何梓鋒，丁建國，常宇

(南京理工大學 理學院，江蘇 南京 210094)

0 引言

2021年我國“十四五”規(guī)劃提出，要深入實施制造強國戰(zhàn)略，加快推進制造業(yè)高質(zhì)量發(fā)展。超精密加工技術是航空航天和國防科技等領域發(fā)展的基石，更是國家核心競爭力之所在。超精密機床是實現(xiàn)超精密加工的關鍵裝備，其動態(tài)特性研究是機床結構、隔振系統(tǒng)設計及優(yōu)化的基礎。因此，尋求一種準確高效的動力學方法，求解其動態(tài)特性，全面提升加工精度及加工質(zhì)量，具有重要的理論意義與工程應用價值。

目前，一些學者開展了超精密飛切機床動態(tài)特性方面的研究。邵傳東等[1]基于分子動力學原理建立了機床空氣靜壓主軸的分子動力學微觀模型，研究了不同設計參數(shù)條件下空氣靜壓主軸氣膜剛度的變化規(guī)律。戴新澤等[2]利用能量法建立機床進給系統(tǒng)動力學模型，計算了其前6階固有頻率。CHANG Y等[3]提出一種改進的計算螺栓結合部接觸剛度理論，將多體系統(tǒng)傳遞矩陣法(transfer matrix method for multibody systems, MSTMM)與分形接觸模型結合，建立了考慮螺栓結合部接觸特性的動力學模型，更精確地預測了機床的動態(tài)特性。LU H J等[4]將主軸考慮為柔性體，應用MSTMM對機床建模與仿真。商興蓮等[5]運用MSTMM求解機床的固有頻率，結合模態(tài)試驗數(shù)據(jù)采用多島遺傳算法實現(xiàn)了機床前6階固有頻率的識別。

對超精密飛切機床動態(tài)特性的研究主要可分為針對局部關鍵部件和針對整機系統(tǒng)的仿真分析。由于整機的建模較為復雜，采用有限元建模方法進行仿真分析存在計算效率低等問題。為此，有必要發(fā)展一種準確高效的動力學計算方法進行動力學分析。MSTMM具有計算量小、程式化程度高的特點，可作為快速計算超精密飛切機床動態(tài)特性的一種重要方法。本文采用MSTMM建立考慮立柱、橫梁、主軸和刀盤變形的超精密飛切機床動力學模型，并推導總傳遞方程，使用自適應遺傳算法識別系統(tǒng)前18階固有頻率，以期準確高效地求解系統(tǒng)動態(tài)特性。

1 超精密飛切機床動力學建模

針對復雜多體系統(tǒng)特征值問題快速計算實際工程急需、有限元法難以承受大系統(tǒng)巨大計算工作量和大剛度梯度引起的計算病態(tài)等問題，芮筱亭等[6]首次提出多體系統(tǒng)傳遞矩陣法并將其廣泛用于大型機械系統(tǒng)的動力學分析與設計中，解決了復雜多體系統(tǒng)固有振動特性的計算病態(tài),提高了計算效率。

1.1 模型建立

超精密飛切機床的實物如圖1所示，包含床身、工作臺、左立柱、右立柱、橫梁、左導軌、右導軌、電機定子、電機轉子、主軸、刀盤與刀架等主要部件。

圖1 超精密飛切機床

該動力學模型含27個體(13個無質(zhì)量梁、5個剛體和9個集中質(zhì)量)與11個鉸，如圖2所示。其中x軸為工件裝夾平面內(nèi)進給運動垂直方向，y軸為進給方向，z軸為切深方向。模型中采用集中質(zhì)量法描述關鍵部件的柔性變形，把無限自由度的連續(xù)構件處理為若干個有限自由度的離散集中質(zhì)量與無質(zhì)量梁。主軸視為1段無質(zhì)量梁與1個集中質(zhì)量；左、右立柱、橫梁分別視為2段無質(zhì)量梁與1個集中質(zhì)量；刀盤視為6段無質(zhì)量梁與5個集中質(zhì)量，如圖3所示。將導軌與直線電機合并入床身中視為1個整體，電機定子計入橫梁中。

