秦 宇，韓云鵬

(1.高效潔凈機械制造教育部重點實驗室(山東大學)，濟南 250061； 2.山東大學 機械工程學院，濟南 250061)

基于鐵磁材料磁化理論的磁性無損檢測技術(shù)近年來發(fā)展迅速，該技術(shù)不僅能夠快速檢測材料的應(yīng)力狀態(tài)，還能評估材料的損傷狀態(tài)[1-2]。電磁無損檢測是將缺陷、應(yīng)力、損傷等因素對鐵磁材料固有特性或磁化強度的影響轉(zhuǎn)化為可測量的特征磁場，以獲得相應(yīng)電信號的變化[3]。王威[4]根據(jù)能量守恒定律，即單位體積的磁化功之差應(yīng)等于由機械外力所引起的單位磁積能的變化量，研究了磁導率隨應(yīng)力的變化情況。常福清等[5]依據(jù)能量最小原理和拉格朗日乘數(shù)法得到了一個外力下鐵磁體內(nèi)應(yīng)力和磁化率改變間的線性關(guān)系式。趙維義等[6]從等效應(yīng)力磁場出發(fā)，給出了存在應(yīng)力影響的材料磁導率與應(yīng)力間的一個表達式。上述3篇文獻從不同的角度經(jīng)過一定的變換來研究材料磁導率模型，具有一定的等效性。鐵磁材料磁導率與應(yīng)力和磁場之間存在非線性耦合關(guān)系，可以由材料的力磁耦合模型依據(jù)磁導率與磁化強度的關(guān)系獲得。近年來力磁耦合理論的研究也在不斷進步，Ren等[7-8]研究了復(fù)雜磁機械效應(yīng)下鐵磁材料應(yīng)力與磁化強度及熱力學能之間的關(guān)系，建立了應(yīng)力誘磁的微觀模型。在定量化磁致伸縮實驗中，Kuruzar等[9]發(fā)現(xiàn)磁致伸縮應(yīng)變是關(guān)于磁化強度的偶函數(shù)。Jiles[10]研究了鐵磁性材料磁化過程中的定量化磁力學關(guān)系，得到了磁致伸縮模型和磁化磁滯模型(J-A模型)。鄭曉靜等[11-13]基于宏觀熱力學理論，結(jié)合磁化過程中磁疇壁的微觀運動，建立了能夠準確模擬磁致伸縮材料磁化過程的磁機械耦合模型(Z-L模型)。Shi[14]在引入形狀因子和無應(yīng)力狀態(tài)標準方程后，得到了更精確的四階磁化項下的磁致伸縮模型。Kim等[15]通過引入六階磁化和非線性慣性跳躍函數(shù)，建立了一個廣義非線性磁致伸縮模型，它可以充分解釋拉壓應(yīng)力對軟鐵磁材料中磁致伸縮應(yīng)變的影響。盡管如此，Z-L 模型[11-13]及其修改形式[14-15]在描述壓應(yīng)力下磁致伸縮應(yīng)變時仍然存在較大的誤差，且無法描述鐵磁材料的磁滯磁化強度。Hu等[16]通過引入整體耦合因子和應(yīng)力慣性函數(shù)，提出了一種新的磁致伸縮應(yīng)變方程，可以更準確地描述拉應(yīng)力和壓應(yīng)力對磁致伸縮應(yīng)變的影響。因此，基于Hu等[16]的磁致伸縮方程，結(jié)合有效場方程、J-A磁滯方程[10]和彈性模量方程，可以獲得新的非線性磁化本構(gòu)模型，該模型能夠更準確地描述材料的磁力學效應(yīng)和變剛度效應(yīng)。

數(shù)值模擬是分析漏磁場分布與鐵磁材料損傷或其他物理特性之間定量關(guān)系的有效方法，是鐵磁材料理論研究的重要組成部分。Li等[17]利用數(shù)值模擬軟件分析了管線鋼中的缺陷與漏磁通密度的關(guān)系，為管線鋼缺陷的定量分析提供了依據(jù)。Ma等[18]采用改進的磁力耦合模型對鋼絲繩進行模擬，為鋼絲繩損傷定量評估奠定了研究基礎(chǔ)。以往的數(shù)值模擬過程中很少考慮材料的磁導率等參數(shù)隨磁場和應(yīng)力的變化。因此，將磁導率與應(yīng)力、磁場的耦合關(guān)系導入數(shù)值分析軟件，可以更準確地呈現(xiàn)磁化的仿真結(jié)果。

