李文濤 張賽 賀佳貝 鄧舟坤 楊奇武 商雄軍 周慶華

1(長(zhǎng)沙理工大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 長(zhǎng)沙 410114)

2(中國(guó)科學(xué)院空間天氣學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190)

3(騰訊云計(jì)算(長(zhǎng)沙)有限責(zé)任公司 長(zhǎng)沙 410221)

4(湖南省普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 近地空間電磁環(huán)境監(jiān)測(cè)與建模實(shí)驗(yàn)室 長(zhǎng)沙 410114)

0 引言

極光千米波（Auroral Kilometric Radiation，AKR）是地球磁層等離子體中相速度大于光速的電磁波，頻率在30～800 kHz，功率可達(dá)107～109W[1-3]。目前，普遍認(rèn)為極光千米波是來(lái)自磁尾的超熱電子（能量1～10 keV）在極區(qū)由于電子回旋注入不穩(wěn)定性ECMI（Electron Cyclotron Maser Instability）激發(fā)的[4]?？臻g等離子體中的極光千米波存在三種模式，即右旋奇異（Right-hand Extraordinary,R-X）模、左旋尋常(L-O) 模和左旋奇異（Left-hand Extraordinary,L-X）模。極光千米波的產(chǎn)生機(jī)制預(yù)測(cè)地球磁層中的極光千米波主要以R-X 模為主，很多觀測(cè)數(shù)據(jù)也證實(shí)了這一點(diǎn)[4-8]。Summer等[9]研究了第一階共振驅(qū)動(dòng)的極光千米波與輻射帶電子的相互作用，結(jié)果表明極光千米波能夠?qū)Ω吣茈娮赢a(chǎn)生明顯加速效應(yīng)。隨后，Xiao等[10]構(gòu)建了包含波磁場(chǎng)分量的極光千米波局地?cái)U(kuò)散系數(shù)表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，Xiao等[11,12]隨后使用假設(shè)的極光千米波磁場(chǎng)分量參數(shù)，計(jì)算了由15 階共振驅(qū)動(dòng)的極光千米波彈跳平均擴(kuò)散系數(shù)，結(jié)果表明極光千米波能在一天內(nèi)對(duì)電子產(chǎn)生有效加速，甚至能將電子能量加速至約100 倍，而這些被加速的電子有可能嚴(yán)重威脅航空系統(tǒng)及空間天氣。

由于極光千米波的源區(qū)位于高度為1～3Re的高緯極光區(qū)[1,3,13]，因此早期對(duì)極光千米波的觀測(cè)主要集中在高緯區(qū)域。2015 年Kurth等[14]基于Van Allen 探測(cè)器的數(shù)據(jù)報(bào)道了輻射帶低緯區(qū)域的極光千米波，說(shuō)明產(chǎn)生于極區(qū)的極光千米波能夠出現(xiàn)在輻射帶甚至赤道附近。Xiao等[15]利用3D 射線追蹤方法研究了不同地磁條件下極光千米波的傳播，證明在一定條件下極光千米波可以從高緯極區(qū)傳播至低緯區(qū)域甚至赤道區(qū)域。2019 年基于Van Allen 探測(cè)器數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，輻射帶的極光千米波存在于L為3～6.5 和整個(gè)磁地方時(shí)的廣泛區(qū)域[16,17]。

