程麥理，王弘起，馬越，李大衛(wèi)，應仟壹

（1.延安大學建筑工程學院，陜西 延安 716000；2.陜西建工第十三建設集團有限公司，陜西 延安 716000）

在豎向荷載作用下拱結構是會產(chǎn)生水平支反力的推力結構［1］，兩鉸拱以其承載力高、施工方便、造型美觀等優(yōu)勢在工業(yè)與民用建筑工程、橋梁工程等方面應用廣泛。拱結構在荷載作用下的支反力、截面內(nèi)力及拱軸變形是反映其工程承載性能的重要指標，拱軸線形對荷載作用的敏感性差異巨大［2］，拱軸線形建模及承載性能分析是拱結構研究的重要方法。

豎向荷載作用下使拱軸處于無彎矩狀態(tài)的軸線稱為拱的合理拱軸線，因?qū)嶋H工程結構服役期間荷載變化大，合理拱軸線很難統(tǒng)一［1］。對于兩鉸拱拱軸，馮彩霞等［3］以彎曲應變能函數(shù)為優(yōu)化目標，結合拱肋跨中豎向位移研究了兩鉸拱的拱軸線形優(yōu)化；胡常福等［4］通過對兩鉸拱的索拱橋拱軸進行幾何非線性迭代優(yōu)化，解決了考慮幾何非線性超大跨徑索拱橋拱軸線形的選擇問題。拱軸線形優(yōu)化可改善拱軸應力分布，提高拱結構承載性能，LIU等［5］通過對豎向荷載作用下拱結構各節(jié)點坐標函數(shù)推導給出拱的壓力線，探討了合理拱軸線的確定及優(yōu)化方法；胡常福等［6］通過對合理拱軸解析，創(chuàng)新性的提出多源荷載下合理拱軸的線形組合法，該法可簡便確定多源荷載下拱軸的合理線形；杜安亮等［7］根據(jù)對分段荷載作用下拱結構的內(nèi)力分析，研究了合理拱軸線的曲線方程及拱軸線形修正方法。在拱結構工程實踐中，拋物線形拱軸力學性能良好，李新平等［8-9］采用彈性中心法建立拋物線無鉸拱的力法正則方程，推導給出了典型荷載作用下拋物線拱內(nèi)力解析計算公式；EROGLU等［10］對具有集中損傷的拋物線拱精確靜力解進行了解析研究。徑向均布荷載作用下，圓弧拱是合理拱軸線，解恒燕等［11］對兩種單桿型圓弧拱進行有限元分析，探究了豎向均布荷載下的幾何非線性屈曲性能。在拱橋結構拱軸線分析方面，喬景川等［12］對鋼管混凝土拱橋采用不同拱軸線形時的內(nèi)力進行分析，探討了拱軸線對結構承載性能的影響；YANG等［13］通過推導鋼箱-混凝土組合拱橋變截面合理拱軸線方程，采用回歸分析方法擬合給出最優(yōu)拱軸線公式。

本文通過對曲線拱軸進行承載理論及有限元分析，研究了全跨均布荷載、半跨均布偏載作用下不同曲線兩鉸拱結構的支座反力、拱軸內(nèi)力及其變形規(guī)律。研究結果可用于指導拱結構的拱軸線形方案比選及結構設計。

1 曲線拱軸承載理論

兩鉸拱軸曲線在豎向分布荷載作用下，拱腳支反力及指定截面內(nèi)力是反映曲線拱軸承載性能的主要指標。圖1給出了曲線拱結構在任意分布荷載作用下的分析模型，結合平面結構靜力分析及數(shù)值解析計算，根據(jù)圖2整體隔離體模型，拱結構支反力可表示為

其中，F(xiàn)Ax、FAy分別為支點A的水平、豎向支反力；FBx、FBy分別為支點B的水平、豎向支反力；q（x）為作用于拱軸的豎向任意分布荷載；l、f分別為拱軸的跨度和矢高。

對于超靜定的兩鉸拱結構，式（3）中兩支點水平反力耦合，需根據(jù)拱軸曲線方程及具體荷載布置結合超靜定結構的變形位移協(xié)調(diào)條件進一步確定求解。

圖1 曲線拱分析模型

圖2 整體隔離體模型

對于任意指定截面C，按圖3局部隔離體的截面內(nèi)力規(guī)定方向，其內(nèi)力可表示為

其中，xC、yC為指定截面C的水平、豎向坐標；φC為截面C與y軸的夾角，計算時對于右半拱截面，φC取負值。

圖3 局部隔離體模型

2 典型拱曲線建立

進行拱類結構設計分析時，通常需明確拱軸曲線方程以實現(xiàn)對拱軸內(nèi)力及變形的計算控制，常用的拱軸曲線方程有圓弧拱、橢圓拱、拋物線拱及懸鏈線拱等［14］。為方便統(tǒng)一，在推導建立拱軸曲線時規(guī)定左拱腳為平面坐標系原點。

