趙艷濤，陳耀，賈俊杰

（航天科工防御技術研究試驗中心，北京 100854）

前言

模態(tài)試驗與模態(tài)仿真是相輔相成的。建立的有限元模型后是否能夠開展應用，需要對有限元模型進行校準，模態(tài)試驗結果作為依據(jù)，通過修正有限元模型使模態(tài)仿真結果和模態(tài)試驗結果一致。本文采用錘擊法模態(tài)試驗獲取夾具、產(chǎn)品及組合體的各階振型、模態(tài)頻率等指標，作為修正有限元模型的依據(jù)，夾具、產(chǎn)品以及組合體分別依據(jù)模態(tài)試驗結果進行有限元模型修正，經(jīng)過修正后的有限元模型可以用來搭建虛擬振動系統(tǒng)。

1 模態(tài)分析的基本理論[1-3]

對于一個結構來說，模態(tài)頻率、模態(tài)阻尼都是結構的本構特征，從數(shù)值上講是常值。模態(tài)分析就是對結構頻率響應譜中所有共振點模態(tài)進行識別從而得出結構特性。試驗模態(tài)通過對結構的動態(tài)測試和信號分析，來確定結構的模態(tài)參數(shù)。

在有限元法中，當把結構離散化為各種單元，組裝得到整個結構的運動方程為：

式中：

[M]—系統(tǒng)的質量矩陣；

[C]—系統(tǒng)的阻尼矩陣；

[K]—系統(tǒng)的剛度矩陣；

這是1個互相耦合的方程組，通過坐標變換將這個耦合的方程組變成一組正交的新的坐標系，即模態(tài)坐標，將復雜的多自由度系統(tǒng)簡化為一系列單自由度系統(tǒng)。這個模態(tài)坐標中的固有頻率、阻尼、質量、剛度等稱為模態(tài)參數(shù)，各階固有頻率下的模型各部位的位移即為模態(tài)振型。

假設系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，對方程兩邊進行傅氏變換：

反映了i點激勵到j點響應之間的傳遞關系函數(shù)。反映了i點激勵對j點響應的貢獻，即i點激勵（其余部位激勵力為零）時，j點響應與i點激振力之比。

解微分矩陣方程（1），得到其特征值和特征向量便得到系統(tǒng)的固有頻率ωr和振型φr，振型具有正交性，同M、C、K均為實對稱陣，故而可以利用φr組成矩陣Φ=[φ1，φ2，φ3…φN]，對M、C、K進行對角化，得：

式中：

ωr—模態(tài)頻率；

φr—模態(tài)振型；

mr—模態(tài)質量；

cr—模態(tài)阻尼；

kr—模態(tài)剛度，代入（4）中得到模態(tài)參數(shù)表示的頻率響應函數(shù)矩陣。

可以看出，多自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)是系統(tǒng)各階特征值和特征向量的線性疊加。所以對線性系統(tǒng)來說，可以通過模態(tài)疊加的方法求得計算系統(tǒng)的響應。頻率響應矩陣的任意一行或任意一列包含模態(tài)參數(shù)的足夠信息。

完成模態(tài)試驗并進行模態(tài)參數(shù)辨識后應該驗證模態(tài)試驗的質量，通?？刹捎媚B(tài)置信矩陣（Modal Assurance Criterion, MAC）來判斷模態(tài)振型的正交性。如果模態(tài)試驗質量較好，那么模態(tài)置信矩陣的主對角元素應該為1，非對角元素為0[4]。

2 模態(tài)試驗的基本流程

模態(tài)試驗假設一個結構的模態(tài)可以在除節(jié)點外的任何一點激勵出來，只需測頻率響應函數(shù)矩陣H(ω)的一行（多點激勵單點測量）或一列（單點激勵多點測量）就可以了。因此這里采用單點激勵、多點測量的方式。模態(tài)試驗示意圖如圖1所示。力錘敲擊激勵點通過力傳感器采集激勵力信號，測點布置ICP傳感器采集響應加速度信號，激勵力和響應加速度信號進入數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，通過模態(tài)分析軟件提取相應的傳遞函數(shù)進而識別出模態(tài)參數(shù)。

圖1 模態(tài)試驗示意圖

采用橡皮繩懸掛法，在這種“自由狀態(tài)”下可以測得更真實的結構模態(tài)。懸掛頻率低于1 Hz，夾具和產(chǎn)品的彈性振動固有頻率在30 Hz以上，遠低于被測試件的一階諧振頻率。避免了懸掛系統(tǒng)對被測試件固有特性的影響。

被測試驗件為中小型結構且為低阻尼結構，因此激勵方式采用錘擊法，不會給被測結構件附加任何質量而影響其的動態(tài)特性。信號處理加矩形窗。錘擊法能量小，測量信噪比低，采用5次敲擊的數(shù)據(jù)平均處理來消除噪聲的干擾，錘擊過程中避免連擊，每一次激勵的時間間隔不少于5 s。根據(jù)被測試件的質量和剛度，選擇合適的錘頭質量、錘頭材料，結合敲擊者的經(jīng)驗，在整個頻段上相干越接近1越好，相干性作為判斷力錘敲擊測得的頻響函數(shù)（FRF）好壞的依據(jù)。信號采集需要選用合適的量程，使激勵和響應在合適的范圍內(nèi)，量程過大采集信號不準確，量程過小會出現(xiàn)信號截斷，保證每一次激勵和響應信號測試的有效性。

激勵點如果選擇在節(jié)點上就激發(fā)不出來相應的模態(tài)，為了避免這種情況，通常要選用兩個以上激勵點開展模態(tài)試驗來進行相互備份和驗證。測得幾個頻響函數(shù)并進行比較，選擇曲線光滑、清晰的頻響函數(shù)，將關心頻段內(nèi)相干達到0.9以上的點為激勵點。

