傅守忠，令 鋒，孔麗英，夏 艷，王肖義，張會琴

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

1 數(shù)值分析與計算方法

數(shù)值分析或計算方法是理工科許多專業(yè)開設(shè)的基礎(chǔ)課，它們都是講授利用計算機求解各種數(shù)學(xué)問題數(shù)值解的課程[1-3]，內(nèi)容包括：求各種問題數(shù)值解的方法，主要是計算公式的構(gòu)造；在計算機上的算法實現(xiàn)；方法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差分析.對于與數(shù)學(xué)相關(guān)的專業(yè)，該課程是數(shù)學(xué)理論與實際應(yīng)用之間的橋梁，是數(shù)學(xué)模型課的必要準(zhǔn)備，也是程序設(shè)計課的鞏固延續(xù)；對于非數(shù)學(xué)相關(guān)的專業(yè)，該課程是由高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)延伸出的必要數(shù)學(xué)工具.

許多人說“數(shù)值分析”也叫“計算方法”，這種說法實際上是不對的.盡管它們研究的內(nèi)容看似相同，但“計算方法”的重點在“方法”的實現(xiàn)和應(yīng)用，而“數(shù)值分析”的精髓在理論“分析”.換言之，計算方法著重講每一類問題要“怎么算”，數(shù)值分析關(guān)鍵在討論各種數(shù)值計算的方法“為什么行”.它們的聯(lián)系與區(qū)別同數(shù)學(xué)分析與高等數(shù)學(xué)、高等代數(shù)與線性代數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別類似.因此在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)等以“數(shù)學(xué)分析”和“高等代數(shù)”為基礎(chǔ)的專業(yè)應(yīng)當(dāng)開設(shè)“數(shù)值分析”，而物理、電子、機械等其它以“高等數(shù)學(xué)”和“線性代數(shù)”為基礎(chǔ)的專業(yè)應(yīng)當(dāng)開設(shè)“計算方法”.

2 應(yīng)用型本科院校數(shù)值分析與計算方法課的現(xiàn)狀

2.1 學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不扎實

應(yīng)用型本科院校的大多數(shù)學(xué)生入學(xué)基礎(chǔ)不夠雄厚，進(jìn)入大學(xué)后，學(xué)習(xí)不夠積極主動，常有課堂上聽不懂老師所講或無法及時消化吸收的情況，而課余時間利用率也較低，不能及時復(fù)習(xí)彌補，因此,應(yīng)用型本科院校的多數(shù)學(xué)生，包括數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)或高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很不扎實.

2.2 學(xué)生的程序設(shè)計基礎(chǔ)較差

程序設(shè)計由算法設(shè)計和編寫程序代碼組成，其中算法設(shè)計是關(guān)鍵，有了算法的流程，只需要針對不同計算機語言的語法和結(jié)構(gòu)，就能輕松地編寫出相應(yīng)的程序代碼.算法設(shè)計需要較好的邏輯推理和演算基礎(chǔ)，這本該是數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生的強項，但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的欠缺也限制了許多學(xué)生的算法設(shè)計能力，加之好多學(xué)生把學(xué)習(xí)程序設(shè)計的重點放在某些特定計算機語言的語法上，一定程度上造成許多學(xué)生只會驗證書上現(xiàn)有的程序，而不會設(shè)計程序.有些專升本的學(xué)生甚至沒學(xué)過任何計算機語言.

2.3 課程的課時偏少

計算方法的理論教學(xué)至少需要54 學(xué)時，而數(shù)值分析則至少需72 學(xué)時，實驗教學(xué)需再另加課時或由學(xué)生自主完成.受一些通識課和實踐課等新型課程的擠壓，現(xiàn)在專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)主干課的課時都大幅減少.以我校為例，數(shù)學(xué)學(xué)院開設(shè)的數(shù)值分析僅有40 學(xué)時的理論課，外加16 學(xué)時的實驗課.而我校近年教學(xué)改革,將每節(jié)課縮短成40 分鐘，所以實際的理論課相當(dāng)于僅有32～36 學(xué)時；有些非數(shù)學(xué)專業(yè)，只有32 課時的理論課.對于基礎(chǔ)較差且自學(xué)能力不夠強的應(yīng)用型本科院校的學(xué)生，這些課時相對有點偏少.