本文基于鐵磁性材料磁化過程中的熱力學關(guān)系、有效磁場理論以及修正的磁致伸縮應(yīng)變方程，建立了楊氏模量方程、非線性磁化本構(gòu)模型和變剛度模型(ΔE模型)，并分析了鐵磁材料的磁機械效應(yīng)和變剛度效應(yīng)，用數(shù)值分析軟件將理論模型的輸出結(jié)果與仿真過程相結(jié)合，通過仿真結(jié)果與已有研究成果的對比，驗證模型用于仿真分析的可行性和準確性，同時研究應(yīng)力、缺陷尺寸和缺陷位置對漏磁信號的影響。

1 理論模型

當棒狀鐵磁材料所受應(yīng)力方向和外加磁場方向相同，且其均沿材料軸向分布時，Kuruzar等[9]的實驗結(jié)果和之前的模型[10-16]證明了磁致伸縮應(yīng)變和磁化強度之間的偶函數(shù)關(guān)系。在理論模型中，J-A模型[10]、Z-L模型[11-13]、Shi模型[14]未考慮應(yīng)力對磁化的慣性阻抗效應(yīng)，因此磁致伸縮應(yīng)變的理論預(yù)測結(jié)果與文獻[9]的實驗結(jié)果偏差較大。盡管Kim 模型[15]考慮了低磁化區(qū)的應(yīng)力慣性阻抗作用，但是其在描述壓應(yīng)力作用下的磁致伸縮應(yīng)變時仍存在較大誤差。相對而言，Hu等[16]的模型在描述壓應(yīng)力作用下的磁致伸縮和磁化強度方面具有更高的精度，其應(yīng)變方程可表示為

ε=σ/Es+λ0+λ

(1)

式中：σ為應(yīng)力，Es為飽和楊氏模量，λ0為應(yīng)力單獨作用下磁疇移動導致的磁致伸縮應(yīng)變，λ為應(yīng)力磁場共同作用下的磁致伸縮應(yīng)變。

根據(jù)熱力學關(guān)系，可得到鐵磁材料的無磁滯有效磁場Heff與應(yīng)變ε的關(guān)系:

(2)

式中：H為磁場強度，α為表征磁疇內(nèi)部耦合的平均場系數(shù)，M為材料實際磁化時的磁化強度，Nd為退磁系數(shù)(退磁系數(shù)與材料幾何形狀和材料內(nèi)部缺陷有關(guān))，μ0為真空磁導率。通過替換M為Man(Man為無磁滯磁化強度，即理想磁材料的磁化強度)，可以獲得無磁滯磁化的有效場Heff(Man) 。

Langevin方程可以描述無磁滯磁化強度如下:

(3)

式中：Ms是飽和磁化強度，a為材料規(guī)劃常數(shù)。

根據(jù)能量平衡方程[19-20]：

dM/dH=cdMan/dH+(1-c)dMirr/dH

(4)

(5)

可得到非線性磁化本構(gòu)模型如下:

(6)

式中：c為可逆系數(shù)；Mirr為可逆磁化強度；He為實際磁化時的有效磁場強度;k為釘扎系數(shù)，表示由材料內(nèi)部釘扎點造成的磁滯損耗；δ為方向系數(shù)，dH/dt>0時δ=1，dH/dt<0時δ=-1，表示釘扎點的作用總是阻礙磁場的變化;

其中，k1為與磁疇旋轉(zhuǎn)相關(guān)系數(shù)，Mws為無應(yīng)力時的飽和壁移磁化強度，λws為無應(yīng)力狀態(tài)下，與磁疇位移有關(guān)的最大磁致伸縮應(yīng)變，γ(σ)、φ(σ)、ψ(σ)的計算公式可從文獻[16]獲得，?為與磁疇結(jié)構(gòu)變化有關(guān)的躍變系數(shù)。

由文獻[21]可知，楊氏模量E和應(yīng)力微分之間的關(guān)系為

(7)

假設(shè)

27?λwsf2(σ)/(16μ0Mws)[3σf′(σ)+

f(σ)]

(8)

其中：f(σ)=βσ/σs-arctanh(1/3),σs為屈服應(yīng)力，β為與材料非線性彈性應(yīng)變增長率相關(guān)的比例系數(shù)。

將式(6)轉(zhuǎn)化為磁化強度與應(yīng)力的微分形式，結(jié)合式(8)可得

(9)

根據(jù)相對磁導率與磁化強度的關(guān)系μr=1+M/H，求出M后即可得到磁導率。

假設(shè)

(10)

(11)

式中：δ0為全局耦合因子，κ為與磁疇位移有關(guān)的耦合因子。

根據(jù)文獻[14-16]，可得如下磁致伸縮應(yīng)變:

(12)

結(jié)合式(7)可得楊氏模量

(13)

根據(jù)飽和楊氏模量與ΔE的關(guān)系可知

ΔE=[Es-E(H,σ)]/E(H,σ)×100%

(14)

ΔE效應(yīng)是磁致伸縮材料在應(yīng)力和磁場作用下磁矩旋轉(zhuǎn)的結(jié)果，表現(xiàn)出應(yīng)力和磁場的雙重依賴性。

2 磁機械效應(yīng)和變剛度效應(yīng)分析

2.1 磁機械效應(yīng)

將提出模型的參數(shù)設(shè)置為：Mws=1×106A/m，λws=4.17×10-6，σs=300 MPa，β=2.5，k/μ0=500，a=2 500，k1=-1.832 5×10-12，α=1.44×10-3，κ=0.005，δ0=0.015，?=0.99，可得到不同應(yīng)力條件下磁化率隨磁場的變化曲線(如圖1所示)。

(a)不考慮材料的磁滯

(b) 考慮材料的磁滯

由圖1可知，磁化率隨著磁場增大而降低，直至趨于飽和。應(yīng)力使材料的磁化率飽和值增大，且飽和值與應(yīng)力成正比；與壓應(yīng)力相比，拉應(yīng)力對飽和磁化強度的增加有更大的影響。從圖1(a)可以看出，不考慮材料的磁滯時，磁化率的初始值隨應(yīng)力的增加而減小。拉應(yīng)力狀態(tài)下材料的無磁滯磁化率的初始值高于無應(yīng)力狀態(tài)，而壓應(yīng)力狀態(tài)下的磁化率則低于無應(yīng)力狀態(tài)。隨著磁場的增加，壓應(yīng)力下的無磁滯磁化率值逐漸增大，并超過拉應(yīng)力下的值，直到接近飽和時再次變化。上述觀察結(jié)果與Kim等[15]的研究結(jié)果一致。而在實際磁化過程中，材料內(nèi)部不可避免地存在缺陷、位錯、晶格滑移等釘扎點，從而阻礙磁疇運動，導致磁滯損耗。因此，在考慮材料的磁滯時(圖1(b))，材料的磁化率在低磁場時會出現(xiàn)一個轉(zhuǎn)折點，這會造成磁化率隨磁場的增大先增大后減小，而其他變化均與不存在磁滯時一致。

2.2 ΔE效應(yīng)

ΔE效應(yīng)是指鐵磁材料的楊氏模量在磁機械耦合過程中表現(xiàn)出磁場和應(yīng)力的耦合函數(shù)特性。文獻[16]驗證了磁致伸縮應(yīng)變方程，本節(jié)研究不同磁場下ΔE與應(yīng)力之間的關(guān)系，以實現(xiàn)材料在應(yīng)力作用下變剛度現(xiàn)象的可視化。

將本節(jié)模型的參數(shù)設(shè)置為a=1 500，δ0=0.18，?=0.75，Es=210 GPa，其他參數(shù)與2.1節(jié)相同，可得到不同磁場下鐵磁材料ΔE與應(yīng)力之間的關(guān)系，如圖2所示。當應(yīng)力為-200～200 MPa時，ΔE的峰值為0.5% ～ -3.5%。在弱磁場下，ΔE在拉應(yīng)力狀態(tài)下達到峰值，而在強磁場下，ΔE在壓應(yīng)力狀態(tài)下達到峰值。然而，隨著磁場的增加，ΔE的峰值隨著磁場的增加而增加，并逐漸向較大的壓應(yīng)力移動。在相同的磁場下，隨著應(yīng)力的逐漸增加，ΔE趨于零，這意味著楊氏模量逐漸飽和。當應(yīng)力達到一定程度時，磁場對ΔE的影響減小，因為磁場不能移動或旋轉(zhuǎn)疇壁，即由于磁場引起的磁致伸縮應(yīng)變趨于零，磁疇壁相對于磁場引起的應(yīng)力運動或旋轉(zhuǎn)幾乎可以忽略不計。除上述分析外，在強磁場下，鐵磁材料的壓應(yīng)力截面ΔE存在一個跳躍點，這是因為隨著壓應(yīng)力的增加，磁致伸縮應(yīng)變的影響遠小于應(yīng)力的影響。

圖2 不同磁場下鐵磁材料ΔE與應(yīng)力的關(guān)系

3 數(shù)值仿真

在數(shù)值仿真過程中，利用均勻磁場和磁導率模型建立了應(yīng)力、磁場和磁導率之間的關(guān)系。在引入材料磁導率與應(yīng)力的數(shù)值關(guān)系后，首先加載試件得到內(nèi)部節(jié)點的應(yīng)力值，然后進行磁耦合求解。模型仿真過程中施加的磁場如圖3所示。

