崔祎，常承林，王彧斐

（1.中國(guó)石油大學(xué)（北京）自動(dòng)化系，北京 102249；2.重慶大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院，重慶 400044）

冷凝器的種類繁多，按接觸方式不同，可分為蓄熱式、混合式及間壁式等[1-3]；按傳熱面形式不同，可分為管殼式、板式及翅片式等[4-5]。其中，管殼式冷凝器以其易生產(chǎn)、低成本、清洗方便和處理量大等優(yōu)點(diǎn)，成為化學(xué)工業(yè)中應(yīng)用最廣泛的冷凝設(shè)備[6]。

王開(kāi)鋒提出了1 種基于遺傳-模擬退火算法對(duì)管殼式冷凝器的詳細(xì)設(shè)計(jì)，分析了了有相變情況下，管內(nèi)外徑、管長(zhǎng)，擋板數(shù)量和管程數(shù)等設(shè)計(jì)變量對(duì)于冷凝器費(fèi)用的影響，對(duì)換熱面積與壓降進(jìn)行全面的權(quán)衡[7]；彭嵐建立了數(shù)值計(jì)算模型，采用遺傳算法，研究管外徑、管間距、管壁厚等變量對(duì)于冷凝器重量的影響[8]；劉成洋等采用改進(jìn)的遺傳算法，研究了管外徑和管間距對(duì)于冷凝器重量和體積的影響，該算法的精確性和收斂性都得到了充分的驗(yàn)證[9]。

HASSAN 等以管程數(shù)、管束布局等為設(shè)計(jì)變量，以冷凝器總成本為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)比遺傳算法和粒子群算法的優(yōu)劣，發(fā)現(xiàn)遺傳算法的收斂速度更快[10]；ALLEN 等，以管間距、擋板間距、殼程直徑和管外徑等為設(shè)計(jì)變量，建立了冷凝器費(fèi)用的優(yōu)化模型[11]；PATEL等采用粒子群優(yōu)化，考慮管內(nèi)外徑、擋板間距和管束布局等設(shè)計(jì)變量，對(duì)冷凝器年度總費(fèi)用進(jìn)行優(yōu)化，其結(jié)果顯示，粒子群優(yōu)化具有較高的準(zhǔn)確性和收斂性[12]；NASR等開(kāi)發(fā)了1 種新型蒸發(fā)式冷凝器設(shè)計(jì)方法，提供換熱面積、壓降以及傳熱傳質(zhì)系數(shù)之間的關(guān)系，在最大允許壓降條件下，計(jì)算得到最小換熱面積，減少了試算次數(shù)[13]。

基于Kern 方法，GON?ALVES 等采用混合整數(shù)非線性優(yōu)化來(lái)最小化換熱面積，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)情況下模型不收斂[14]。設(shè)計(jì)變量均為離散值，他們將混合整數(shù)非線性模型轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性模型，實(shí)現(xiàn)了全局求解。此外，GON?ALVES 等根據(jù)換熱器機(jī)械部件的標(biāo)準(zhǔn)值，定義了多個(gè)二進(jìn)制變量來(lái)組合離散的設(shè)計(jì)變量，加快了混合整數(shù)線性模型的求解[15]；GON?ALVES等又基于Bell-Delaware方法建立混合整數(shù)線性模型，實(shí)現(xiàn)了年度總費(fèi)用的最小化優(yōu)化[16]。LEMOS 等開(kāi)發(fā)了集合修建算法，利用不等式約束順序消除不可行得到換熱器設(shè)計(jì)變量，以最小化換熱面積為目標(biāo)，經(jīng)過(guò)算例測(cè)試表明，該方法大幅提高了計(jì)算效率[17]。PEREIRA 等將冷凝器的混合整數(shù)非線性規(guī)劃轉(zhuǎn)換成為整數(shù)線性模型，采用整數(shù)線性求解，該模型不需要初始值，同時(shí)避免了局部?jī)?yōu)化解[18]。