由于缺乏高頻電磁波磁場(chǎng)分量的觀測(cè)數(shù)據(jù)和其他判斷電磁波極化的手段，之前對(duì)極光千米波的傳播機(jī)制及其與電子相互作用的研究主要是基于極光千米波為R-X 模的假設(shè)。雖然Hanasz等[18]2003 年在使用Interball-2 數(shù)據(jù)研究極光千米波發(fā)生率分布的工作中發(fā)現(xiàn)磁層高緯區(qū)域存在L-O 模，但是輻射帶的中低緯區(qū)域長(zhǎng)期以來(lái)沒(méi)有關(guān)于L-O 模的報(bào)道，因此關(guān)于輻射帶中L-O 模與電子之間的相互作用尚未被系統(tǒng)性研究。2018 年Nakamura等[19]利用Arase 衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)報(bào)道了極光千米波極化的研究事例，發(fā)現(xiàn)在輻射帶中不僅存在R-X 模，同時(shí)也存在L-O 模。基于此，本文通過(guò)改變L-O 模的峰值頻率(ωm)、傳播角(θ)分布和緯度(λ)分布，計(jì)算電子彈跳平均擴(kuò)散系數(shù)，參數(shù)化研究L-O 模與外輻射帶高能電子的相互作用。

1 模型介紹

在忽略離子運(yùn)動(dòng)及無(wú)碰撞的冷等離子體時(shí)，高頻斜傳播的L-O 模的色散關(guān)系為[9,10,20]

其中，μ為等離子體的折射率，ω為波的角頻率，ωpe為電子等離子體頻率，Ωe為電子回旋頻率，θ為波傳播角。根據(jù)波的色散關(guān)系得到L-O 模的下截止頻率為

電磁波與電子之間的n階諧波回旋共振條件為

其中，k‖=kcosθ為波的平行波數(shù)；v‖=vcosα，v為電子速度，α為電 子投擲角；γ為洛倫茲因子。由于極光千米波為超光速波，由其定義可知相速度u=ω/k ＞c，回旋共振階數(shù)n只能取負(fù)值-1，-2，-3，···，∞。

在描述波粒相互作用的準(zhǔn)線性擴(kuò)散方程中，彈跳平均的投擲角擴(kuò)散系數(shù)、動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)和交叉投擲角擴(kuò)散系數(shù)＜Dαα＞，＜Dpp＞，＜Dαp＞=＜Dpα＞具體形式為[21,22]

式中，歸一化的彈跳時(shí)間可以通過(guò)T(αe)≈1.30-0.56sinαe得 到，這里αe為 電子赤道投擲角；λm為L(zhǎng)-O模存在的最大緯度，Dαα，Dpp，Dαp=Dpα分別為局地的投擲角擴(kuò)散系數(shù)、動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)及交叉投擲角-動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)，其均具有與p2/t相同的量綱[22-24]。局地?cái)U(kuò)散系數(shù)矩陣D的每個(gè)元素均可以表示為一個(gè)在波的傳播角范圍內(nèi)對(duì)X（X=tanθ）的積分和對(duì)所有共振階數(shù)n的求和，即

其中，Xl為 傳播角正切值的下限，Xu為傳播角正切值的上限，并滿足高斯分布。

根據(jù)以往研究[10]可以求得投擲角擴(kuò)散系數(shù)

其中，B0為背景磁場(chǎng)強(qiáng)度，ω取所有共振頻率，|Φn,k|2與 波的色散關(guān)系相關(guān)，N(ω)則是一個(gè)使得每單位頻率的波能量等于的歸一化因子，后兩個(gè)量在之前的研究中已經(jīng)得到[22,25]。而交叉及動(dòng)量局地?cái)U(kuò)散系數(shù)與的關(guān)系如下：

2 數(shù)值結(jié)果與分析

此前對(duì)極光千米波的研究表明，在一定條件下極光千米波能夠從高緯極區(qū)傳播進(jìn)入輻射帶的低緯區(qū)域，甚至到達(dá)低緯赤道附近。在這些區(qū)域，輻射帶中的高能電子會(huì)與極光千米波發(fā)生回旋共振，這可能引起高能電子的顯著加速，從而導(dǎo)致空間天氣災(zāi)害的發(fā)生。Xiao等[11]曾針對(duì)R-X 模的極光千米波對(duì)輻射帶電子的動(dòng)力學(xué)演化進(jìn)行了系統(tǒng)的參數(shù)化研究。以此為參考，這里通過(guò)計(jì)算L-O 模在不同的峰值頻率(ωm)、傳播角(θ) 分布和波緯度(λ)分布情況下，輻射帶電子的彈跳平均擴(kuò)散系數(shù)，對(duì)L-O 模與輻射帶電子的相互作用進(jìn)行參數(shù)化研究。