圖2 超精密飛切機床動力學模型

圖3 刀盤模型

動力學模型中的元件序號及對應名稱見表1。

表1 元件序號及對應名稱

根據(jù)機床系統(tǒng)動力學模型得到系統(tǒng)拓撲圖，如圖4所示(其中圓角矩形表示彈性梁，矩形表示剛體，圓圈表示集中質(zhì)量，箭頭表示彈性鉸)。本模型為含有1個閉環(huán)的閉環(huán)多體系統(tǒng)，在鉸34處切斷，原系統(tǒng)變?yōu)楹?個樹梢的樹形多體系統(tǒng)，其樹形拓撲圖如圖5所示。

圖4 超精密飛切機床動力學模型拓撲圖

圖5 超精密飛切機床動力學模型樹形拓撲圖

1.2 系統(tǒng)總傳遞方程

根據(jù)MSTMM，定義系統(tǒng)傳遞點與邊界的狀態(tài)矢量：

Zi,j=[X,Y,Z,Θx,Θy,Θz,Mx,My,Mz,Qx,Qy,Qz]T

(1)

式中：Zi,j表示模態(tài)坐標下第i號元件與第j號元件連接處狀態(tài)矢量，邊界處j=0;向量元素依次表示模態(tài)坐標下的空間線位移、角位移、內(nèi)力矩和內(nèi)力列陣。

由樹形多體系統(tǒng)的總傳遞方程自動推導定理[7]，各個體均處理為單端輸入單端輸出或多端輸入單端輸出元件，邊界處(利用幾何關系合并閉環(huán)處)狀態(tài)矢量為

(2)

地面處為固定端，工作臺、電機定子和左右刀架處為自由端，34號鉸為閉環(huán)切斷處新產(chǎn)生的邊界，邊界條件為

(3)

式中j=2,12,21,27。

(4)

(5)

主傳遞方程為

-Z28,0+T2-28Z2,0+T12-28Z12,0+T21-28Z21,0+

T27-28Z27,0+(T34-28+T1-28,I1C)Z34,0=0

(6)

將式(6)改寫成矩陣形式，即可得到總傳遞方程

Uall·Zall=0

(7)

式中總傳遞矩陣為

(8)

其中

(9)

沿傳遞路徑依次連乘各傳遞矩陣，可得主傳遞方程中系數(shù)矩陣T；沿傳遞路徑依次連乘各傳遞矩陣并左乘幾何矩陣，可得幾何方程中系數(shù)矩陣G。

各元件傳遞矩陣由參考文獻[7]中的傳遞矩陣庫改寫而成。無質(zhì)量梁均考慮剪切變形，立柱考慮軸向壓力。式(7)中除全部11個鉸的剛度未知外，全部參數(shù)均可由UG圖樣中物理參數(shù)計算得出，立柱、主軸與刀盤中無質(zhì)量梁的長度由有限元軟件Abaqus計算靜力位移后等效得出。

由于Zall第1～6、19～24、31～36、43～48與55～60行為0，去掉Uall對應列，即可得42階方陣U42×42。式(7)可簡化為齊次非線性方程

U42×42·Z42×42=0

(10)

由線性代數(shù)易知，在U42×42的行列式等于0時，式(10)有無窮多個非零解ω。

|U42×42|=0

(11)

因弦截法具有無需求解導數(shù)、迭代次數(shù)較少的優(yōu)點，本文采用弦截法結合逐步掃描法對式(11)進行求解，計算系統(tǒng)前18階固有頻率。

2 基于自適應遺傳算法的參數(shù)識別

遺傳算法是HOLLAND教授受生物學中自然遺傳的基本原理啟發(fā)提出的一項適于復雜系統(tǒng)優(yōu)化的技術，之后用于函數(shù)優(yōu)化與組合優(yōu)化問題中[8]。為防止未成熟收斂，SRINVIVAS M等[9]提出一種自適應遺傳算法，交叉概率Pc和變異概率Pm能隨適應度自動改變。

本問題可描述為多目標優(yōu)化問題，其數(shù)學模型為

(12)

式中：根據(jù)結構的對稱性有19對相等的剛度，余下47個剛度即為待識別的參數(shù)；k為47×1剛度向量；fn(k)為第n階頻率計算值。

根據(jù)參考文獻[10]中模態(tài)試驗的數(shù)據(jù)。使用權重系數(shù)法設計適應度函數(shù)，完成多目標優(yōu)化向單目標優(yōu)化的轉換。

