李方紅?姜錫春

［摘要］ 構(gòu)建一種普適的教學范式在當下正彰顯出蓬勃的生命力，化散為整，由點到面，通過前后、上下聯(lián)通實現(xiàn)認知系統(tǒng)化，從學會到會學，真正為學生更好成長而奠基。概念教學應(yīng)著力培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，基于數(shù)學抽象的生發(fā)機制，構(gòu)建起“復演式”概念教學的范式，即包括概念產(chǎn)生、概念表象、概念抽象、概念外延、概念應(yīng)用、概念衍生六維一體的認知閉環(huán)鏈，包含情境復演、操作體驗、符號表征、類屬建構(gòu)、聯(lián)通生活、創(chuàng)新發(fā)展的一體化活動生態(tài)圈，助力學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的提升。

［關(guān)鍵詞］ 概念教學；復演式；倍的認識

數(shù)學抽象素養(yǎng)是數(shù)學核心素養(yǎng)的起點與原點，而數(shù)的概念、數(shù)量關(guān)系的概念又是數(shù)學抽象的起點與原點。小學數(shù)學四大板塊，數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐，均圍繞數(shù)與數(shù)量關(guān)系展開學習?？梢?，夯實概念教學，依托概念的研究與探索這個支點，讓學生經(jīng)歷數(shù)學抽象的完整過程，累積豐富的數(shù)學抽象經(jīng)驗與方法，提升數(shù)學抽象的意識與能力是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要抓手，也是課堂教學的著力點。對概念教學（數(shù)學抽象教學的支點）的研究與梳理彰顯出它的價值與必要性。

概念是數(shù)學抽象的基礎(chǔ)與核心內(nèi)容載體，是規(guī)律與結(jié)構(gòu)表征的基礎(chǔ)與起點。概念是思維活動的結(jié)果和產(chǎn)物，同時又是思維活動借以進行的單元。表達概念的語言形式是詞或詞組。概念都有內(nèi)涵和外延，即涵義和適用范圍?？梢姡瑢W生要能抽象出數(shù)學概念，必須對數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系有豐富的認識，并能抓住其本質(zhì)特征，通過數(shù)、符號、語詞對其進行記載與表征，還要清晰地理解概念的外延（即類屬，如整數(shù)概念的外延，就是指有哪些不同的整數(shù)，包括哪些整數(shù)）。在實際生活中加以應(yīng)用與拓展，才算完成了概念的內(nèi)化，完成了數(shù)學抽象，即先有對概念表征對象的豐富認識，才能抽取出一般規(guī)律與本質(zhì)屬性，也才能對其進行表征。這個過程實際上就是數(shù)學家最初發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并進行數(shù)學抽象的過程。讓學生經(jīng)歷完整的數(shù)學抽象過程，利于激發(fā)學生的探究興趣，利于累積豐富的研究經(jīng)驗與方法，利于培養(yǎng)學生的自主學習能力，利于建立概念的真理信仰（理解并確信為真的想法），利于概念的內(nèi)化與應(yīng)用。由此，概念教學采取與數(shù)學家研究數(shù)學歷程相似的“復演”式教學更利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

所謂復演就是指讓學生自主參與，體驗實踐，研究探索，合作交流，像數(shù)學家那樣真實、完整、深度經(jīng)歷“概念產(chǎn)生、建立豐富概念表象、概念內(nèi)涵表征、厘清概念外延、概念應(yīng)用與概念新衍生”的數(shù)學抽象認知回環(huán)鏈（此認知回環(huán)鏈是概念抽象的基本路徑）的一種教學程式。當然，“復演”往往是此概念產(chǎn)生與抽象的“精縮”版。本文以人教版三年級上冊第五單元“倍的認識”一課教學為例，具體闡釋“復演”式概念教學的思想理念與操作程式。

一、概念產(chǎn)生：情境復演，價值驅(qū)動

概念產(chǎn)生即為什么會出現(xiàn)這個概念，這個概念有何價值，是怎樣來的等一系列溯源性問題的追問與闡釋。小學階段概念的產(chǎn)生往往包括生活中數(shù)學規(guī)律的抽象，已有概念不能揭示新規(guī)律或不夠精簡直觀，已有概念的具體細化，已有概念的反向與相對概念等形態(tài)。如“數(shù)”是一個原點性概念，“比”是一個已有概念的優(yōu)化概念，平行四邊形是四邊形的具體細化，負數(shù)是正數(shù)的相對概念等。