分析中假設(shè)是在強(qiáng)磁暴（KP=5）期間的 L-O 模與高能電子發(fā)生階數(shù)n為-1～15 的回旋共振作用，其發(fā)生區(qū)域?yàn)長(zhǎng)=4.5 的外輻射帶區(qū)域。在磁暴發(fā)生期間，等離子層頂會(huì)向地球壓縮，導(dǎo)致所選區(qū)域的等離子體密度變低（這里選取的等離子體密度參數(shù)ωpe2/Ωe2=2.0，電子數(shù)密度n0=ωpe2ε0me/e2=2.0Ωe2ε0me/e2，其中ε0為 介電常數(shù)，me為電子質(zhì)量，e為電子電荷量值）[26]；極光千米波的波幅度在磁暴時(shí)可以達(dá)到0.1 nT 左右[27]，這里選取L-O 模的幅度Bt=0.1 nT。根據(jù)既有研究結(jié)果，極光千米波的傳播路徑十分傾斜[9,28]，且目前缺少輻射帶關(guān)于極光千米波傳播角的具體觀測(cè)數(shù)據(jù)。為使模擬結(jié)果更加準(zhǔn)確，這里選取較大的 L-O 模傳播角范圍作為計(jì)算擴(kuò)散系數(shù)的參數(shù)。采用的參數(shù)具體如下：Xl=tan5°，Xu=tan89°，Xm=tan60°，Xω=tan50°。選擇的頻率參數(shù)為ωl/(2π)=10 kHz，ωu/(2π)=500 kHz，δω/(2π)=100 kHz。同時(shí)假設(shè)L-O 模存在于沿著整個(gè)磁場(chǎng)線的所有緯度，具有恒定的波幅Bt=0.1 nT。

2.1 波的不同峰值頻率對(duì)輻射帶電子的影響

為研究峰值頻率ωm對(duì)L-O 模與輻射帶電子相互作用的影響，分別考慮ωm/(2π)=150 kHz，250 kHz和350 kHz三種情況。

從圖1 中可以明顯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)峰值頻率為150 kHz時(shí)，1 MeV 以下能量電子的有效擴(kuò)散系數(shù)（＞ 10-9s-1）覆蓋了整個(gè)投擲角范圍，擴(kuò)散系數(shù)隨著電子能量的增加而逐漸減小。隨著波的峰值頻率從150 kHz 增大到350 kHz，投擲角、動(dòng)量以及交叉擴(kuò)散系數(shù)覆蓋的投擲角區(qū)域逐漸減小。同時(shí)，從圖1 中可以得知，對(duì)于三種峰值頻率的L-O 模與電子相互作用，有效的動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)覆蓋的投擲角范圍均大于投擲角擴(kuò)散系數(shù)覆蓋范圍。

圖1 不同峰值頻率的投擲角（上）、動(dòng)量（中）及投擲角-動(dòng)量交叉（下）彈跳平均擴(kuò)散系數(shù)2D 結(jié)果Fig.1 2D bounce-averaged diffusion coefficients of pitch angle (top),momentum (middle),and cross (bottom)

