吳亞斌，周文學，宋學瑤

(蘭州交通大學 數(shù)理學院，甘肅 蘭州 730070)

近年來，微分方程引起了國內外學者的廣泛關注[1-3].但由于整數(shù)階微分方程在描述具體現(xiàn)象時具有一定的局限性，分數(shù)階微分方程在近幾十年內得到了迅速發(fā)展，且廣泛應用于流體力學、化學、物理、生物工程等多個重要領域.此外，因p-Laplacian算子方程具有廣闊的應用背景，具p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程也得到了學者大量的關注，取得了不少成果[4-8].文獻[8]通過Banach壓縮映射原理和Green函數(shù)性質研究了如下帶p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程反周期邊值問題：

解的存在性.其中2<α≤3,0<β<1<γ<2,c為Caputo分數(shù)階導數(shù).

自然界中許多涉及物理、信號處理、生態(tài)學等方面的問題無法借助簡單的微分方程去描述，有學者發(fā)現(xiàn)，給方程加入脈沖項將與實際問題更加接近，對解決復雜問題很有幫助.目前對帶脈沖的微分方程也進行了不少的研究[9-12].文獻[12]通過Leray-Schauder不動點定理研究了一類非線性分數(shù)階脈沖微分方程邊值問題：

解的存在性.其中f∈C(J×R,R),Ik,Jk∈C(R,R)，為Caputo分數(shù)階導數(shù).

據(jù)筆者了解，目前很少有學者考慮帶有p-Laplacian算子的半線性分數(shù)階脈沖微分方程邊值問題解的存在性與唯一性.基于以上研究，本文討論了如下一類半線性分數(shù)階脈沖微分方程邊值問題：

解的存在性.其中 1 <α≤2,f∈C([0,T]×R×R×R,R)，是 α階 Caputo分數(shù)階導數(shù)，λ≥0,p≥1，a≥b>0，p-1+q-1=1,φp(s)=|s|p-2s,(φp)-1=φq,I,I∈C(R,R)，J=[0,T],0=t0

1 預備知識

為了簡便，我們引入記號J0=[0,t1],J1=(t1,t2],···,Jm-1=(tm-1,tm],Jm=(tm,T].且定義以下空間：

C(J,R) 表 示所有從J映到R的連續(xù)函數(shù)構成的空間，其范數(shù)定義為

PC(J,R)={u:J→R,u∈C(Jk),k=0,1,···,m，且存 在.k=1,2,···,m}，其 范 數(shù) 定 義‖u‖PC=易得C(J,R),PC(J,R)為Banach空間.

Caputo分數(shù)階導數(shù)定義及Riemann-Liouville型分數(shù)階積分可見文獻[13-14].下面僅列舉本文所需重要引理.

引理1[15]如果p>2 ，且 |x|,|y|<ω，那么對于算子 φp，有下面不等式成立：

引理2[16](Arzela-Ascoli定理) Ω?PC(J,R)列 緊的充分必要條件是函數(shù)u(t)∈Ω在J上一致有界，在Jk(k=1,2,···,m)上等度連續(xù).

引理3[17](Schauder不動點定理) 設E為Banach空間，Ω是E上的非空有界閉凸子集，算子Q:Ω→Ω是連續(xù)算子，且Q(Ω)?E是 相對緊集，則Q在 Ω 上至少存在一個不動點.

引理4[18](Schaefer不動點定理) 設E是一個Banach空間，假設算子Q:E→E是全連續(xù)算子并且有V={u∈E:u=ρQu,0<ρ<1}是有界集.那么Q在E中至少存在一個不動點.

引理5[19](Banach壓縮映射原理) 設E是完備的距離空間，Q:E→E是一個壓縮映射，則Q在E上有唯一不動點x′，即Qx′=x′.