在以上研究中，現(xiàn)有的算法能夠在一定程度上解決冷凝器的設(shè)計(jì)問(wèn)題，但是他們都不能完全保證得到解的全局優(yōu)化性，雖然采用隨機(jī)優(yōu)化方法或添加隨機(jī)算子可以避免陷入局部最優(yōu)，但需要多次嘗試才能實(shí)現(xiàn)，結(jié)果也需要進(jìn)一步驗(yàn)證。此外，很多文獻(xiàn)中的方法依賴于人工提供初值，對(duì)參數(shù)進(jìn)行多次調(diào)整，這使得很多算例的求解過(guò)程及結(jié)果無(wú)法重現(xiàn)。同時(shí)，初值的選擇會(huì)極大地影響算法的求解速度，無(wú)法保證算法的收斂性能。

針對(duì)上述問(wèn)題，筆者首先介紹了冷凝器詳細(xì)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，包括熱力學(xué)和水力學(xué)方程，以及最小化換熱面積和冷凝器功耗的目標(biāo)函數(shù)等。采用文獻(xiàn)[18]中算例，以面積最小化為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)比較分析，然后以最小化冷凝器功耗為目標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，求出不同換熱面積條件下的最小冷凝器功耗，進(jìn)行功耗與換熱面積間的權(quán)衡。另外，還進(jìn)行了冷凝器功耗與換熱面積的權(quán)衡，給出在冷凝器操作費(fèi)用方面表現(xiàn)更優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。

1 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)冷凝器布置的空間方向（水平或垂直），管殼程中冷熱物流分配，管殼式冷凝器主要有4種類型，即殼程冷凝的臥式換熱器、管程冷凝的臥式換熱器、殼程冷凝的立式換熱器和殼程冷凝的立式換熱器。以殼程冷凝的臥式換熱器為例，開(kāi)發(fā)冷凝器詳細(xì)設(shè)計(jì)的新方法。

研究基于以下幾點(diǎn)假設(shè)：1）冷凝器殼程為E型；2）殼程物流冷凝只發(fā)生相變，進(jìn)出口前后溫度保持不變；3）管程冷卻劑為湍流，且不發(fā)生相變；4）物性參數(shù)恒定，取平均溫度下的數(shù)值。

在優(yōu)化模型的描述中，初始給定、無(wú)需優(yōu)化的參數(shù)，其頂部帶有符號(hào)“?”。

1.1 符號(hào)含義

1）參數(shù)。?exc，面積裕量；?，相關(guān)參數(shù)；?pt，管程物流比熱容；?，重力加速度；ks，殼程導(dǎo)熱系數(shù)；kt，管程導(dǎo)熱系數(shù)；ktube，管壁導(dǎo)熱系數(shù)；ms，殼程質(zhì)量流量；Q，熱負(fù)荷；mt，管程質(zhì)量流量；Prt，管程普朗特?cái)?shù)；Rfs，殼程熱絕緣系數(shù)；Rft，管程熱絕緣系數(shù)；Tcl，冷物流入口攝氏溫度；Tco，冷物流出口攝氏溫度；Thl，熱物流入口攝氏溫度；Tho，熱物流出口攝氏溫度；vsmax，殼程最大流速；vsmin，殼程最小流速；vtmax，管程最大流速；vtmin，管程最小流速；Hvap，汽化質(zhì)量焓；Δpsdisp，殼程允許壓降；Δptdisp，管程允許壓降；ΔTlm，對(duì)數(shù)平均溫差；μs，殼程冷凝水黏度；μt，管程冷凝水黏度；μvs，殼程蒸汽黏度；ρs，殼程冷凝水密度；ρt，管程物流密度；ρvs，殼程蒸汽密度；?v0，平均兩相壓降系數(shù)；η，電機(jī)效率。