圖2 表明，在小投擲角區(qū)域（＜ 30°），峰值頻率為150 kHz 的L-O 模對(duì)1 MeV 的電子，動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)比投擲角擴(kuò)散系數(shù)約高10 倍；但是在大投擲角處（＞ 60°），動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)比投擲角擴(kuò)散系數(shù)高約100 倍，這說(shuō)明L-O 模對(duì)電子的主要作用是導(dǎo)致其動(dòng)量擴(kuò)散，因此L-O 模具有加速電子的可能。圖3 給出了1 MeV 能量電子的投擲角擴(kuò)散系數(shù)與動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)的對(duì)比，研究表明，對(duì)于這三種不同峰值頻率的L-O 模，擴(kuò)散系數(shù)均隨投擲角的增大而下降，特別是在峰值頻率為250 kHz 和350 kHz 時(shí)，隨著投擲角的增大，擴(kuò)散系數(shù)的下降更為迅速。此外，對(duì)比分析三種頻率的擴(kuò)散系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)彈跳平均擴(kuò)散系數(shù)會(huì)隨著峰值頻率的增加而降低。這是因?yàn)樵谄渌麠l件不變的情況下，L-O 模與電子共振時(shí)，共振頻率大多集中在較低頻率且不會(huì)隨峰值頻率變化，當(dāng)峰值頻率增加時(shí)，這些共振頻率會(huì)越遠(yuǎn)離峰值頻率，共振能量將減弱，使得擴(kuò)散系數(shù)減小，這與R-X 模的情況較為相似[11]。

圖2 不同峰值頻率的投擲角（上）、動(dòng)量（中）及投擲角-動(dòng)量交叉（下）彈跳平均擴(kuò)散系數(shù)1D 結(jié)果Fig.2 1D bounce-averaged diffusion coefficients of pitch angle (top),momentum (middle),and cross (bottom)

圖3 能量為1 MeV 的投擲角擴(kuò)散系數(shù)（Dαα）與動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)（Dpp）的對(duì)比Fig.3 Comparison of the pitch angle diffusion coefficient (Dαα) and momentum diffusion coefficient (Dpp) with energy of 1 MeV

2.2 波的不同傳播角分布對(duì)輻射帶電子的影響

此前針對(duì)準(zhǔn)線性散射率對(duì)亞光速合聲波傳播角分布情況的敏感性研究發(fā)現(xiàn)，散射率對(duì)高能量波的傳播角分布相對(duì)不敏感[29]。2007 年Xiao等[28]基于射線追蹤技術(shù)針對(duì)極光千米波傳播路徑的研究發(fā)現(xiàn)，極光千米波初始傳播角的不同會(huì)在一定程度上影響其傳播路徑。

為研究不同傳播角對(duì)L-O 模與輻射帶電子間相互作用的影響，選取了4 組不同L-O 模傳播角分布范圍進(jìn)行計(jì)算與分析。這4 組范圍分別是：完整傳播角范圍5°＜θ＜89°，中等及大的傳播角范圍25°＜θ＜89°，大傳播角范圍45°＜θ＜89°，中等傳播角范圍45°＜θ＜65°。計(jì)算采用的波的傳播角參數(shù)均與2.1 節(jié)中一致。在4 種傳播角范圍的計(jì)算中采用的L-O 模峰值頻率均為ωm/(2π)=150 kHz。

圖4 給出的是在4 種不同L-O 模傳播角分布情況下的二維電子彈跳平均擴(kuò)散系數(shù)。從情況1～3 可以明顯看出，在最小傳播角不同而最大傳播角相同的條件下，三種情況之間的擴(kuò)散系數(shù)沒(méi)有明顯差異。圖4 中，情況4 采用的最小傳播角與情況3 是一致的，最大傳播角則與前三種情況不同，但是可以發(fā)現(xiàn)情況4 的擴(kuò)散系數(shù)與前三種情況未發(fā)生較大變化，因此可從圖4 中得到在峰值傳播角及半寬帶不變的情況下，傳播角范圍對(duì)L-O 模與電子相互作用的擴(kuò)散系數(shù)影響很小。

圖4 不同傳播角分布的投擲角（左）、動(dòng)量（中）及投擲角-動(dòng)量交叉（右）彈跳平均擴(kuò)散系數(shù)2D 結(jié)果Fig.4 2D bounce-averaged diffusion coefficients of pitch angle (left),momentum (middle),and cross (right) for different wave normal angle distributions