不管是哪種形態(tài)的概念，在設(shè)計教學活動時，都要還原到概念產(chǎn)生的原本生活情境中，讓學生體悟新概念的價值，讓學生經(jīng)歷新概念出現(xiàn)的問題解決情境，才能還原出鮮活、真實的研究現(xiàn)場，激發(fā)學生的探究欲望。

“倍”本質(zhì)是描述兩量倍比關(guān)系的一個概念，是學生已有概念“幾個幾”的精練與直觀表征，是描述兩量關(guān)系的譜系拓展。由此，在本節(jié)課伊始，設(shè)置了同學和老師拍手不同次數(shù)的鮮活情境，讓同學們先拍兩次，老師跟著有節(jié)奏拍6次。讓學生說一說他們的發(fā)現(xiàn)。學生自然會聯(lián)系已有經(jīng)驗，說明大小關(guān)系、相差關(guān)系、總和關(guān)系及倍比關(guān)系，自然引出新概念的學習。

二、概念表象：操作體驗，圖示直觀

概念表象指學生對概念所指的具體的事物有感性的認識與接觸，并建立起概念所指的多個具體事物的鮮活形象。在數(shù)學學習中，就是指概念所指的具體數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系等具體的形象支撐，也就是我們常說的感性認識。如長方形概念表象指學生在接觸了生活中某一個面是長方形的多個物體后形成了關(guān)于長方形鮮活的實物形象。由此可見，概念表象的建立離不開鮮活的生活情境與素材，離不開學生的動手操作，離不開直觀的圖示。在教學活動設(shè)計中，應(yīng)選取生活中典型、規(guī)范、標準的素材，讓學生通過多重感官去感知，去體驗，去描述，并通過多種形式，如量一量、擺一擺、畫一畫、圈一圈、數(shù)一數(shù)、說一說等來表征他們的直觀感受與形象理解。

基于生活經(jīng)驗，部分學生可能聽過幾倍的數(shù)量關(guān)系，但概念的表象與內(nèi)涵都還比較模糊。當學生說到老師拍的次數(shù)是同學們的3倍或老師拍的次數(shù)有3個同學拍的次數(shù)那么多時，老師不要急于揭示倍的概念，而是引導學生想辦法讓大家看清楚3倍是什么意思。實際上就是讓學生做示范，帶著全班同學經(jīng)歷多重感官感受，多種形式表征“一個量有幾個另一個量”的數(shù)量關(guān)系。

學生想到了可以用畫圓圈來表示各自拍的次數(shù)，同學們對應(yīng)畫兩個圓圈，老師畫6個圓圈?？梢杂萌σ蝗Φ姆椒▉眢w現(xiàn)這樣的關(guān)系。把同學們拍的2次用一個圈圈起來，老師拍的6次，也2個圈一起，共有3個圈。所以，老師拍的次數(shù)有3個同學拍的次數(shù)那么多。這個過程，學生畫圖表示各自的數(shù)量及相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，涉及肢體操作、圖示表征、言語描述等多感官、多形式的表象建立。老師追問，還可以怎樣表示，其他同學想到了將6次拍手分成2次一組，間隙再拍一組，來表示它們之間的倍比關(guān)系。也有同學想到了用畫線段圖來表示?？傊?，學生通過系列動手操作，動筆畫圖、動腦思考、動嘴表達的過程，建立起老師拍的次數(shù)有3個同學拍的次數(shù)那么多的清晰、牢固、穩(wěn)定的生動形象，為概念抽象做好了鋪墊。

三、概念抽象：符號表征，語詞概括

在建立概念清晰的表象后，下一步自然是概念抽象，即用數(shù)、符號、語詞高度概括概念的本質(zhì)屬性和一般特征。這一步是概念表象的“一般化”“本質(zhì)化”“概括化”。概念抽象針對上文所說的不同類型的概念，在抽象概括時有不同的策略。如“幾倍”這個概念，是屬于已有概念“一個量有幾個另一個量”的概念優(yōu)化，體現(xiàn)在表達的簡潔與直觀性。當學生說出“同學們拍了兩次，老師拍了3個兩次”時，教師可以順勢引導學生：“我們就說老師拍的次數(shù)是同學們的3倍?！蓖瑫r，教師及時板書：同學們拍了兩次，老師拍了3個兩次，老師拍的次數(shù)是同學們的3倍。然后，教師請學生再來說一說，全班一起說一說，同桌互相說一說，通過三次表達，及時鞏固新的概念。

