任麗宇，姜金平，劉生清，羅軒怡

（延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

近年來，許多學(xué)者關(guān)于拉回指數(shù)吸引子的研究已有一定的成果［1-5］，其中LI［4］通過新的構(gòu)造，對(duì)于離散過程缺乏平滑性或連續(xù)過程不滿足連續(xù)的演化過程，建立了拉回指數(shù)吸引子的抽象結(jié)果。后來，LI等［5］利用簡(jiǎn)化的非自治系統(tǒng)的緊性條件以及利用拉回ω-極限緊，證明了非自治系統(tǒng)的拉回指數(shù)吸引子的存在性。MIRANVILLE 等［6-7］給出了一種研究具有記憶的演化方程解的長(zhǎng)期行為的方法，并獲得了帶記憶的弱阻尼波動(dòng)方程和帶記憶的半線性熱方程的軌道和全局吸引子。WANG 等［8］研究了具有記憶的非經(jīng)典擴(kuò)散方程的軌道和全局吸引子。孟鳳娟等［9］研究了帶記憶項(xiàng)的強(qiáng)阻尼波方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為。吳曉霞等［10］研究了無界域上帶有線性記憶的波方程解的長(zhǎng)時(shí)間行為。

在記憶型強(qiáng)阻尼波方程中軌道吸引子和全局吸引子存在的基礎(chǔ)上，本文將文獻(xiàn)［4］中使用的方法應(yīng)用到記憶型強(qiáng)阻尼波方程，得到該方程的拉回指數(shù)吸引子的存在性。

本文考慮下列記憶型強(qiáng)阻尼波方程的拉回指數(shù)吸引子的存在性：

其中，Ω是在Rn上的有界光滑區(qū)域，n≥3，g(x，t) ∈非線性項(xiàng)滿足

假設(shè)f∈C'(R)，f(0)=0，滿足如下耗散條件：

μ滿足以下假設(shè)：

1 預(yù)備知識(shí)

插值結(jié)果如下：給定s＞r＞q，對(duì)于任意δ＞0，存在Cδ=Cδ(s，r，q)，使得

定義1［5］令{U(t，τ)|t≥τ}是度量空間X中的一個(gè)過程，稱非空有界集族M={M(t)|t∈R}為U(t，τ)的一個(gè)拉回指數(shù)吸引子，如果

1）對(duì)于?t∈R，集合M(t)∈B(X)在X中是緊的；

2）M(t) ∈B(X)關(guān)于U(t，τ)是正向半不變的。也就是說?t≥τ，U(t，τ)M(τ) ?M(t)；

3）M(t)的分形維數(shù)在X 中是一致有界的，也就是說存在F＞0，?t∈R，使得dimfM(t) ≤F。

4）集合{M(t)|t∈R}拉回吸引X 中的任意有界子集。也就是說存在一個(gè)常數(shù)l＞0，對(duì)于任意有界子 集B∈B(X)，當(dāng)t∈R 時(shí)，存在k＞0，使得

dist(U(t，τ)B，M(t)) ≤ke-l(t-τ)，

其中，dist 為集合間的非對(duì)稱Hausdorff 半度量，即

dist(A，B)=supa∈Ainfb∈Bd(a，b)。

定義2［4］設(shè)H是可分Hilbert 空間且B?H，如果存在秩N的正交投影PN，則稱映射族{U(n)}n∈Z：U(n)：B→B，?n∈Z 是滿足B上的（離散）均勻壓縮性質(zhì)，該正交投影PN與n無關(guān)，使得在B上的每一個(gè)u和v有

引理1［4］令y(t)在[0，+∞)上一致連續(xù)，滿足y'(t)+γy(t)≤h(t)，其中γ＞0，?t≥0，h(t)≥0。假設(shè)則y(t)≤y(0)e-γt+C(1+γ-1)。