2）變量。A，實(shí)際換熱面積；Ar，殼程流動(dòng)面積；Areq，所需換熱面積；Deq，等效直徑；Ds，殼程直徑；dte，管外徑；dti，管內(nèi)徑；FAR，自由面積比；Fs，殼程摩擦系數(shù)；Ft，管程摩擦系數(shù)；FSC，冷凝器結(jié)構(gòu)系數(shù)；FTC，管束修正系數(shù)；hs，殼程傳熱系數(shù)；ht，管程傳熱系數(shù)；K，壓降參數(shù)；Klay，管束布局參數(shù)；L，管長(zhǎng)；lbc，擋板間距；ltp，管間距；Nb，擋板數(shù)量；Npt，管程數(shù)；Ntp，每次物流流動(dòng)通過(guò)的管數(shù)；Ntt，總管數(shù)；Nut，傳熱單元數(shù)；Res，殼程雷諾數(shù)；Ret，管程雷諾數(shù)；U，總傳熱數(shù)；vs，殼程流速；vt，管程流速；W，冷凝器功耗；Δps，殼程壓降；Δpsv0，入口條件相關(guān)的殼程壓降；Δpt，殼程壓降；rp，間徑比。

1.2 冷凝器數(shù)學(xué)模型

1.2.1 管程熱力學(xué)方程及水力學(xué)方程

湍流時(shí)，管程的熱力學(xué)方程為：

式中，管束布局參數(shù)Klay，三角形、正方形布局時(shí)分別取0.866、1.0。FTC取值見(jiàn)表1。

表1 管束修正系數(shù)取值Tab 1 Tube bundle correction factor value

FSC與冷凝器頭型相關(guān)，當(dāng)＞0.337 m時(shí)，其取值見(jiàn)表2。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)取值Tab 2 Structure factor value

管程的水力學(xué)方程為（忽略了接管處的壓降）：

式中，壓降參數(shù)K，單管程時(shí)取0.9，雙管程或多管程時(shí)取1.6。

管程摩擦系數(shù)的計(jì)算：

1.2.3 總傳熱系數(shù)方程

1.2.6 冷凝器功耗方程

冷凝器功耗的計(jì)算：

式中，電機(jī)效率η取75%。

1.3 約束條件

為保證模型中方程的有效性以及冷凝器的正常工作，該模型的約束有熱力學(xué)、水力學(xué)約束，流速約束以及結(jié)構(gòu)約束。

1.3.1 熱力學(xué)、水力學(xué)約束

管程和殼程的壓降需在允許范圍內(nèi)：

對(duì)流速也做一定的限制：

為保證殼程和管程方程的有效性，對(duì)雷諾數(shù)也做出限制：

為保證生產(chǎn)安全以及冷凝器的正常運(yùn)行，實(shí)際生產(chǎn)中一般都會(huì)設(shè)定裕量，使冷凝器有額外的換熱面積，實(shí)際換熱面積應(yīng)滿足條件：

1.3.2 冷凝器結(jié)構(gòu)約束

擋板間距與殼程直徑約束為：

1.4 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)為：1）MinA；2）MinW。

2 案例研究

2.1 案例介紹

研究的算例程序均在GAMS 24.2.3中運(yùn)行。對(duì)于設(shè)計(jì)變量為離散變量的算例，可以采用枚舉法進(jìn)行求解。其方法原理為：先計(jì)算出所有可能的目標(biāo)函數(shù)值，然后再設(shè)置相關(guān)的約束條件，求出符合條件的目標(biāo)函數(shù)值，進(jìn)而給出相關(guān)的設(shè)計(jì)變量。此方法的求解空間為全局，因此保證了解的全局最優(yōu)性；同時(shí)，枚舉法要計(jì)算出所有的目標(biāo)函數(shù)可能值，所有不需要給定初始值。

理論上所有設(shè)計(jì)變量為離散變量的算例均可采用枚舉法，但因?yàn)槊杜e法要計(jì)算出所有可能的目標(biāo)函數(shù)值，所以對(duì)于設(shè)計(jì)變量過(guò)多的算例，其計(jì)算耗時(shí)較長(zhǎng)。

該算例是1個(gè)用于冷凝純丙酮的蒸餾塔頂冷凝器，由SMITH等提出，PEREIRA等對(duì)其進(jìn)一步求解[18,20]。為保證換熱面積與PEREIRA等的結(jié)果等效比較，本案例優(yōu)化時(shí)，不考慮額外的面積裕量，即?exc=0，同時(shí)管壁厚取2 mm，管壁的導(dǎo)熱系數(shù)ktub取45 W/(m·K)。

