浙江寧波市奉化區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校（315000）宋煜陽(yáng)

任何一份練習(xí)設(shè)計(jì)，都離不開(kāi)知識(shí)內(nèi)容、目標(biāo)指向和表現(xiàn)形式三個(gè)基本元素。素養(yǎng)進(jìn)階練習(xí)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，取決于課程內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)、課程內(nèi)容所指向的核心素養(yǎng)理解和練習(xí)表現(xiàn)性任務(wù)設(shè)計(jì)。“數(shù)與運(yùn)算”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的一個(gè)主題課程內(nèi)容，包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)及其四則運(yùn)算。課程標(biāo)準(zhǔn)就“數(shù)的認(rèn)識(shí)”所指向的核心素養(yǎng)表述有“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)”“學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)的形成過(guò)程，理解和掌握數(shù)的概念”；就“數(shù)的運(yùn)算”所指向的核心素養(yǎng)表述有“經(jīng)歷算理和算法的探索過(guò)程，理解算理，掌握算法”“感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)”。綜上所述，“數(shù)與運(yùn)算”主題的核心素養(yǎng)主要指向數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力和推理意識(shí)，特別強(qiáng)調(diào)了數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性、數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。為了凸顯“一致性”這條主線，“數(shù)與運(yùn)算”主題素養(yǎng)進(jìn)階練習(xí)設(shè)計(jì)需要在結(jié)構(gòu)要素和表現(xiàn)形式上尋求突破。

一、“數(shù)的認(rèn)識(shí)”結(jié)構(gòu)要素和表現(xiàn)形式

數(shù)的認(rèn)識(shí)，本質(zhì)上是對(duì)數(shù)的結(jié)構(gòu)的把握，而數(shù)的結(jié)構(gòu)需要用結(jié)構(gòu)要素去表達(dá)。無(wú)論是整數(shù)、小數(shù)，還是分?jǐn)?shù)，在數(shù)的結(jié)構(gòu)上均保持了一致性，都是對(duì)多少個(gè)計(jì)數(shù)單位的表達(dá)。比如，314由3個(gè)百、1個(gè)十和4個(gè)一組成，表示為314=3×100+1×10+4×1；3.14由3個(gè)一、1個(gè)十分之一和4個(gè)百分之一組成，表示為3.14=3×1+1×0.1+4×0.01由2個(gè)三分之一組成，表示為一個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)，需要用十進(jìn)制計(jì)數(shù)單位、位值、數(shù)位（數(shù)級(jí)）等結(jié)構(gòu)要素去表達(dá)，是“數(shù)的認(rèn)識(shí)”練習(xí)設(shè)計(jì)的核心要素。

“數(shù)的認(rèn)識(shí)”核心要素的表現(xiàn)形式，一般反映為數(shù)量的抽象程度和數(shù)的表征方式兩個(gè)方面。數(shù)量的抽象程度，主要表現(xiàn)為“具體—半具體半抽象—抽象”。數(shù)的表征方式，主要表現(xiàn)為動(dòng)作表征、圖像表征、語(yǔ)言表征、符號(hào)表征、情境表征等。

那么，不同抽象程度的學(xué)習(xí)材料該如何選擇呢？顯然，需要根據(jù)學(xué)生的年齡特征、數(shù)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度來(lái)綜合考慮。比如，“捆”是計(jì)數(shù)單位“十”的物化材料，經(jīng)常以實(shí)物或?qū)嵨飯D呈現(xiàn)，一般供教學(xué)“10以 內(nèi) 數(shù) 的 認(rèn) 識(shí)”“11~20各 數(shù) 的 認(rèn) 識(shí)”“100以 內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)使用；一個(gè)小方塊（一）、一條塊（十）、一個(gè)面方塊（百）、大立方體（千）等實(shí)物或?qū)嵨飯D，一般在教學(xué)“100各數(shù)的認(rèn)識(shí)”“1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)使用，都屬于具體的學(xué)習(xí)材料。計(jì)數(shù)器和數(shù)軸都屬于半具體半抽象的學(xué)習(xí)材料，貫穿于整數(shù)、小數(shù)的教學(xué)；數(shù)位順序表屬于抽象的學(xué)習(xí)材料，常在教學(xué)整數(shù)和小數(shù)時(shí)使用。

練習(xí)1下面表示500 400的數(shù)是（）。

練習(xí)2用一個(gè)正方形代表1元錢，那么陰影部分表示“1.30元”的圖是（）。

練習(xí)3數(shù)軸上點(diǎn)A用小數(shù)表示是（），用分?jǐn)?shù)表示是（），再添上（）個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位就能變成最小的質(zhì)數(shù)。數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是（）。

練習(xí)1至練習(xí)3，分別采用計(jì)數(shù)器圖、方格圖、數(shù)軸來(lái)表達(dá)數(shù)的結(jié)構(gòu)，都屬于典型性學(xué)習(xí)材料，分別隨著年級(jí)升高而逐步抽象。