根據(jù)標準圓曲線方程，典型圓弧拱軸曲線方程可表示為

橢圓曲線拱軸可利用標準橢圓方程進行推導，得到其方程為

由橢圓曲線線形有效性知，橢圓拱軸曲線方程x取值范圍為0≤x≤l。

拱軸為拋物線時，其包含跨度與矢高的參數(shù)方程為

懸鏈線是一種常用工程曲線，其表征曲線拱軸時方程為

3 算例及模型

3.1 工程算例

某拱形建筑屋面拱肋為兩鉸拱結構，拱軸曲線矢高f=2 m，跨度l=5 m，矢跨比0.4，拱軸系數(shù)m=2（懸鏈線拱軸）。圖4為典型圓曲線拱、橢圓拱、拋物線拱和懸鏈線拱的拱軸曲線。

拱軸采用200 mm×300 mm的矩形截面，材料為C40混凝土，彈性模量E=3.25×104N/mm2。主要對加載工況Ⅰ（全跨均布荷載，荷載集度q=1 kN/m）、工況Ⅱ（半跨均布偏載，荷載集度q=1 kN/m）進行計算，分析探討不同工況下拱軸線形對拱結構的支座反力、典型位置截面內(nèi)力及變形位移的影響規(guī)律。

圖4 拱軸曲線

3.2 有限元模型

為對比各典型拱軸曲線對拱軸內(nèi)力分布規(guī)律及變形特點的影響，本文借助有限元分析軟件Midas Civil建立曲線拱結構的有限元分析模型。根據(jù)工程算例概況，拱軸選用等截面梁單元，單元長度沿拱結構跨長方向投影相等，拱軸線形采用以直代曲方式建立，各曲線拱軸梁單元數(shù)量均為50個。拱結構的左、右拱腳均采用固定鉸支座模擬。荷載工況按工程算例要求設置，采用梁單元均布荷載。

4 曲線拱承載分析

4.1 支座反力

拱結構在荷載作用下的支座反力是反映拱結構承載性能的一項關鍵指標，支座反力值是拱腳承載力設計的重要依據(jù)。表1、表2分別給出了在工況Ⅰ、工況Ⅱ作用下4種典型曲線拱軸拱結構的支座反力。

由表1可知，由于建立的各拱軸曲線均為對稱結構，在對稱荷載工況作用下兩支座豎向反力大小相等、方向相同，水平支反力大小相等、方向相反。通過對工況Ⅰ作用下四類拱結構支座反力分析發(fā)現(xiàn)，橢圓拱的豎向支反力最大為3.54 kN，而拋物線拱的豎向支反力最小為3.33 kN；拋物線拱的水平支反力最大為1.88 kN，橢圓拱的水平支反力最小為1.51 kN，橢圓拱的水平支反力是拋物線拱的80.3%。拋物線拱的水平支反力與豎向支反力的比值最大，達到56.5%；橢圓拱的水平支反力與豎向支反力比值最小，為42.7%，即表明該4類拱軸線形在工況Ⅰ荷載作用下支反力合力線傾角在60.5°~66.9°。

表1 工況Ⅰ作用下支座反力

分析表2可知，在工況Ⅱ作用下右支座豎向支反力相較左支座小得多，約為24.1%~28.5%；橢圓拱的左支座豎向支反力最大2.86 kN，拋物線拱最小2.60 kN。各曲線拱的左支座水平與豎向支反力比值約為26.2%~36.2%，右支座水平與豎向支反力比值約為108.7%~127%，亦即左、右支座支反力合力線傾角差異較大，左支座支反力合力線傾角約為73.3°，右支座支反力合力線傾角約為41.0°。對比表1，在工況Ⅱ作用下左支座和右支座的水平支反力均降低約50%，而右支座的豎向支反力降低約80%，左支座的豎向支反力降低約20%，結果表明拱結構的支座反力與荷載布置方式關系密切。

表2 工況Ⅱ作用下支座反力

4.2 拱軸內(nèi)力

拱結構在豎向荷載作用下拱軸主要內(nèi)力為軸力及彎矩，剪力通常較小且對拱軸的應力分布及變形位移影響較小，不是曲拱結構承載力設計的控制指標。本文根據(jù)荷載布置工況，主要對不同拱軸曲線拱結構的軸力、彎矩進行分析討論。

4.2.1 拱軸軸力

根據(jù)拱結構的靜力學分析可知，拱類結構在豎向荷載作用下的主要內(nèi)力是軸力，圖5給出了不同曲線拱軸在工況Ⅰ和工況Ⅱ作用下的最大、最小軸力。

由圖5可知，豎向荷載作用下拱軸最大、最小軸力均為壓力。各曲線拱軸在工況Ⅰ作用下最大軸力差異較小，拱軸最小軸力則差異較大，橢圓拱最小軸力為1.51 kN，而拋物線拱最小軸力為1.88 kN，相差達23.9%。在工況Ⅱ作用下，圓曲線拱和橢圓拱軸力最大值相較拋物線拱和懸鏈線拱大，而各拱結構的軸力最小值差異規(guī)律相反。對比圖5A和圖5B，工況Ⅱ作用下各類拱軸拱結構最大軸力相較工況Ⅰ降低約26%，而最小軸力降低約57%，工況Ⅱ總荷載大小相較工況Ⅰ降低50%，即表明拱軸軸力大小不僅與荷載量值有關，同時也與荷載的分布位置有關。