表3給出設(shè)計(jì)變量的集合，這些離散值符合商業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。表4給出冷熱物流的物性參數(shù)（其中流速范圍及允許壓降由PEREIRA等給出）。數(shù)值在模擬過(guò)程中保持不變，取平均溫度下的值。

表3 設(shè)計(jì)變量的集合Tab 3 Collection of design variables

表4 物流數(shù)據(jù)及物性Tab 4 Stream data and physical properties

2.2 最小化換熱面積

根據(jù)表4，以最小化換熱面積為目標(biāo)優(yōu)化，所得的結(jié)果見(jiàn)表5。

表5 換熱面積優(yōu)化結(jié)果Tab 5 Optimization results of heat exchange area

采用枚舉法，因?yàn)橐?jì)算出所有可能的目標(biāo)函數(shù)值，故與采用求解器的PEREIRA 等相比，其計(jì)算過(guò)程較慢。

所采用的優(yōu)化方法得到了比文獻(xiàn)更小的換熱面積，為99.3 m2，但與文獻(xiàn)相差不大，僅減小了1.29%，原因是在優(yōu)化過(guò)程中考慮了冷凝器頭型變量，而文獻(xiàn)在優(yōu)化前就指定冷凝器頭型為浮頭式。優(yōu)化結(jié)果選用的冷凝器頭型為固定管板式，針對(duì)該算例而言，物流溫度壓力并不是高溫高壓，采用固定管板的冷凝器頭型滿足生產(chǎn)需求的同時(shí)費(fèi)用較低，明顯更加符合生產(chǎn)實(shí)際。

在管數(shù)方面，得到的優(yōu)化解為360，與文獻(xiàn)相差較大，減少了34.17%。所得到的管束布局方式為正方形布局，雖然正方形布局在同等換熱面積下的布管數(shù)少于三角形布局，但在能滿足生產(chǎn)需要的條件下，采用正方形布局以及更低的管數(shù)，降低了布管的難度，降低了冷凝器的體積與重量，減少冷凝器的費(fèi)用，更符合實(shí)際生產(chǎn)需求。

優(yōu)化所得的管程壓降為65.28 kPa，殼程壓降為18.20 kPa，與文獻(xiàn)的48.93 kPa和16.73 kPa相比較高。因?yàn)閮?yōu)化結(jié)果選取的擋板數(shù)量為9，相比文獻(xiàn)偏大，故導(dǎo)致得到的殼程流速為28.4 m/s，比文獻(xiàn)的24.3 m/s更高，殼程流速較大使殼程壓降高于文獻(xiàn)。而管程壓降較高則是因?yàn)閮?yōu)化取的管外徑和管長(zhǎng)比文獻(xiàn)大，導(dǎo)致了管程物流流速2.5 m/s 比文獻(xiàn)的2.2 m/s 較高，提升了管程壓降。雖然優(yōu)化結(jié)果的管程、殼程壓降均比文獻(xiàn)大，但也仍在允許壓降范圍內(nèi)。

優(yōu)化所得的管、殼程傳熱系數(shù)分為10.67、1.331 kW/(m2·K)，總傳熱系數(shù)為0.788 0 kW/(m2·K)，與文獻(xiàn)相差不大，這也使優(yōu)化換熱面積只是略小于文獻(xiàn)的原因。

2.3 功耗與換熱面積的權(quán)衡

在該算例的優(yōu)化中存在冷凝器頭型的選擇，不同冷凝器頭型的費(fèi)用相差較大，以冷凝器總費(fèi)用為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化可能會(huì)導(dǎo)致冷凝器頭型在優(yōu)化中比例過(guò)大，因此為了盡可能體現(xiàn)所有設(shè)計(jì)變量對(duì)于冷凝器設(shè)計(jì)的影響，在設(shè)計(jì)約束條件下，增加換熱面積的限制，選擇以最小化冷凝器功耗為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，求出不同換熱面積條件下的最小冷凝器功耗。不同換熱面積下最小冷凝器功耗見(jiàn)圖1。