圖5 是與圖4 對(duì)應(yīng)的一維擴(kuò)散系數(shù)，與圖4 類似，在最小傳播角不同而最大傳播角相同的條件下（情況a～c），三種情況的擴(kuò)散系數(shù)沒(méi)有明顯差異。在最大傳播角變小后（情況j～l），擴(kuò)散系數(shù)相比前三種情況同樣未發(fā)生明顯變化，同樣也能說(shuō)明在峰值傳播角及半寬帶不變的情況下，L-O 模與電子相互作用的擴(kuò)散系數(shù)對(duì)傳播角范圍的依賴較弱。

圖5 不同傳播角分布的投擲角（左）、動(dòng)量（中）及投擲角-動(dòng)量交叉（右）彈跳平均擴(kuò)散系數(shù)1D 結(jié)果Fig.5 1D bounce-averaged diffusion coefficients of pitch angle (left),momentum (middle),and cross (right)for different wave normal angle distributions

2.3 波的不同緯度分布對(duì)輻射帶電子的影響

既有研究結(jié)果表明，波存在的緯度分布會(huì)影響其與粒子之間的相互作用[30,31]，R-X 模對(duì)電子的動(dòng)力學(xué)影響會(huì)隨著緯度的不同而發(fā)生變化，高緯的R-X 模會(huì)導(dǎo)致電子投擲角散射，而在赤道附近或者低緯處，則會(huì)有效加速電子[32-34]。

為了探究不同緯度分布對(duì)L-O 模與輻射帶電子相互作用的影響，同樣選擇三個(gè)具有代表性的L-O 模緯度分布范圍計(jì)算擴(kuò)散系數(shù)：所有緯度區(qū)域（λ＞0°），中高緯度區(qū)域（λ＞20°），高緯區(qū)域（λ＞40°）。在此計(jì)算中采用的L-O 模的峰值頻率同樣為ωm/(2π)=150 kHz。

圖6 給出的是在三種不同L-O 模緯度分布情況下，電子二維彈跳平均投擲角、動(dòng)量及投擲角-動(dòng)量交叉擴(kuò)散系數(shù)。從圖6(a)～(c)可以清晰發(fā)現(xiàn)，在緯度分布為所有緯度區(qū)域時(shí)，有效擴(kuò)散系數(shù)覆蓋了整個(gè)投擲角范圍。然而隨著緯度分布變?yōu)橹懈呔晠^(qū)域后，擴(kuò)散系數(shù)會(huì)移動(dòng)到較小的投擲角區(qū)域（＜60°）如圖6(d)～(f)所示。到了高緯區(qū)域時(shí)，擴(kuò)散系數(shù)只存在于30°以內(nèi)的投擲角區(qū)域，如圖6(g)～(i)所示。同時(shí)，隨著波存在緯度范圍的減小，擴(kuò)散系數(shù)會(huì)有一個(gè)數(shù)量級(jí)左右的減小。

圖6 不同緯度分布的投擲角（上）、動(dòng)量（中）及投擲角-動(dòng)量交叉（下）彈跳平均擴(kuò)散系數(shù)2D 結(jié)果Fig.6 2D bounce-averaged diffusion coefficients of pitch angle (top),momentum (middle),and cross (bottom) for different wave latitudinal distributions

圖7 是與圖6 對(duì)應(yīng)的不同能量電子的一維擴(kuò)散系數(shù)。如圖7(a)～(c)所示，當(dāng)緯度分布為整個(gè)緯度區(qū)域時(shí)，在整個(gè)投擲角區(qū)域中，擴(kuò)散系數(shù)變化較為平緩。但是在中高緯度區(qū)域，擴(kuò)散系數(shù)在投擲角為50°附近會(huì)急劇下降，如圖7(d)～(f)所示。而在高緯區(qū)域，在投擲角為25°時(shí)擴(kuò)散系數(shù)急劇下降，如圖7(g)～(i)所示。這說(shuō)明緯度分布對(duì)L-O 模與電子之間的相互作用有著較大影響，L-O 模存在的緯度變化會(huì)導(dǎo)致電子動(dòng)力學(xué)過(guò)程發(fā)生劇烈變化。