練習(xí)4在數(shù)線上用★表示60 300的位置，正確的是（）。

練習(xí)5請(qǐng)根據(jù)第1、2幅圖的寫數(shù)規(guī)律，寫出第三幅圖所表示的數(shù)。

寫作：1 0050 0030

寫作：2 0010 0305

寫作：（ ）

練習(xí)6左圖是用臺(tái)秤稱菠蘿時(shí)臺(tái)秤顯示的菠蘿的質(zhì)量，右圖是另一個(gè)臺(tái)秤。請(qǐng)你在右圖臺(tái)秤上用箭頭標(biāo)出菠蘿的質(zhì)量。

練習(xí)4至練習(xí)6分別圍繞計(jì)數(shù)單位、數(shù)位順序表、進(jìn)制進(jìn)行設(shè)計(jì)。其中練習(xí)4采用相同的數(shù)線引導(dǎo)學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位“十”“百”“千”進(jìn)行辨認(rèn)；練習(xí)5采用水果替代數(shù)位順序表引導(dǎo)學(xué)生讀數(shù)、寫數(shù)；練習(xí)6則在“十進(jìn)制”與其他進(jìn)制的對(duì)比中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)計(jì)數(shù)單位的變化。這些變式練習(xí)都能幫助學(xué)生理解計(jì)數(shù)單位的本質(zhì)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)核心要素。

數(shù)的表征方式，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)各種表征方式的綜合運(yùn)用以及方式之間的切換，從操作、圖像、敘述、解釋、舉例等維度對(duì)數(shù)的概念進(jìn)行具體化和形式化兩個(gè)層面的表征。

比如，在認(rèn)識(shí)“1000”這個(gè)數(shù)時(shí)，浙教版教材以“大家來(lái)說(shuō)1000”的舉例形式實(shí)現(xiàn)各種表征方式的綜合運(yùn)用。

圍繞“10個(gè)百”的意義，采用了多層次的表征和多元化的結(jié)構(gòu)表達(dá)：有操作層面的“10個(gè)百”實(shí)物圖像的情境表征，有加法、乘法、乘加多種方式的符號(hào)層面的符號(hào)表征和語(yǔ)言表征。

又如，在“1～5的認(rèn)識(shí)”練習(xí)中，可以采用畫一畫、圈一圈、寫一寫的方式進(jìn)行表征。

對(duì)數(shù)進(jìn)行表征，其中就有動(dòng)作表征、情境表征、圖像表征、符號(hào)表征等，這是通過(guò)給出某種表征的信息來(lái)填充其他表征。這樣的練習(xí)不僅表征手段豐富，而且重視表征方式之間的切換，能從多個(gè)維度幫助學(xué)生體會(huì)從數(shù)量到數(shù)的抽象過(guò)程。

數(shù)概念的一致性體現(xiàn)為計(jì)數(shù)單位是建構(gòu)數(shù)的基礎(chǔ)，認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位是數(shù)的認(rèn)數(shù)關(guān)鍵。在設(shè)計(jì)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”練習(xí)時(shí)，要始終把計(jì)數(shù)單位作為核心，圍繞數(shù)位順序表、位值等核心要素對(duì)數(shù)進(jìn)行多層次表征和多元化表達(dá)，促使學(xué)生充分體會(huì)數(shù)量抽象為數(shù)的過(guò)程。同時(shí)，利用基于數(shù)軸等學(xué)習(xí)材料的填數(shù)練習(xí)，能夠幫助學(xué)生體會(huì)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)性、小數(shù)的稠密性和分?jǐn)?shù)的等價(jià)性。

二、“數(shù)的運(yùn)算”結(jié)構(gòu)要素和表現(xiàn)形式

算理和算法是數(shù)的運(yùn)算的“雙核”，也是練習(xí)設(shè)計(jì)的主要對(duì)象。計(jì)數(shù)單位、運(yùn)算律和等式的性質(zhì)是算理和算法的基礎(chǔ)。為此，在設(shè)計(jì)“數(shù)的運(yùn)算”練習(xí)時(shí)，要圍繞計(jì)數(shù)單位、運(yùn)算律和等式性質(zhì)。

整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算，在算理上都反映為“相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的加減”，在算法上表現(xiàn)為“相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相加減，計(jì)數(shù)單位不變”。為此，在數(shù)的加減運(yùn)算練習(xí)設(shè)計(jì)中，需要圍繞算法上的“相同數(shù)位對(duì)齊”、算理上的“相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相加減”這條主線，設(shè)計(jì)看圖填空、畫圖表征、解釋說(shuō)理等題型。

練習(xí)1在算31+25=（ ）時(shí)，聰聰是這樣算的，你知道“3+2=5”表示什么意思嗎？請(qǐng)?jiān)诜娇蚶锂嬕划嫛?/p>

練習(xí)2一本練習(xí)本和一套三角尺共多少元？下面分別是聰聰和明明的計(jì)算方法，你同意哪個(gè)？寫出你的理由。

練習(xí)1是兩位數(shù)加兩位數(shù)的口算，對(duì)“相同數(shù)位上的數(shù)相加”背后的原理進(jìn)行了表征；練習(xí)2是小數(shù)加法筆算，圍繞“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”和“末尾對(duì)齊”進(jìn)行辨析和說(shuō)理，都指向了理解算理。