圖1 不同換熱面積下的最小功耗Fig 1 Minimum power consumption under different heat exchange areas

從圖1可以看出，功耗隨著換熱面積的增加不斷下降。在100～105 m2內(nèi)波動(dòng)下降，在105 m2之后逐漸趨于恒定。該算例中的管程流量及壓降均遠(yuǎn)大于殼程，而壓降又由流速控制，根據(jù)式(25)可知，在冷凝器功耗計(jì)算中，功耗主要是由管程流速控制。當(dāng)換熱面積限制在100～105 m2時(shí)，距離優(yōu)化結(jié)果給出的最小換熱面積較近，此時(shí)最小化冷凝器功耗，滿足設(shè)計(jì)約束與換熱面積限制的解較少，在滿足限制的條件下，管程流速距離vtmin較遠(yuǎn)，導(dǎo)致此階段管程流速較高且波動(dòng)明顯，所以圖1中冷凝器功耗呈現(xiàn)大幅度的不規(guī)則波動(dòng)。當(dāng)換熱面積取大于105 m2后，滿足設(shè)計(jì)約束與換熱面積限制的解增加，此時(shí)最小化冷凝器功耗，管程流速普遍會(huì)更加接近vtmin，進(jìn)而使冷凝器功耗降低且趨于穩(wěn)定。

圖1中A點(diǎn)為最小化換熱面積所得數(shù)據(jù)點(diǎn)，即優(yōu)化結(jié)果數(shù)據(jù)點(diǎn)，可見(jiàn)最小化換熱面積所得結(jié)果對(duì)應(yīng)的冷凝器功耗最大，因此考慮到冷凝器操作費(fèi)用等實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有必要將面積和功耗等因素同步考慮。

基于上述分析，選取B點(diǎn)情況下的設(shè)計(jì)變量作為權(quán)衡后的結(jié)果，給出冷凝器功耗與換熱面積進(jìn)行權(quán)衡后的設(shè)計(jì)方案，見(jiàn)表6。

表6 權(quán)衡結(jié)果Tab 6 Compromise result

由表6可以看出，在此設(shè)計(jì)方案條件下，對(duì)比最小換熱面積條件下的功耗6.18 kW，冷凝器功耗降低了78.80%，而換熱面積僅增加了3.73%，綜合考慮權(quán)衡方案在冷凝器操作費(fèi)用方面表現(xiàn)應(yīng)優(yōu)于最小換熱面積方案。

3 結(jié) 論

與文獻(xiàn)[18]相比，采用枚舉法的優(yōu)化方法，無(wú)需設(shè)定初始值，還可以保證解的全局優(yōu)化性；同時(shí)優(yōu)化過(guò)程中還考慮了冷凝器頭型對(duì)于換熱面積的影響，給出了更加符合實(shí)際的最小換熱面積設(shè)計(jì)方案。

筆者提出的1種管殼式冷凝器詳細(xì)設(shè)計(jì)的新方法。該方法不依賴于商業(yè)求解器，無(wú)需設(shè)定初始值，且能保證設(shè)計(jì)解的全局最優(yōu)性。

以最小化換熱面積為求解目標(biāo)，得到結(jié)果與文獻(xiàn)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，頭型的選擇對(duì)冷凝器換熱面積影響并不明顯，但可能影響到冷凝器的管束排布方式，同時(shí)考慮到冷凝器頭型的優(yōu)缺點(diǎn)及物流屬性，頭型選擇對(duì)優(yōu)化結(jié)果仍有重要的影響。

還以最小化冷凝器功耗為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，得到不同換熱面積條件下的最小冷凝器功耗，進(jìn)行功耗與換熱面積間的權(quán)衡，最終給出了權(quán)衡后的設(shè)計(jì)方案。權(quán)衡后的設(shè)計(jì)方案條件下，冷凝器功耗為1.31 kW，比最小換熱面積條件下的功耗降低了78.80%，而換熱面積僅增加了3.73%。