設(shè)H是Hilbert 空間，過程{U(t，τ)}在其上作用。假設(shè)過程{U(t，τ)}在H上是連續(xù)的，即對(duì)于所有τ∈R，t≥τ，映射U(t，τ)：H→H是連續(xù)的。設(shè)B?H是過程{U(t，τ)}的有界一致吸收集，即對(duì)于任何有界集B?H，存在一個(gè)t0=t0(B) ＞0，不依賴于τ，使得U(t，τ)B?B，?t≥t0+τ，τ∈R。

令T=T(B) ＞0使得

假設(shè)存在CB＞0，使得

由式（6）可得，對(duì)于任何固定的τ∈R，在B上定義具有離散時(shí)間的過程：

推論1［4］假設(shè)作用于可分Hilbert 空間H中的過程{U(t，τ)}滿足以下條件：

1）H中存在一致有界吸收集；

2）{U(t，τ)}是拉回ω-極限緊的；

3）{U(t，τ)}滿足‖U(t，t-s)u-U(t，t-s)v‖≤CB‖u-v‖，?u，v∈B，0 ≤s≤T；

4）由式（7）定義的{U(n，l)}對(duì)應(yīng)的{U(n)}n∈Z滿足B上的離散均勻壓縮性質(zhì)。

則H中{U(t，τ)}存在一個(gè)拉回指數(shù)吸引子。

2 拉回指數(shù)吸引子的存在性

由式（5）可得

證明證明過程類似于文獻(xiàn)［16］中用標(biāo)準(zhǔn)的Fadeo-Galerkin方法證明解的適定性。

由定理1，可以定義在H0上的過程：

其中，z(t)=(u(t)，ut(t))是方程（1）的解且初值為zτ=(uτ(x)，vτ(x))。

引理2假設(shè)f滿足式（2）～（4）和g(x，t)∈，與方程（1）相關(guān)的過程{U(t，τ)}在H0上有一個(gè)一致吸收集。

證明對(duì)方程（1）兩邊乘以u(píng)t+αu，并在Ω上積分得

由式（8）、（9）和Poincare不等式，可得

因此，可以從式（13）得到在H0上存在一個(gè)一致吸收集。證畢。

令B0是過程{U(t，τ)}上的一致吸收集，當(dāng)T0＞0時(shí)，對(duì)于?τ∈R，有U(τ+T0，τ)B0?B0。

證明令?(t)=u1(t) -u2(t)，ui(t)是方程（1）的解，初值為ziτ，i=1，2，則

將式（15）乘以?t并在Ω上積分得

即得出H0上存在有界集。證畢。

故由引理2和引理3可得推論1的條件1）。

下面用分解方法證明過程{U(t，τ)}拉回ω-極限緊。類似于文獻(xiàn)［17］中的引理1.2，函數(shù)f∈C1(R)滿足式（2）、（3）有一個(gè)分解f=f0+f1，f0，f∈C(R)，滿足

將方程（1）的解u(t)和初值z(mì)τ=(uτ，vτ) ∈H0分解為u(t)=h(t) +w(t)，h(t)和w(t)分別是下面方程（23）和（24）的解。

證明給方程（23）兩邊乘以ht+αh，并在Ω上積分得

即證得過程{U(t，τ)}是拉回ω-極限緊的。

為了估計(jì)帶有臨界非線性項(xiàng)式（2）的解，需要以下結(jié)果：

其中，C'是正常數(shù)，對(duì)式（44）利用Gronwall 引理，結(jié)合引理6，得

其中，γ2，C是正常數(shù)，?為不依賴于t、τ和zτ的單調(diào)遞增函數(shù)。

由引理2、引理4、引理7和引理8知，在Hσ上存在有界子集Bσ使得在H0上的任一有界集B有

令方程（1）的兩個(gè)解u1(t)和u2(t)，初值為z1τ，z2τ∈B1，那么?(t)=u1(t) -u2(t)滿足

式（60）可得當(dāng)式（59）成立時(shí)，有

即證得{U(n)}n∈Z滿足B1上的離散均勻壓縮性質(zhì)。

結(jié)合以上分析證明，可得過程{U(t，τ)}對(duì)應(yīng)于方程（1）具有一個(gè)拉回指數(shù)吸引子。