圖7 不同緯度分布的投擲角（上）、動(dòng)量（中）及投擲角-動(dòng)量交叉（下）彈跳平均擴(kuò)散系數(shù)1D 結(jié)果Fig.7 1D bounce-averaged diffusion coefficients of pitch angle (top),momentum (middle),and cross (bottom) for different wave latitudinal distributions

3 結(jié)論

通過(guò)使用L-O 模3 組不同的峰值頻率參數(shù)、4 組不同的傳播角分布參數(shù)以及3 組不同的緯度分布參數(shù)，分別計(jì)算了電子彈跳平均的投擲角、動(dòng)量及投擲角-動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)，探討了不同參數(shù)的L-O 模對(duì)輻射帶中高能電子的影響。得到結(jié)論如下。

（1）隨著L-O 模峰值頻率的增加，有效擴(kuò)散系數(shù)覆蓋的投擲角范圍會(huì)逐漸減小，并且擴(kuò)散系數(shù)也會(huì)逐漸減小。這可能是由于對(duì)電子彈跳平均擴(kuò)散系數(shù)的影響主要來(lái)自波高斯分布的峰值頻率附近的根，而共振頻率大多集中在較低的波頻率附近。此外，動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)均大于投擲角擴(kuò)散系數(shù)與交叉擴(kuò)散系數(shù)，最大高出約100 倍，這說(shuō)明L-O 模對(duì)電子的主要影響是導(dǎo)致其動(dòng)量擴(kuò)散，也證明L-O ?？赡軙?huì)對(duì)電子進(jìn)行有效加速。

（2）在L-O 模的峰值傳播角及半寬帶不變，最大傳播角相同時(shí)，其與電子相互作用的擴(kuò)散系數(shù)之間沒(méi)有明顯差異。在最大傳播角相同而最小傳播角不同時(shí)，擴(kuò)散系數(shù)同樣沒(méi)有發(fā)生較大變化，說(shuō)明L-O 模與電子相互作用的擴(kuò)散系數(shù)與傳播角范圍之間沒(méi)有很密切的聯(lián)系。

（3）當(dāng)緯度分布為整個(gè)緯度區(qū)域時(shí)，在所有投擲角范圍內(nèi)，擴(kuò)散系數(shù)的變化較為平緩。但是在緯度分布為中高緯區(qū)域時(shí)，擴(kuò)散系數(shù)在投擲角50°附近會(huì)急劇下降。而在高緯區(qū)域，在投擲角為25°時(shí)擴(kuò)散系數(shù)急劇下降。這說(shuō)明緯度同樣會(huì)對(duì)L-O 模與電子之間的相互作用造成較大影響，L-O 模的緯度分布變化會(huì)對(duì)其與電子的相互作用過(guò)程發(fā)生顯著影響。

需要指出的是，Denton等[35]2002 年的研究工作發(fā)現(xiàn)，電子密度沿磁力線會(huì)隨緯度的升高而增加，在L=4.5 的磁力線上，L-O 模分布的維度范圍內(nèi)電子密度變化不大（例如緯度50°處的電子密度是赤道處的1.76 倍）。在采用上述計(jì)算參數(shù)的情況下，場(chǎng)向密度變化對(duì)擴(kuò)散系數(shù)的影響較小。為突出L-O 模的頻率、傳播角和分布緯度等特性在與電子相互作用中的影響這一重點(diǎn)，同時(shí)也為了減少計(jì)算量，這里沒(méi)有討論場(chǎng)向密度變化對(duì)擴(kuò)散系數(shù)的影響，這方面研究將在今后工作中開(kāi)展。同時(shí)，計(jì)算采用了假設(shè)的波譜參數(shù)，進(jìn)一步的工作將基于衛(wèi)星對(duì)L-O 模波的觀測(cè)數(shù)據(jù)，研究其與輻射帶電子的相互作用。