坐標發(fā)現(xiàn)兩條線是重合的，從而讓學生進一步了解等腰三角形的對稱軸在哪里、如何畫.第六，在教師完成演示后，可以再在GeoGebra上畫出一個隨機的等腰三角形，邀請學生上臺對等腰三角形的軸對稱性進行講解，從而讓學生進一步完善自己的認識.

這樣，GeoGebra可以為學生的數(shù)學探究提供重要的支撐，幫助學生更好地探索數(shù)學知識的形成過程，從而提高學生的數(shù)學自主學習能力.

4.運用GeoGebra發(fā)展數(shù)學思想

GeoGebra可以為數(shù)學思想教學的落實提供幫助.初中學生正處在數(shù)學學習的關鍵時期，讓學生掌握各種數(shù)學思想的內(nèi)涵及使用方法，可以使學生的數(shù)學思維得到啟發(fā).因此教師要結(jié)合教學內(nèi)容中蘊含的數(shù)學思想，以GeoGebra為平臺來引導學生展開探索，幫助學生建立對數(shù)學思想的全面認識.

比如，在教學“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”時，這是學生第一次接觸圖像是曲線的函數(shù)，這對學生來講存在一定的難度，因此教師要重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，從而為學生以后的曲線函數(shù)圖像學習奠定良好的基礎.教師可以給出提出一個反比例函數(shù)，讓學生列出這個函數(shù)的幾個對應值，制作一份關于函數(shù)值的表格.在學生完成表格后，教師對表格中的數(shù)據(jù)進行觀察，并且搜集一些數(shù)據(jù)，輸入到GeoGebra上，畫出描點圖.之后教師讓學生利用計算機或者猜想的方式，思考這個函數(shù)圖像的大致走向，并且讓學生說一說自己猜想的依據(jù).在學生進行了充分的猜想后，教師再在GeoGebra上輸入函數(shù)解析式，將完整的圖像畫出來，讓學生將自己的計算結(jié)果和真實的圖像結(jié)果進行對照，看看自己的猜想是否正確.如此，有助于學生數(shù)形結(jié)合思想的形成，有助于降低教學的難度，有助于增強學生數(shù)學學習的自信心.

5.運用GeoGebra提升課堂參與

數(shù)學知識的抽象性使得很多學生在學習數(shù)學的過程中經(jīng)常產(chǎn)生消極的情緒，導致了課堂教學效果不理想的情況.而GeoGebra軟件的使用可以將原本枯燥的數(shù)學知識以更加直觀的方式呈現(xiàn)出來，從而有效地提升學生的課堂參與度，讓學生在更加具有趣味性的環(huán)境中學習知識.

比如，在教學“設計軸對稱圖案”時，教師可以將GeoGebra作為師生互動的平臺，給學生提供充足的自主操作機會，讓學生試著使用GeoGebra來開展軸對稱圖案的設計和創(chuàng)作.教師可以在機房提前安裝好GeoGebra軟件，并且對學生進行分組，先幫助學生了解用GeoGebra畫圖的方法，之后再給學生自主操作的時間，讓學生們合作進行軸對稱圖形的制作.在學生合作完成制作后，教師不僅要讓學生展示最終的作品，同時還要讓學生回憶作圖過程中都用到了哪些知識和技能，并且讓學生自己說一說怎么用軸對稱的知識來檢驗自己所做的圖形是否是軸對稱圖形，從而進一步升華學生的思想.

隨著科學技術(shù)的快速發(fā)展，培養(yǎng)學生的信息素養(yǎng)也成為教師現(xiàn)如今的一個主要任務，因此教師要利用好GeoGebra平臺，提升學生在課堂上的參與度，調(diào)動學生的學習興趣，使學生的創(chuàng)新意識、信息素養(yǎng)和實踐能力得到更好的發(fā)展.

三、GeoGebra在初中數(shù)學教學中的應用注意事項

GeoGebra的使用對于提升初中數(shù)學教學的質(zhì)量有十分積極的作用，但是在實際的應用過程中，還有很多值得教師關注的問題.為將GeoGebra的價值真正體現(xiàn)出來，并避免由于GeoGebra的不合理使用而導致教學質(zhì)量下降的問題，應注意如下事項.

首先，教師自身要不斷地進行學習，充分認同在數(shù)學教學中使用GeoGebra的必要性，并且熟練掌握GeoGebra的各種功能，從而為GeoGebra的使用奠定扎實的基礎.教師是學生學習的引導者，對于學生的學習質(zhì)量起到很大的影響，但是在當前的初中數(shù)學教學中，很多教師缺乏學習教育技術(shù)的意識，從而導致了課堂信息含量匱乏的問題.因此教師只有正確認識教育信息化改革的必要性，積極探索GeoGebra的功能，提升自身的GeoGebra操作水準，才能給學生提供更好的教學服務.

其次，教師在使用GeoGebra的時候要選擇好時機.GeoGebra是一款十分便于操作的工具，在數(shù)學教學中，教師可以很方便地利用它來引導學生開展角度、圖形軌跡、圖形形狀等方面的探索.但是需要注意的是，學生是教學的主體，如果教師在教學中過于依賴GeoGebra，一味地使用GeoGebra來呈現(xiàn)各種信息，很容易使學生失去思考的意識，產(chǎn)生反作用.因此，教師要選擇好用GeoGebra呈現(xiàn)信息的時機，在學生思考后再使用GeoGebra平臺，幫助學生驗證猜想或者輔助學生完成猜想，從而真正發(fā)揮出GeoGebra的作用.

接著，教師要根據(jù)實際需要，為學生提供恰當?shù)腉eoGebra操作機會.在絕大多數(shù)的情況下，教師都是自己動手操作GeoGebra，讓學生進行觀察，這種做法雖然可以節(jié)省課堂上的時間，但是容易導致學生失去探索的動力.初中學生正處在好奇心旺盛的年齡階段，因此在實際的教學中，教師要注重為學生提供多一些的實踐機會，滿足學生的好奇心，讓學生可以在動手操作中獲得對數(shù)學知識的進一步了解.教師可以在學生針對教學內(nèi)容提出猜想后，讓學生自己動手操作GeoGebra，用方便快捷的軟件來驗證自己的猜想，從而讓學生收獲更多的課堂參與感，切實提升學生在課堂上的參與度.

最后，教師要鼓勵學生在課后利用GeoGebra進行學習.GeoGebra是一款免費的軟件，而且有手機版、網(wǎng)頁版等各種版本，十分適合學生的數(shù)學課后學習，讓學生可以根據(jù)自己的需要了解更多的數(shù)學知識.因此，在教學的過程中，對于學生在課堂上產(chǎn)生的一些想法，教師可以鼓勵學生在課后使用GeoGebra進行獨立驗證，之后在課堂上分享自己的成果，以此營造良好的數(shù)學學習氛圍，并且提高學生自主解決數(shù)學問題的能力.

結(jié)語：GeoGebra軟件在初中數(shù)學教學中有廣泛的應用價值.在實際的教學中，教師應當根據(jù)學生的具體需要，分析軟件的具體用法，為學生的自主學習提供更多的便利，使學生能在信息技術(shù)的幫助下真正掌握數(shù)學知識的本質(zhì)，獲得數(shù)學探究的方法，進而推動核心素養(yǎng)教育目標的落實，發(fā)展學生的數(shù)學學習能力，提升教學的整體質(zhì)量，并且驅(qū)動數(shù)學教育信息化改革，讓學生的數(shù)學知識水平和創(chuàng)新能力獲得協(xié)調(diào)的成長.