(13)

式中：fn(k)為第n階頻率計算值；ωn為第n階頻率試驗值。

使用自適應遺傳算法識別各剛度參數(shù)，結合實際問題，過程中的控制參數(shù)設計如下。

個體數(shù)量設為40，每個個體包含47個決策變量；最大遺傳代數(shù)設為1 000；采用實值編碼，變量范圍設為[105,1013]；采用隨機遍歷抽樣的排擠選擇算法，代溝設為0.8；采用離散重組，交叉率設為1；采用自適應變異算子，設置自適應變異概率Pm，其表達式為

(14)

式中：umax表示群體中最大的適應度值；uavg表示每代群體的平均適應度值；u表示要變異的個體適應度值；Pm1根據(jù)本次實際問題設為0.02。

結合多種群遺傳算法，子種群數(shù)設為8，遷移概率設為0.2，每20代基于適應度向近鄰結構移民。

超精密飛切機床參數(shù)識別過程如圖6所示。

圖6 自適應遺傳算法參數(shù)識別過程

運行上述自適應遺傳算法識別參數(shù)，每代目標函數(shù)均值變化和最優(yōu)解變化如圖7所示。運行變異概率0.02的簡單遺傳算法對照如圖8所示。

圖7 自適應遺傳算法每代種群最優(yōu)解與目標函數(shù)均值

圖8 簡單遺傳算法每代種群最優(yōu)解與目標函數(shù)均值

對比圖7與圖8，采用實值變異的簡單遺傳算法在第220代左右趨于穩(wěn)定，陷入局部最優(yōu)。本文采用的算法在350代左右發(fā)生轉折，說明搜索到了新的極小值。后續(xù)仍有較多新個體產(chǎn)生，最終收斂到了全局最優(yōu)解。

識別出的剛度加上由于結構對稱性無需識別的剛度，共計66個剛度，其具體參數(shù)如表2與表3所示。

表2 11個鉸的線剛度 單位：N/m

表3 11個鉸的角剛度 單位：Nm/rad

3 超精密飛切機床動態(tài)特性分析

把鉸的剛度代入總傳遞方程(7)可解出系統(tǒng)固有頻率，計算過程如圖9所示。

圖9 超精密飛切機床固有頻率計算過程

為與MSTMM法對比計算精度及效率，本文采用有限元軟件Abaqus對超精密飛切機床進行建模與模態(tài)分析。部件采用實體四面體單元C3D4網(wǎng)格和實體六面體C3D8R網(wǎng)格，劃分后整機共206 887個網(wǎng)格單元，如圖10所示。采用Lanczos法進行模態(tài)分析。

圖10 超精密飛切機床有限元模型

分別使用有限元與MSTMM求解超精密飛切機床固有頻率，有限元計算值及相對誤差、MSTMM計算值及相對誤差如表4所示。

表4 頻率試驗值、計算值與相對誤差

兩種方法各運行10次取平均值，有限元平均計算時間為310 s，MSTMM平均計算時間為4.5 s，計算效率提升了近70倍。

計算結果表明，MSTMM計算值除第7階頻率誤差略大外，其余各階頻率誤差均在5%以內(nèi)，識別結果與試驗值較為一致，證實了計算模型準確可靠。在高階頻率中，反映刀尖局部振型的第12、14階頻率也較為吻合。分析誤差原因為第7階頻率與第8階過于接近，是結構對稱引起的重根模態(tài)，由于算法的原因只能搜索到異號的單根。

4 結語

1)使用多體系統(tǒng)傳遞矩陣法對超精密飛切機床進行了動力學建模與總傳遞方程推導。對于系統(tǒng)中5個關鍵部件，采用集中質(zhì)量法描述其運動與變形。

2)采用自適應遺傳算法識別剛度，并與簡單遺傳算法對比。本文算法性能上優(yōu)于簡單遺傳算法，可更快收斂到全局最優(yōu)解。

3)計算前18階固有頻率，除第7階誤差略大外其余誤差均在5%以內(nèi)，高階頻率也較為吻合，與試驗值對比基本相符，驗證了計算模型準確可靠。與有限元方法對比，計算效率得到較大提升。