圖5 拱軸軸力

4.2.2 拱軸彎矩

拱軸彎矩內(nèi)力相較同等跨度、荷載的簡支梁結構小很多，但其對拱軸截面的應力分布極為不利，在進行拱結構設計分析時，拱軸的彎矩內(nèi)力是關鍵參量。圖6、圖7分別給出了各曲線拱軸在工況Ⅰ、工況Ⅱ作用下的拱軸彎矩圖。

圖6 工況Ⅰ作用下拱軸彎矩

分析圖6可知，圓曲線拱軸和橢圓拱軸在工況Ⅰ作用下其拱結構跨中為內(nèi)側受拉彎矩，兩側拱腳部位附近拱軸為外側受拉彎矩，而拋物線拱軸和懸鏈線拱軸則為跨中外側受拉彎矩，兩側拱腳部位附近拱軸為內(nèi)側受拉彎矩。對比各拱軸在工況Ⅰ作用下的彎矩幅值可知，4類拱軸線形中懸鏈線拱軸彎矩幅值為0.014 kN·m，橢圓拱軸彎矩幅值為-0.57 kN·m，表明橢圓線形拱結構的彎矩抵抗能力相較其余拱軸線形差。

圖7 工況Ⅱ作用下拱軸彎矩

由圖7可知，在半跨均布偏載的工況Ⅱ作用下，各類曲線拱軸彎矩分布表現(xiàn)出顯著的一致性規(guī)律，即左半跨拱軸內(nèi)側受拉、右半跨拱軸外側受拉，且拱軸的正負彎矩峰值差異不大。此外，在工況Ⅱ作用下橢圓拱軸在左側半拱l(fā)/8跨處有反彎點，左支座距l(xiāng)/8跨處拱軸彎矩為外側受拉，但幅值較小，該特點其余三類拱軸均不具有，這主要是由于橢圓拱結構在靠近拱腳位置的拱軸線切線斜率較大，豎向荷載作用下有外傾趨勢。

對比圖6和圖7，工況Ⅰ作用下拱結構的彎矩分布相對均勻，而工況Ⅱ的偏載作用使得拱軸彎矩正負幅值差異較大，拱軸彎矩內(nèi)力對荷載的布置形式較敏感，在拱結構使用期間盡量避免偏載造成的結構彎矩內(nèi)力分布不均。

4.3 拱軸變形

根據(jù)拱軸形狀及荷載工況模式，重點對工況Ⅰ作用下l/2跨豎向位移，工況Ⅱ作用下l/4跨、l/2跨、3l/4跨的水平和豎向位移進行規(guī)律分析。表3為不同工況下各類曲線拱軸關鍵截面的位移。

由表3可知，在工況Ⅰ荷載作用下橢圓拱l(fā)/2跨的豎向位移最大為-7.73×10-2mm，拋物線拱l(fā)/2跨的豎向位移最小為0.03×10-2mm。工況Ⅱ作用下，拱軸形態(tài)呈現(xiàn)明顯的水平側移，其水平位移量值較豎向大。對比不同工況下各類拱軸跨中豎向位移發(fā)現(xiàn)，拋物線拱和懸鏈線拱在工況Ⅱ作用下豎向位移較工況Ⅰ作用下大，而圓曲線拱和橢圓拱在工況Ⅱ作用下豎向位移較工況Ⅰ作用下小。

表3 拱軸關鍵點位移

5 結論

本文通過對典型圓曲線拱、橢圓拱、拋物線拱及懸鏈線拱結構進行全跨均布荷載和半跨均布偏載作用分析，探討了各類曲線拱結構的支座反力、截面內(nèi)力及拱軸變形規(guī)律，得到如下結論：

1）各曲線拱支反力在不同荷載下表現(xiàn)各異。豎向均布荷載作用下橢圓拱豎向支反力最大、水平向支反力最小，而拋物線拱豎向支反力最小、豎向支反力最大；半跨偏載作用下左右支座反力均有降低，右支座水平與豎向支反力比值較左支座大得多。

2）不同豎向荷載工況下拱軸軸力均為壓力。全跨均布荷載及半跨均布偏載作用下，拱軸軸力均為壓力，且偏載作用下橢圓拱軸力最大、拋物線拱軸力最小。

3）不同曲線拱軸彎矩分布規(guī)律差異大。滿跨豎向均載工況下，拋物線拱和懸鏈線拱的彎矩分布規(guī)律與圓曲線拱和橢圓拱彎矩分布規(guī)律相反，但在半跨偏載作用下各曲線拱軸彎矩分布規(guī)律基本一致。

4）拱軸變形形態(tài)與荷載作用方式關系密切。全跨均布荷載作用下拱結構變形對稱，而在半跨豎向均布偏載作用下拱結構發(fā)生明顯水平側移，變形有反對稱特點。