此時，教師不需要言說幾倍背后的抽象本質(zhì)——比較量有幾個標準量，就說比較量是標準量的幾倍——這對于三年級來說過于抽象，教師要為學生的認知降低負荷。這里不需要說誰是標準量，誰是比較量，學生能感受到即可。

此外，也不宜高度抽象“幾倍”的語詞表征（“幾倍”表示一個量有幾個另一個量），要讓學生進一步通過豐富的概念外延建立表象，從多個特殊例子中再度抽取一般屬性，方能水到渠成。當然，不同概念教學時也應(yīng)有區(qū)別，教師需要伺機而動。

四、概念外延：類屬建構(gòu)，豐富表象

概念的外延指這個概念所反映的事物對象的范圍，即具有概念所反映的屬性的事物或?qū)ο蟆：唵蔚卣f就是這一概念下的細化類別。一般來說，概念內(nèi)涵越多，外延便越少。概念的外延從不同角度看，存在不同的分類。對數(shù)學學科中的概念外延理解，需要基于概念內(nèi)涵的本質(zhì)屬性將對應(yīng)類別以某一角度或多個角度進行范疇界定，在教學活動中有機滲透在具體的例子中，讓學生生動地理解并構(gòu)建起清晰的細化類別認知結(jié)構(gòu)圖。

倍在數(shù)學中的具象概念是幾倍，幾倍的本質(zhì)是一個量（比較量）有幾個另一個量（標準量）。從數(shù)量上分析，包括1倍和幾倍兩種情況。從關(guān)系上分析，包括確定標準量，變化比較量，幾倍的幾增加；確定比較量，變化標準量，幾倍的幾減少；變化參考系，即標準量與比較量互換（小學階段一般說多的數(shù)量是少的數(shù)量的幾倍），幾倍的數(shù)量關(guān)系在變化；同時變化標準量與比較量，導致多重變化；變化事物量而導致的變化等。

由此在本節(jié)課中，將兩個角度的類別融通在了一起，以關(guān)系分析為主線，以概念抽象的典型案例拍手次數(shù)為素材，一材多用，讓學生在生動的拍手變化次數(shù)中理解概念外延，豐厚概念表象，抽象概念本質(zhì)。

（一）變比較量：內(nèi)化倍的概念內(nèi)涵

“請同學們再聽聽老師拍的次數(shù)”（老師拍兩次為一組，有節(jié)奏地拍了8次）。老師示意學生舉手，學生心領(lǐng)神會。“同學們拍了兩次，老師拍了4個兩次，老師拍的次數(shù)是同學們的4倍。”此時老師讓學生想象，如果再拍兩次呢，學生說5倍。老師請全班同學完整表達，“同學們拍了兩次，老師拍了5個兩次，老師拍的次數(shù)是同學們的5倍。”“增加點難度，如果老師拍的次數(shù)是同學們的6倍，你們當老師，拍一拍?！边@樣，學生基于概念，要自主完善對應(yīng)的表象系統(tǒng)，想到6倍表示6個兩次，要拍12次。

通過老師拍手，學生根據(jù)幾倍思考拍的對應(yīng)次數(shù)，在輕松的拍手中感受到比較量變化，幾倍就跟著變化。因而倍的本質(zhì)就是看有幾個標準量那么多。

（二）變標準量：滲透特殊的倍的理解

變標準量時，活動設(shè)計上從具體的拍手操作，走向圖示直觀。讓學生靜下心來基于直觀的圖示進一步理解幾倍的本質(zhì)?！敖酉聛砦覀儊硗嬉粋€游戲，超級變變變的游戲。請同學們閉眼，撐開眼睛?！保ɡ蠋煂⒆畛跬瑢W拍兩次，老師拍6次，把同學拍的2次擦掉1次）老師示意學生舉手發(fā)言?！巴瑢W們拍了1次，老師拍了6個1次，老師拍的次數(shù)是同學們的6倍。”老師追問：“若老師拍的次數(shù)是99次呢？”“老師拍了99個1次，老師拍的次數(shù)是同學們的99倍?！崩蠋熯M一步追問：“你有什么發(fā)現(xiàn)？”學生自然回答道：“當同學們拍1次時，老師拍多少次，就是同學們的多少倍。”