2.4 不好選合適的教材

近年來許多學(xué)校都在搞教材建設(shè)，備選教材看似很多，但適合應(yīng)用型本科院校使用的教材很少.重點院校特別是數(shù)學(xué)學(xué)院教師編寫的傳統(tǒng)《數(shù)值分析》教材，都側(cè)重于理論分析，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高，很少講如何在計算機上具體實現(xiàn)；一般院校教師，特別是非數(shù)學(xué)專業(yè)教師編寫的《計算方法》教材，多數(shù)忽略了理論分析，僅注重在某種具體計算機語言中的程序?qū)崿F(xiàn)，甚至連為什么“兩個相近的數(shù)相減會損失有效數(shù)字”和“兩個相差太大的數(shù)相加，大數(shù)會‘吃掉’ 小數(shù)”這些與計算機工作原理關(guān)聯(lián)的一些簡單的數(shù)學(xué)理論也沒講清楚.還有些教材所用數(shù)學(xué)理論是錯誤的或不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?；也有些教材所給的程序，沒有與原始數(shù)值計算方法對應(yīng)，學(xué)生調(diào)試運行這些程序時，只知其然，不知其所以然，不能通過實驗課鞏固復(fù)習(xí)相關(guān)的理論知識.

3 教學(xué)改革措施

3.1 理論教學(xué)

鑒于上述實際情況，我們的數(shù)值分析和計算方法課都精選最基本的內(nèi)容講授，數(shù)值分析課的內(nèi)容也僅間于數(shù)值分析與計算方法之間，或者說是只在計算方法的基礎(chǔ)上加入少量的分析.在制定課程教學(xué)大綱時，嚴(yán)格明確各知識點分屬“掌握”、“熟悉”和“了解”中的哪個層次：其中屬于“掌握”層次的是要求必須學(xué)會的基本內(nèi)容，上課時作為重點進(jìn)行精講，也是課程考核的重點，約占卷面分?jǐn)?shù)的75%～80%；屬于“熟悉”層次的是要求盡量學(xué)會的拓展內(nèi)容，課堂上泛講，基礎(chǔ)較好的學(xué)生可通過課后復(fù)習(xí)進(jìn)一步理解掌握，考核中占較小的比例，約占15%～20%，也是區(qū)分學(xué)生成績是優(yōu)良還是合格的主要內(nèi)容；屬于“了解”層次的是僅需要簡單認(rèn)知的內(nèi)容，課上只簡單介紹其基本思想，便于一些成績較好的學(xué)生能夠更容易通過自學(xué)學(xué)懂這些內(nèi)容，考核時也只占極小的比例，僅占3%～5%.

課堂上采用多媒體和板書結(jié)合的方式講授.基本概念、定理敘述和相關(guān)圖形用多媒體課件演示，公式推導(dǎo)、定理證明和簡單計算過程仍用板書講解.多媒體演示是為了節(jié)省書寫所占用的時間，而板書推導(dǎo)能使學(xué)生更容易跟著教師的講課思路學(xué)會所講的內(nèi)容.由于大多數(shù)例題中的數(shù)據(jù)都是比較復(fù)雜的小數(shù)，手工計算很費時，所以對于通過迭代或遞歸求解的問題，講授完相應(yīng)的理論并對例題構(gòu)造出計算公式后，都借助Excel的公式自動復(fù)制功能演示其求解過程，使學(xué)生對所講的數(shù)值方法能有直觀的認(rèn)識，這對學(xué)習(xí)相關(guān)理論和編程實現(xiàn)都有很大的幫助.

3.2 實驗教學(xué)

為了讓學(xué)生既能完成課程必要的數(shù)值計算方法的程序演算，又能使程序設(shè)計能力有所提升，我們將實驗分成3類.

第一類是設(shè)計型的，學(xué)生自己完成流程設(shè)計和相應(yīng)代碼編寫，比如解非線性方程的簡單迭代法和解線性方程組的Gauss消元法等.

第二類是驗證型的，我們給出完整的流程圖及對應(yīng)的Matlab語言版和C++語言版的源程序，學(xué)生只需讀懂流程圖就基本能理解對應(yīng)的源程序了，然后通過自己輸入程序和運行，就能進(jìn)一步理解該數(shù)值計算方法，同時程序設(shè)計和調(diào)試能力也會有所提高.比如計算多項式的直接算法與秦九韶算法的比較，其中涉及到統(tǒng)計各算法在計算機上的運行時間，這部分的程序大多數(shù)學(xué)生不會編寫；又如解線性方程組的LU分解法，其中涉及到讀取數(shù)據(jù)文件和數(shù)據(jù)的存儲格式等手段，多數(shù)學(xué)生還沒有掌握。因此這些實驗我們都給出完整的程序資料.

第三類是完善填空型的，給出源程序的基本框架，將相應(yīng)數(shù)值方法中的關(guān)鍵步驟留空，讓學(xué)生通過填空來完成程序.比如數(shù)值積分中的Romberg算法等，對這些問題，學(xué)生自主完成自頂向下的算法設(shè)計會有一定困難，我們將頂層的結(jié)構(gòu)設(shè)計好，讓學(xué)生只完成底層部分的設(shè)計.這樣做可以適當(dāng)降低實驗的難度，使更多學(xué)生能順利完成這些實驗并從中有所收獲.