引理6設y(t)∈C[0,T]，則脈沖微分方程邊值問題：

存在唯一解：

當t∈J0時

當t∈Jk(k=1,2,···m)時

其中

證明對方程兩端從0到t積分，得

對上式兩邊 φq作用，得

對任意的t∈J0，對上式兩端 α階積分，有

對t∈J1，存在常數(shù)d0,d1，使得

因此，有

對t∈J1，有

類似地，通過相同的過程歸納可得，對t∈Jk(k=1,2,···,m)有

由邊界條件au(0)=-bu(T),au′(0)=-bu′(T)得

將c0,c1分別代入(5)式和(7)式即可得證(3)式與(4)式.證畢.

2 主要結果

定義算子Q:PC(J,R)→PC(J,R)為

其中

注1由引理6可知，邊值問題(1)有解等價轉化為算子Q存在不動點.

為簡便計算做如下記號：

定理1若條件

成立，且存在 εi>0(i=1,2,3)滿足

則分數(shù)階脈沖微分方程邊值問題(1)至少存在一個解.

證明首先說明Q:PC(J,R)→PC(J,R)是全連續(xù)算子.過程分3步進行.

第1步：算子Q是連續(xù)的.事實上，由的連續(xù)性可知算子Q:PC(J,R)→PC(J,R)是連續(xù)的.

第2步：算子Q將有界集映為有界集.設 Ω?PC(J,R)是 有界集，?u∈Ω，存在L0,L1,L2,L3>0，使得因此，?u∈Ω，由(8)式有

即

第3步：算子Q是等度連續(xù)的.對任意t∈Jk,0≤k≤m，有

因此，對任意t1,t2∈Jk,t1

由此知算子Q等度連續(xù).

綜上，由Arzela-Ascoli定理知算子Q:PC(J,R)→PC(J,R)為全連續(xù)算子.

由條件(H1)不難得出，存在r>0，?0<|u|0(i=1,2,3) ，使得 |f(t,u,Ku,Hu)+λu|≤ε1|u|，和 Λ1≤1成立.

即得 ‖Qu‖PC≤r，有Q(Ω)?Ω.由引理3算子Q至少存在一個不動點，即問題(1)至少存在一個解.證畢.

定理2設以下條件成立：

(H2) 存在常數(shù) γ1,γ2,γ3>0 ，使得對任意t∈J,u∈R 有

則分數(shù)階脈沖微分方程邊值問題(1)至少存在一個解.

證明由定理1可知Q:PC(J,R)→PC(J,R)是全連續(xù)算子.

定義集合V={u∈PC(J,R):u=ρQu,0<ρ<1}.令u∈V，有u∈PC(J,R).根據(jù)PC(J,R)的定義顯然存在γ0>0，?u∈PC(J,R) ，有 |u|≤γ0.因此，對所有u∈V,t∈J，根據(jù)條件(H2)類似式(9)式證明過程可得

由(12)式可知

得集合V是有界集.由引理4知Q至少存在一個不動點，即問題(1)至少存在一個解.證畢.

定理3設1

(H3) 存在函數(shù)h(t)>0 ，且存在常數(shù)對任意t∈J,u∈R ，有|f(t,u,Ku,Hu)|≤h(t);

(H4) 存在非負函數(shù) μ1,μ2,μ3,ψ1,ψ2∈C(J,R)，使得對任意t∈J,u,u∈R，有

且有

這里 ‖ μ‖=max{‖μ1‖,‖μ2‖,‖μ3‖}.則分數(shù)階脈沖微分方程邊值問題(1)存在唯一解.

證明根據(jù)條件(H3)有

由條件(H4)，對任意的u,∈PC(J,R)，有

由1 2.由引理1，(13)及(14)式可得

下面說明Q為壓縮映射.由條件(H4)與(15)式可得

即

故由條件(H4)可知算子Q為壓縮映射，由Banach壓縮映射原理可知算子Q存在唯一不動點，即邊值問題(1)存在唯一解.證畢.

注2p≥2情況較為復雜，此處不做考慮.

3 舉例

下面舉例說明主要結果的合理性.

例1討論邊值問題：

綜上

即 Λ2<1，可知Q是壓縮映射，滿足條件(H4).因此由定理3知此問題存在唯一解.