再讓學生閉眼，同學們拍的次數(shù)增加兩個圈，“老師拍了2個三次，老師拍的次數(shù)是同學們的2倍?！蓖瑢W們拍的次數(shù)變成六次，“同學們拍了六次，老師拍了1個六次，老師拍的次數(shù)是同學們的1倍?！崩蠋熤钢诎迳贤瑢W們拍的次數(shù)、老師拍的次數(shù)及1倍，示意學生發(fā)言。學生自然理解，當兩個數(shù)量相同時，也可以說兩個數(shù)量之間是1倍的關(guān)系，是互為1倍的。

（三）變參考系：高度抽象幾倍的本質(zhì)屬性

同學們拍的次數(shù)這次一下子增加六次，即變成了12次。老師追問“有什么改變”，學生回答：“同學們拍的次數(shù)比老師拍的次數(shù)多了?！崩蠋熓疽鈱W生進一步回答兩者的倍比關(guān)系。學生自然體悟到，此時應(yīng)該把老師拍的次數(shù)看成標準量，說成“老師拍了六次，同學們拍了2個六次，同學們拍的次數(shù)是老師的2倍”。老師進一步追問：“如果你們拍的次數(shù)是老師的4倍，你們拍多少次呢？你們能讓我清晰地感受到4倍的存在嗎？”學生便自然地以六次拍手為一組，連續(xù)拍4組。

此時，通過變比較量、變標準量、變參考系，通過幾個是1的幾倍，兩數(shù)量相等時互為1倍的直觀感受，學生一方面對概念的外延有了清晰的認識，另一方面也進一步豐富了概念的表象。然后再讓學生來概括幾倍的含義時，學生自然就能用高度凝練的語詞來表征概念了?！岸嗟牧坷镉袔讉€少的量，就說多的量是少的量的幾倍。但兩者數(shù)量相等時，就是1倍關(guān)系?！睂W生發(fā)現(xiàn)1也是幾，1倍也是幾倍，所以可以直接說成“一個量里有幾個另一個量，就說這個量是另一個量的幾倍”。

在完成概念高度抽象后，順勢讓學生探討為什么要發(fā)明幾倍這個概念。學生恍然大悟，因為幾倍比說一個量有幾個另一個量要簡潔得多，又比說一個量比另一個量多多少更加直觀形象。所以，倍的產(chǎn)生意義非凡。

最后，讓學生總結(jié)今天所學的內(nèi)容，通過總結(jié)回顧，再現(xiàn)研究歷程，總結(jié)方法經(jīng)驗，梳理認知結(jié)構(gòu)，形成整體認識。

五、概念應(yīng)用：聯(lián)通生活，開闊視野

通過概念表征，通過對內(nèi)涵與外延的界定，基于數(shù)學層面的概念已經(jīng)建構(gòu)起來了，但學生是否能結(jié)合真實生活情境，將生活問題轉(zhuǎn)化或抽象成數(shù)學問題，將生活現(xiàn)象轉(zhuǎn)化或抽象為數(shù)學概念，以及將數(shù)學問題與概念還原為生動具化、形式多樣、變式豐富的生活問題或概念，既考驗著學生對數(shù)學問題與概念內(nèi)化的深度，也彰顯著學生將數(shù)學問題與概念外化的靈活性，即“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的能力。

具體來說，概念的應(yīng)用可以通過各種練習、生活實踐、文化滲透、視野開闊等展開，直至學生能基于內(nèi)化靈活地外化輸出。

（一）鞏固練習：在真實生活情境中實現(xiàn)概念外化

學生是否真的掌握概念，需要脫離具體的例子，跳出概念語詞本身，走向生活進行檢驗。于是，設(shè)計了一幅動物園內(nèi)各種動物活動的圖，有6只鴨子、18只鹿、36只兔子、6只猴子，讓學生提出問題并解答。這里就存在標準量與比較量不斷變化的情況，也存在參考系的變化。學生能體悟到如果選擇不同的兩個數(shù)量，倍數(shù)關(guān)系的表達就會有所不同。既有1倍的關(guān)系，也有多倍的關(guān)系，還有標準量與比較量的靈活變化，如18只鹿既可以是比較量，也可以成為其他比較量的標準量。