乘法和除法運(yùn)算的一致性體現(xiàn)為計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘或相除、計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相乘或相除。整數(shù)乘除法、小數(shù)乘除法在算理層面貫穿了計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)累加或均分的過(guò)程，保持了運(yùn)算之間算理的一致性。比如，整數(shù)除法140÷4，運(yùn)算步驟為“14（十）÷4=3（十）……2（十），2（十）轉(zhuǎn)化為20（一），20（一）÷4=5（一），最后把3（十）、5（一）組合成35”，關(guān)鍵在于把被除數(shù)拆分為以不同計(jì)數(shù)單位為單位的若干部分進(jìn)行均分。練習(xí)設(shè)計(jì)需要加強(qiáng)這個(gè)運(yùn)算程序的梳理，可以結(jié)合小棒操作流程圖，讓學(xué)生填寫除法豎式，如“84÷3”就可以采用下圖來(lái)考查學(xué)生對(duì)算理和算法的過(guò)程性理解。

上述列舉和討論的內(nèi)容都是圍繞計(jì)數(shù)單位，下面將討論有關(guān)運(yùn)算律的習(xí)題設(shè)計(jì)。與算理、算法關(guān)聯(lián)最緊密的當(dāng)屬乘法分配律，所以乘法分配律的本質(zhì)屬性和運(yùn)算應(yīng)用是“數(shù)的運(yùn)算”練習(xí)設(shè)計(jì)的重要考查對(duì)象。

因?yàn)槌朔ǚ峙渎梢话闶峭ㄟ^(guò)不完全歸納推理得出，所以對(duì)規(guī)律的理解可以通過(guò)解釋說(shuō)理、舉例說(shuō)明的方式進(jìn)行。下面的題組就充分反映了這一思路。

（1）聰聰計(jì)算78×73+78×27時(shí)，采用了“78×73+78×27=78×（73+27）”的計(jì)算方法。聰聰這樣算所依據(jù)的運(yùn)算定律是什么？

（2）將計(jì)算下圖面積的過(guò)程填寫完整。

這個(gè)圖形的面積是16×15+14×15，運(yùn)用（1）中的規(guī)律可以得出：

16×15+14×15=（○）×15=（）（平方厘米）

（3）請(qǐng)舉一個(gè)可以用（1）中的規(guī)律解決問(wèn)題的生活例子。

該題組在學(xué)生回憶運(yùn)算定律的依據(jù)、面積模型的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生自己舉例說(shuō)明，在乘法分配律的舉例驗(yàn)證活動(dòng)中對(duì)運(yùn)算定律不完全歸納推理的應(yīng)用進(jìn)行了考查。

應(yīng)用乘法分配律在課程標(biāo)準(zhǔn)的核心素養(yǎng)“運(yùn)算能力”的主要體現(xiàn)是：提出了“能夠清楚運(yùn)算的對(duì)象和意義”“選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問(wèn)題”等要求。像“計(jì)算49+98×48+47”這道題能考查學(xué)生能否整體觀察數(shù)據(jù)，能否保持敏銳的數(shù)感，能否識(shí)別到“49+98×48+47=98×48+96=98×48+48×2=48×（98+2）”這個(gè)過(guò)程。又如，江蘇南京四年級(jí)期末調(diào)研測(cè)試卷就圍繞乘法分配律的應(yīng)用設(shè)計(jì)了如下題組：

數(shù)學(xué)課上，李老師讓大家比較“9×9+19”與“10×10”的大小，大部分同學(xué)根據(jù)計(jì)算的結(jié)果判斷出它們相等。愛(ài)較真的軒軒激動(dòng)地說(shuō)：“我能通過(guò)推理說(shuō)明兩個(gè)式子相等。”她邊說(shuō)邊寫（見(jiàn)下圖的左框）。

聽(tīng)了軒軒的想法，大家眼前一亮，不禁躍躍欲試。李老師接著出示“99×99+199”，讓大家填寫：

（1）99×99+199=（ ）×（ ）；

（2）請(qǐng)?jiān)谟疫叿娇蛑袑懗鐾扑愕倪^(guò)程。

該題是以題組的形式，通過(guò)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境激活學(xué)生的探究欲望。學(xué)生在自主探究、互動(dòng)交流中積累了多次運(yùn)用乘法分配律解題的經(jīng)驗(yàn)。

上述對(duì)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”“數(shù)的運(yùn)算”結(jié)構(gòu)要素和表現(xiàn)形式進(jìn)行了討論，其實(shí)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”“數(shù)的運(yùn)算”本身是同一個(gè)主題，聯(lián)系非常緊密。比如，整數(shù)筆算乘法是基于乘法意義的“求和模型”、位值制、計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)、乘法分配律的綜合運(yùn)用，是算理的一次升級(jí)，是融數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算為一體的綜合活動(dòng)。在素養(yǎng)進(jìn)階練習(xí)設(shè)計(jì)中，教師只有抓核心、悟結(jié)構(gòu)、尋聯(lián)系、促遷移，才能有效落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)。