王豐效

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844000)

模糊集理論及其推廣在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.模糊集、雙極值模糊集、區(qū)間值模糊集、直覺模糊集以及區(qū)間值直覺模糊集等理論被廣泛應(yīng)用于各類代數(shù)系統(tǒng)[1-4].半群是應(yīng)用廣泛的一類代數(shù)系統(tǒng)，模糊半群理論在許多等領(lǐng)域起著重要作用.Kim等[5]將模糊集應(yīng)用于半群，研究半群的模糊理想的特征.謝祥云等[6]詳細(xì)介紹了模糊半群理論.文獻(xiàn)[7-8]分別討論半群的區(qū)間值模糊子半群和區(qū)間值模糊理想的相關(guān)特性.作為模糊子半群的推廣，帶限度的模糊集的概念被應(yīng)用于半群等代數(shù)系統(tǒng)[9-10]，如文獻(xiàn)[11-12]引入了半群的區(qū)間值直覺模糊子半群和區(qū)間值直覺模糊理想的概念，研究了它們的特性.作為雙極值模糊集的推廣，文獻(xiàn)[13-16]引入了多極模糊集的概念，并將多極模糊集應(yīng)用于圖論、群論等.論文引入多極區(qū)間值模糊集的概念，將多極區(qū)間值模糊集的概念應(yīng)用于半群，給出了半群的多極區(qū)間值模糊子半群的概念，并討論了它的相關(guān)特性.

1 預(yù)備知識(shí)

為了討論方便，先給出幾個(gè)相關(guān)概念.

定義1[6]設(shè)·是S的一個(gè)二元運(yùn)算，如果對(duì)任意x,y∈S，有①x·y∈S；②(x·y)·z=x·(y·z).則稱(S,·)為一個(gè)半群.

為討論方便，二元運(yùn)算x·y簡(jiǎn)寫為xy.

定義2[6]設(shè)半群S的非空子集I稱為S的子半群，如果I2?I，即如果x,y∈I,則xy∈I.

定義3[6]設(shè)μ是半群S的模糊集，如果對(duì)任意x,y∈S,有μ(xy)≥μ(x)∧μ(y),則稱μ為S的模糊子半群.

定義4[10]設(shè)A是半群S的區(qū)間值模糊集，如果對(duì)任意x,y∈S,有A(xy)≥A(x)∧rA(y),則稱A為S的區(qū)間值模糊子半群.

定義5假設(shè)Ai=[μi,νi]?[0,1](i=1,2,…,n)是非空集X的區(qū)間值模糊集，稱

為非空集X的n-極區(qū)間值模糊集.

1-極區(qū)間值模糊集即區(qū)間值模糊集.另外，如果n-極區(qū)間值模糊集的分量區(qū)間Ai都退化為一個(gè)數(shù)，則n-極區(qū)間值模糊集就是多極模糊集.因此n-極區(qū)間值模糊集的概念既是區(qū)間值模糊集的推廣，也是多極模糊集的推廣.

如果A=[a1,a2]和B=[b1,b2]是兩個(gè)區(qū)間值模糊集，定義A≤B?a1≤a2,b1≤b2,有

A∧rB=[min{a1,b1},min{a2,b2}],

A∨rB=[max{a1,b1},max{a2,b2}].

2 半群的n維區(qū)間值模糊子半群

即

Ai(xy)≥Ai(x)∧rAi(y),i=1,2,…,n，

例1假設(shè)S={a,b,c,d,e},S的二元運(yùn)算·如下

·abcdeaaaaaabaaaaacaaccedaacdeeaacce

例2假設(shè)S={0,1,2,3},S的二元運(yùn)算·如下

·012300000101202022130133

γmin((A1(x),…,An(x)),(A1(y),…,An(y)))=

(A1(x)∧rA1(y),A2(x)∧rA2(y),…,An(x)∧rAn(y)),

即Ai(xy)≥Ai(x)∧rAi(y),i=1,2,…,n,從而A1,A2,…,An都是半群S的區(qū)間值模糊子半群.

證明I是半群S的子半群，定義半群S的n-極區(qū)間值模糊集為:當(dāng)x∈I時(shí)，有

當(dāng)x?I時(shí)，有

綜上，對(duì)任意x,y∈S，有

因此

證明對(duì)任意(x1,y1),(x2,y2)∈S×R,有

(x1,y1)·(x2,y2)=(x1x2,y1y2).

因此

下面討論半群的n-極區(qū)間值模糊子半群在同態(tài)映射下的相關(guān)性質(zhì).假設(shè)S和R是兩個(gè)半群，f:S→R是S和R的同態(tài)映射，即對(duì)任意x1,x2∈S,有f(x1x2)=f(x1)f(x2).

故

所以

3 結(jié) 論

論文將多極區(qū)間值模糊集的概念應(yīng)用于半群，討論半群的多極區(qū)間值模糊子半群的概念和其基本性質(zhì)，得到半群的多極區(qū)間值模糊子半群與區(qū)間值模糊子半群、子半群的關(guān)系；進(jìn)一步研究了半群的多極區(qū)間值模糊子半群關(guān)于交運(yùn)算和直積的封閉性質(zhì)，以及半群的多極區(qū)間值模糊子半群在同態(tài)映射下像與原像的相關(guān)性質(zhì).論文所得結(jié)果能夠豐富模糊半群理論.