（二）開放練習：變物體不同屬性的量來活化概念外延

思維是數(shù)學的靈魂，是數(shù)學學習的種子，培養(yǎng)學生系統(tǒng)、辯證、發(fā)散、整體、理性等思維有助于學生學會思考，學會研究，真正從學會走向會學，讓數(shù)學課充滿生命力、生長力、生發(fā)力。在學生能靈活選擇標準量、比較量進行兩量倍比關(guān)系表達后，可以讓思維再進一步，讓學生基于同一物體不同屬性的不同量來深度理解概念的外延。如下圖所示的一道開放練習：

通過學生提問并解決，讓學生發(fā)現(xiàn)，這里既可以從短繩與長繩的根數(shù)來表達倍數(shù)關(guān)系，也可以對一根短繩與一根長繩（或三根短繩長度與一根長繩長度）的長度進行比較，還可以觀察三根短繩的手柄數(shù)與一根長繩的手柄數(shù)的數(shù)量關(guān)系等。學生豁然開朗，得出這樣的發(fā)現(xiàn)：同樣的物體，從它的不同的量去觀察，會得出不同的數(shù)量關(guān)系。

（三）文化滲透：倍的研究歷史

數(shù)學史蘊含著豐厚的數(shù)學研究精神，也承載著豐富的數(shù)學思想方法，通過簡短的概念發(fā)展歷程介紹，讓學生體悟概念的產(chǎn)生與優(yōu)化過程，明晰概念的本質(zhì)，進一步豐厚認識、活化理解。“公元3世紀，印度的一位科學家巴格達發(fā)明了阿拉伯數(shù)字，這就是倍數(shù)關(guān)系起源的時候。阿拉伯數(shù)字發(fā)明的時候，倍數(shù)關(guān)系是隨阿拉伯數(shù)字應(yīng)運而生的。但明確提出倍這個概念則是乘法發(fā)明以后，最早的記載是我國的春秋時期?！蓖ㄟ^倍的產(chǎn)生，學生體悟到，實際上數(shù)量產(chǎn)生的時刻，數(shù)量關(guān)系就相伴而行了。數(shù)量關(guān)系是描述兩個量或多個量之間的各種關(guān)系的統(tǒng)稱，不同的數(shù)量關(guān)系描述著不同的關(guān)系。

六、概念衍生：創(chuàng)新發(fā)展，延學導引

概念的衍生有很多形態(tài)，包括概念的更替、概念的優(yōu)化、概念的具化、概念的拓展、概念的變遷等。倍這一概念本質(zhì)是表達兩個量的多少比較關(guān)系。如2與8的數(shù)量關(guān)系，說8比2多6，人們能感受它們之間的多少關(guān)系。但說8是2的4倍，人們能更進一步具體感受數(shù)量間的關(guān)系，即8有4個2那么多。由此，進一步讓學生思考，如果是48和6相比，它們之間的多少關(guān)系還可以怎樣表示呢？此處為六年級上冊“比”的概念埋下伏筆、做好鋪墊。比用于描述兩個同類量之間的關(guān)系時，本質(zhì)就是描述的兩個量的倍數(shù)關(guān)系。如8 ： 1表示一個量是另一個量的8倍，或者理解成一個量有8份，另一個量有1份。

概念教學應(yīng)聚焦數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)，概念教學的認知過程本質(zhì)就是數(shù)學抽象的建構(gòu)過程。讓學生經(jīng)歷數(shù)學概念的完整生發(fā)過程，有利于學生后續(xù)學習其他概念時遷移應(yīng)用，從一節(jié)課的學習推廣到一類課的學習，讓每一節(jié)課提質(zhì)增效，變學會為會學，真正為學生一生的數(shù)學學習打下堅實的基礎(chǔ)。

［參考文獻］

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［2］李方紅，周智雄，董順，王朕照.“復演式”單位起始課教學模式的構(gòu)建與實踐：以人教版二年級下冊第八單元“克”的教學為例[J].現(xiàn)代中小學教育，2019，35（04）：42-47.

李方紅? ?重慶市巴蜀小學。

姜錫春? ?重慶市巴蜀小學，重慶市特級教師。