4 思政元素的融入

習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會議上強調(diào)，要把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，各類課程都要與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，把立德樹人作為教育的根本任務(wù)[4,5].

在第一節(jié)課的課程介紹中，講到數(shù)值計算方法求得的是實際問題的近似數(shù)值解，而非精確的解析解時，我們會融入航空航天及氣象預(yù)報等現(xiàn)代科技領(lǐng)域的一些實際問題.比如會介紹神州飛船返回就是在忽略空氣阻力等假設(shè)下，計算降落在主著陸場中心點時，需要在近地軌道的什么位置開始制動.但實際降落的位置總有偏離，這些誤差是數(shù)值計算不可避免的.隨著科技的進(jìn)步，我們會盡力縮小這些誤差，像北斗導(dǎo)航系統(tǒng)已經(jīng)可以提供誤差不超過10 m甚至厘米級的定位.以此可以培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真做事的科學(xué)精神，樹立學(xué)生的愛國主義思想.

在講授Newton 迭代法和數(shù)值積分時，分別融入“劉徽割圓”中“以直代曲”和分割近似計算的逼近思想.在講授方程組消元法時，會介紹約于公元1世紀(jì)就成書的《九章算術(shù)》中的“方程術(shù)”，它就是在有了分?jǐn)?shù)的概念，且僅能用漢字描述數(shù)字的情況下，利用算籌進(jìn)行的類似于“Gauss消元法”的計算方法.當(dāng)時我國還沒有小數(shù)的概念，也沒有阿拉伯?dāng)?shù)字這樣的簡單數(shù)字符號，但計算的思想和方法較西方同類方法要早近兩千年.講授插值法時，會介紹我國南北朝計算地球每天圍繞太陽公轉(zhuǎn)的角度方法，其實當(dāng)時人們認(rèn)為是太陽在地面的上空運動，計算的是太陽相對地球轉(zhuǎn)過的角度，從幾何學(xué)的觀點看，這兩個角度是相等的.我國的天文學(xué)家已發(fā)現(xiàn)每天轉(zhuǎn)過的角度不同，由于技術(shù)手段無法測出每天的中心值，就測每個節(jié)氣的中心值，然后用插值的方法估算每天的中心值.隋朝的劉焯為提高計算的精確度，又發(fā)明了二次等間距內(nèi)插法，其實就是一種特殊的Newton 插值法.融入這些中國古代數(shù)學(xué)方法的元素，使學(xué)生進(jìn)一步了解我國古代的許多數(shù)學(xué)思想和方法比西方相應(yīng)的思想方法早了幾百到上千年，可激發(fā)學(xué)生為實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興而奮斗的熱情.

解方程組的Gauss-Seidel迭代法是在Jacobi迭代的基礎(chǔ)上，是以新產(chǎn)生的分量值代替上一步迭代向量中對應(yīng)的舊分量值進(jìn)行迭代的改進(jìn)方法.在Jacobi迭代“漸近”收斂時，Gauss-Seidel迭代的收斂速度會更快，這會使學(xué)生產(chǎn)生兩個錯覺：“Jacobi迭代收斂時Gauss-Seidel迭代也一定收斂”，且“Gauss-Seidel迭代總比Jacobi迭代收斂快”.在講授解方程組的迭代法的收斂性時，通過兩個具體的例子說明，二者的收斂性間沒有關(guān)聯(lián)，再分析當(dāng)Jacobi 迭代“進(jìn)退交替式”收斂時，Gauss-Seidel 迭代可能發(fā)散.這里融入了“宏觀與微觀”的辯證法思想，即Jacobi迭代宏觀上收斂，但微觀上，迭代得到的新值的精確度可能比迭代前的舊值更差，此時以新代舊的效果會變差，由此也說明“差之毫厘謬以千里”的道理，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真做事的習(xí)慣.

其實，在思政教育方面，身教勝于言傳.教師認(rèn)真?zhèn)浜貌⒅v好每節(jié)課，細(xì)心批改學(xué)生的作業(yè)和實驗報告，都是對學(xué)生最好的思政教育，對培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ鲬B(tài)度，都很有效.甚至于俯身撿起地上的粉筆頭和擦拭干凈講臺及電腦上的灰塵等，也是對學(xué)生進(jìn)行愛護(hù)公物和勤儉節(jié)約等優(yōu)良傳統(tǒng)教育的直接體現(xiàn).

5 結(jié)語

教學(xué)中因材施教，使學(xué)生學(xué)會基本的內(nèi)容，了解更多的知識；實驗中量體裁衣，使學(xué)生在實驗課上都能有收獲，并有所提高.教師要不斷提升自己的專業(yè)知識水平和思想素養(yǎng)，才能在教書的同時細(xì)雨潤物般育人，為社會主義建設(shè)和中華復(fù)興培育出專業(yè)能力和政治思想都合格的人才.