圖3 仿真過程中施加到模型的磁場

3.1 仿真模型驗證

為驗證本文提出的數(shù)值仿真方法的可行性，利用具有不同缺陷的樣品進行仿真，得到采集線上的漏磁場信號和漏磁通密度信號，并將仿真結(jié)果與實驗結(jié)果[22-24]進行比較。

3.1.1 中心孔缺陷

本文設(shè)計的中心孔半徑為1.6 mm、深度為2 mm，其信號采集路線如圖4所示。將仿真得到的漏磁場法向分量和切向分量與文獻[22]中圖7的數(shù)據(jù)進行比較，結(jié)果如圖5所示。

圖4 中心孔缺陷的信號采集路線

(a)法向分量

(b)切向分量

圖5表明漏磁場的法向分量過零點，切向分量存在極值。仿真得到漏磁場分量的變化與文獻[22]中漏磁場的變化一致。圖5中也存在一定的差異，主要體現(xiàn)在本文模擬結(jié)果的數(shù)值與文獻[22]的實驗結(jié)果之間有一定的偏差，因為仿真模型中使用的磁場為250 A /m，而文獻[22]的研究中的磁場是地磁場。但是，從總體趨勢來看，本文模擬模型得到的結(jié)果與文獻[22]的研究結(jié)果有很好的一致性。說明本文的仿真模型在描述鐵磁材料缺陷引起的漏磁場變化方面表現(xiàn)良好。

仿真獲得的漏磁通信號法向和切向分量與樊清泉等[23]實驗結(jié)果的對比見圖6。圖6(a)為不同拉伸載荷下中心孔缺陷對不同位置的漏磁通密度法向分量的影響。由圖4可知，點6在圓形缺陷的邊緣。漏磁通信號的法向曲線在采集點1～5和7～11處近似為一條斜線，信號值隨應(yīng)力的增大而增大。如圖6(a)所示，采集點1～4和7～11的信號關(guān)于坐標點(6, 0)中心對稱，而在缺陷圓周方向的點6存在一定的突變，且點6的信號突變值隨著拉伸載荷的增加而增加。如圖6(b)所示，采集點1～5和7～11的漏磁通切向信號關(guān)于x=6軸對稱，且峰值出現(xiàn)在采集點6處。根據(jù)圖6結(jié)果及上述分析可知，均勻磁場磁化下的仿真結(jié)果與文獻[23]的實驗結(jié)果較吻合。

(a)法向分量

(b)切向分量

3.1.2 焊接區(qū)裂紋

Wilson等[24]測量了焊縫裂紋區(qū)域的磁場分布，試樣的焊縫裂紋分布如圖7所示。試樣由兩2塊300 mm×180 mm×12 mm鋼材組成，測量曲線垂直于焊縫裂紋。

圖7 焊接試樣

仿真獲得的漏磁通強度與Wilson等[24]實驗結(jié)果比較見圖8。由圖8(a)可知，法向磁場分量分布呈倒S形，切向磁場分量對稱分布在裂紋兩側(cè)，在裂紋處有一個極值(如圖8(b)所示)?？傮w而言，仿真結(jié)果的變化趨勢與Wilson等[24]的實驗結(jié)果吻合較好。但仿真得到的磁場法向分量或切向分量與Wilson等[24]的實驗結(jié)果分別相差一個或兩個數(shù)量級，這可能是由于本文中的磁場為250 A/m，而Wilson等[24]研究中的磁場是地磁場。另外，在Wilson等[24]的研究中，缺陷兩側(cè)對稱位置的磁場值不同，這可能是在實驗中，焊縫附近存在復(fù)雜的應(yīng)力分布，而本文的仿真將焊縫等效為缺陷，因此使仿真結(jié)果和Wilson等[24]的實際實驗結(jié)果存在一定的差異。

(a)法向分量

(b)切向分量

3.2 應(yīng)力和缺陷對漏磁場的影響

對具有圓孔缺陷的樣品分別施加0、5、10、30、50 MPa的拉伸載荷，研究應(yīng)力對樣品漏磁場信號的影響。圖4中信號采集路徑上點6的應(yīng)力和磁導率值如圖9所示。

圖9 不同拉伸載荷下磁導率和應(yīng)力的變化

帶中心孔缺陷樣品的漏磁場信號見圖10.