測點采用均勻分布的原則，傳感器的選擇和安裝對測量結果都具有重要的影響，傳感器要求動態(tài)范圍寬、工作頻段寬、低頻性能好、線性度好、體積小、質量小[5]。

3 夾具及產(chǎn)品的模態(tài)試驗及模型校準

建立有限元模型，在保證模態(tài)試驗結果可信的基礎上修正有限元模型，使模態(tài)仿真和模態(tài)試驗結果一致。修正模型的過程如下：在振型一致、幾何模型與實物相符的前提下調整材料參數(shù)，在參考材料基本參數(shù)的基礎上，首先微調密度來保證質量與實際質量一致，再微調彈性模量，使模態(tài)仿真結果與模態(tài)試驗結果比較接近，固有頻率最大相對誤差在5%以內(nèi)。則可認為有限元模型是可信的。

3.1 夾具的模態(tài)試驗及模型校準

夾具為平板狀夾具，見圖2。先開展夾具的模態(tài)試驗，將模態(tài)試驗結果作為參照，夾具模態(tài)試驗的MAC矩陣如圖3。在保證夾具質量和實物一致的前提下，微調彈性模量，使夾具模態(tài)仿真結果和模態(tài)試驗結果一致,夾具模態(tài)仿真結果和模態(tài)試驗結果見表1。夾具的參數(shù)為：密度：2 707 kg/m3，彈性模量：7.1×1010Pa ， 泊松比0.33。

表1 夾具模態(tài)仿真和模態(tài)試驗固有頻率比較

圖2 夾具

圖3 夾具模態(tài)試驗MAC矩陣

3.2 產(chǎn)品的模態(tài)試驗及模型校準

產(chǎn)品為類圓筒狀結構體。先開展產(chǎn)品的模態(tài)試驗，將模態(tài)試驗結果作為參照，產(chǎn)品模態(tài)試驗的MAC矩陣如圖4。和前文的模型修正方法相同，在保證產(chǎn)品質量和實物一致的前提下，微調彈性模量，使產(chǎn)品模態(tài)仿真結果和模態(tài)試驗結果一致,產(chǎn)品模態(tài)仿真結果和模態(tài)試驗結果見表2。修改后產(chǎn)品的參數(shù)為：密度：2 850 kg/m3，彈性模量：7.5 e10 Pa，泊松比0.3。

圖4 夾具模態(tài)試驗MAC矩陣圖5 組合體模態(tài)試驗MAC矩陣

表2 產(chǎn)品模態(tài)仿真和模態(tài)試驗固有頻率比較

3.3 組合體的模態(tài)試驗及模型校準

將模型和參數(shù)修改后的夾具和產(chǎn)品組合在一起，實物采用螺栓連接并開展模態(tài)試驗，將模態(tài)試驗結果作為參照。在有限元軟件里將螺栓連接處采用固定約束。組合體模態(tài)試驗的MAC矩陣如圖5，組合體模態(tài)仿真結果和模態(tài)試驗結果見表3。

表3 組合體模態(tài)仿真和模態(tài)試驗固有頻率比較

模態(tài)試驗和模態(tài)仿真是相輔相承的。一方面，在模態(tài)試驗前可以開展初步開展模態(tài)仿真，在大致了解了模態(tài)振型、節(jié)點等信息后，可以為模態(tài)試驗的測點、激振點的布點提供參考，避免激振點布置在節(jié)點，另外要布足夠的測點以及選擇合適的測點方向從而能完整表征振型。參考仿真的模態(tài)振型結果而不參考仿真的模態(tài)頻率結果，如果測點布置不夠，模態(tài)試驗就不容易分辨出振型來。另一方面，模態(tài)試驗結果作為修正模態(tài)仿真結果的依據(jù)，在二者振型對應一致的前提下修改有限元模型使二者的模態(tài)頻率也對應一致，在建有限元模型時會對模型進行簡化，材料參數(shù)和實際也會存在差異，因此模態(tài)仿真結果會和模態(tài)試驗結果存在差異。根據(jù)模態(tài)試驗結果來修正有限元模型，包括適當修改材料參數(shù)，優(yōu)化網(wǎng)格等方法來使模態(tài)仿真結果和模態(tài)試驗結果在模態(tài)頻率和模態(tài)振型都一致起來。另外模態(tài)試驗結果和模態(tài)仿真結果不是一一對應的，往往仿真結果會比試驗結果的模態(tài)數(shù)量多，因為模態(tài)試驗時布置的測點是有限的，特別是高頻段實際模態(tài)比較密集，很多模態(tài)識別不出來，模態(tài)試驗結果和仿真結果會存在較大的差異。所以在修正有限元模型的過程中，要結合振型進行比對，對前幾階的重要模態(tài)進行對比和修正，使仿真結果和試驗結果對應。經(jīng)過模態(tài)試驗修正過的有限元模型才具有工程實用價值。系統(tǒng)的響應可以看做各階模態(tài)振型響應的疊加[6]。

4 總結

模態(tài)試驗是進行有限元模型校準的有效手段，建立了夾具、產(chǎn)品、組合體在自由狀態(tài)下的有限元模型，并逐級分別進行相應的模態(tài)試驗，將模態(tài)試驗結果作為參照，校準有限元模型，使仿真結果和試驗結果的主要模態(tài)頻率誤差在5 %以內(nèi)，滿足工程上的精度要求，則可以認為有限元模型是可信的，可以應用于后續(xù)的虛擬試驗。