(a)法向分量

(b)切向分量

由圖10可知，在采集路徑上，法向磁場信號呈類S形曲線，切向磁場信號呈類錐形曲線，且隨著拉伸載荷增大，二者的極值均先減小后增大。在x=0 mm處，出現(xiàn)切向磁場信號的峰值，在50 MPa的拉伸載荷下，切向磁場的峰值最大。距缺陷一定距離處的切向漏磁場信號與缺陷邊緣處的信號存在明顯的差異。距缺陷一定距離處的磁場值隨著拉伸載荷的增加先減小后增大，切向漏磁場信號分量在無應(yīng)力狀態(tài)下最大。同時可看出，不同拉伸載荷下的材料漏磁場信號存在一定差異，這是由于在無應(yīng)力狀態(tài)下，鐵磁材料的磁疇處于無序狀態(tài)，而在施加于鐵磁材料的應(yīng)力和磁場下，由于磁機械耦合效應(yīng)，磁疇壁在材料內(nèi)部發(fā)生微觀運動，進而導致不同應(yīng)力下的表面漏磁場存在差異。

改變矩形孔缺陷長度后的漏磁場信號采集線如圖11所示。圖12為不同缺陷長度下漏磁場信號沿采集路徑1的變化曲線。

圖11 矩形孔缺陷處漏磁場的信號采集路徑

(a)法向分量

(b)切向分量

如圖12(a)所示，缺陷中心位置對應(yīng)的法向磁場分量接近于零，漏磁場的峰值隨著缺陷長度的增加而逐漸減小。峰谷之間的距離隨著缺陷長度的增加而增加，呈正相關(guān)。如圖12(b)所示，切向漏磁場分量的最大值隨著缺陷長度的增加而減小。在缺陷邊緣，切向漏磁場分量呈凹形對稱曲線。隨著缺陷長度的增加，切向漏磁場分量的峰跨度呈線性關(guān)系增大，即切向漏磁場的峰跨度越大，缺陷長度越大。

圖13為漏磁場信號沿采集路徑2的變化曲線。如圖13(a)所示，缺陷中心位置對應(yīng)的法向漏磁場分量幾乎為零。法向漏磁場分量的峰值隨著缺陷長度的增加而增加，呈正相關(guān)。峰谷間距不隨缺陷長度變化，這與采集路徑1上的信號分布不同。如圖13(b)所示，缺陷中心位置對應(yīng)的切向漏磁場分量大于相鄰兩側(cè)的漏磁場分量，呈中間高，兩側(cè)低的凸形。切向漏磁場分量的峰值隨著缺陷長度的增加而增加，呈正相關(guān)。即切向漏磁場分量的峰值越大，缺陷長度越大。同時，漏磁場的峰值跨度與缺陷長度呈明顯的正線性相關(guān)，即切向漏磁場分量的跨度隨缺陷長度的增大而增大。

(a)法向分量

(b)切向分量

4 結(jié) 論

本文將物理模型與數(shù)值分析過程相結(jié)合，通過數(shù)值仿真軟件對鐵磁材料在均勻磁場磁化作用下的漏磁信號分布進行了分析，可以得出以下結(jié)論：

1)建立了新的磁彈耦合模型和ΔE模型，分析了鐵磁材料的磁機械效應(yīng)和變剛度效應(yīng)。通過數(shù)值分析軟件得到拉伸載荷下缺陷試樣的表面漏磁信號，結(jié)果與已有文獻的研究結(jié)果一致，證明了該方法在鐵磁材料數(shù)值分析中的可行性和準確性。

2)在拉伸載荷作用下，法向磁場信號呈類S形曲線，切向磁場信號呈類錐形曲線，其極值均隨載荷增加先減小后增大。由于磁機械耦合效應(yīng)的存在，漏磁場切向分量在缺陷中心位置處50 MPa的拉應(yīng)力狀態(tài)下最大，而在遠離缺陷處無應(yīng)力狀態(tài)下最大。

3)不同采集路徑獲取的信號存在很大的差異，采集路線1和2上對應(yīng)缺陷中心位置的切向信號分別顯示為凹形和凸形。缺陷邊緣路徑上漏磁場峰值與缺陷長度呈負相關(guān)，而峰值距離和跨度卻相反。遠離缺陷的采集路線上，漏磁場信號的峰值和跨度均與缺陷長度呈正相關(guān)。該研究結(jié)果為磁性無損檢測中缺陷的準確定位提供一定的參考。

4)磁信號的影響因素較多，而且具有一定的耦合特性。因此，要明確各種干擾因素對磁信號的影響，提高檢測信號的準確性，還需要結(jié)合其他技術(shù)和信號分析方法進行進一步研究。