文| 張香莉

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版數(shù)學(xué)高一必修第二冊（A 版）8.6.2 直線與平面垂直

【理論依據(jù)】

以深度學(xué)習(xí)為理論基礎(chǔ)。深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)通過激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在動機(jī)、培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力、促進(jìn)學(xué)生的深層加工和深層理解、建立學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)和思維模式、發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力和批判性思維等途徑，實(shí)現(xiàn)對知識、技能、態(tài)度、價值觀等方面的深入和全面的學(xué)習(xí)。高中數(shù)學(xué)是一門重要的基礎(chǔ)性和應(yīng)用性學(xué)科，既有嚴(yán)密的邏輯性和抽象性，又有廣泛的實(shí)際性和啟發(fā)性。高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該遵循深度學(xué)習(xí)的原則，采用信息技術(shù)融合手段，引導(dǎo)學(xué)生主動探究、積極參與、合作交流、反思評價。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過觀察探究直線與平面垂直的概念，知道點(diǎn)到平面距離的概念。

2.通過實(shí)驗(yàn)探究能準(zhǔn)確應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理。

3.遵循“直觀感知—探究確認(rèn)—思辨論證—應(yīng)用提升”的認(rèn)識過程，在認(rèn)識直線與平面垂直的概念、直線與平面垂直的判定定理的過程中，體會立體幾何中研究問題的基本思路，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)。

【教學(xué)重點(diǎn)】

發(fā)現(xiàn)、歸納并確認(rèn)直線與平面垂直的定義和判定定理，認(rèn)識斜線在平面內(nèi)的射影，斜線與平面所成的角等相關(guān)概念，并能準(zhǔn)確應(yīng)用。

【教學(xué)難點(diǎn)】

運(yùn)用點(diǎn)到平面的距離和直線與平面所成角的概念和方法，能自主進(jìn)行探究活動并建模計算，解決實(shí)際問題。

【教學(xué)過程】

一、問題引入

活動一：你知道嗎？——課件展示生活中的垂直現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)生思考

教師課前準(zhǔn)備一些生活中常見的垂直現(xiàn)象的圖片或視頻展示給學(xué)生，如旗桿與地面垂直、電線桿與地面垂直、書架與墻壁垂直等。請學(xué)生觀察并提出以下問題：

1.你能說出圖片或視頻中有哪些物體之間是垂直關(guān)系嗎？

2.以上示例中哪些垂直關(guān)系可抽象為直線與平面垂直呢？

3.你知道什么叫作直線與平面垂直嗎？

教師：通過觀察生活中的垂直現(xiàn)象，我們直觀了解了垂直、直線與平面垂直的概念。生活中直線與平面垂直的關(guān)系還有很多，那么，大家想不想知道更多關(guān)于直線與平面垂直的知識和應(yīng)用呢？

二、探究活動

活動二：你能發(fā)現(xiàn)嗎？——觀察實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理

教師在講桌上展示出立體幾何模型，如正方體、長方體、三棱柱、三棱錐，同時教師在大屏幕上播放兩個動畫，如沿一條直角邊固定在軸上慢慢旋轉(zhuǎn)成圓錐的直角三角板、書脊線豎直固定在桌面上慢慢翻頁的一本書等。請學(xué)生觀察并提出以下問題：

2.你能說出直線與平面垂直時，直線與平面內(nèi)的直線分別有哪些位置關(guān)系呢？

3.你能判斷嗎？

①直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，能說明直線與平面垂直嗎？（不能）

②直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線分別垂直，直線與平面垂直嗎？（不能）

③直線與平面內(nèi)的兩條相交直線分別垂直，直線與平面垂直嗎？（能）

4.在桌面上（或者在桌面外）取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O 作直線與桌面垂直，這樣的直線能作幾條？在直線上取一點(diǎn)B，過B 畫一個平面與直線垂直，這樣的平面又能作出幾個？（有且唯一）

5.你能歸納出直線與平面垂直的定義和判斷方法嗎？

師總結(jié)：通過反復(fù)的實(shí)驗(yàn)和推理，我們發(fā)現(xiàn)了一條直線與一個平面垂直的性質(zhì)和判斷方法，這就是我們今天學(xué)習(xí)的定義和判定定理。

4)鍘切秸稈時，秸稈中存在有砂石等硬質(zhì)顆粒，使刀片工作環(huán)境非常惡劣，磨損狀況更為復(fù)雜。刀片與秸稈之間的磨損規(guī)律受刀片與硬質(zhì)顆粒之間磨損情況的影響很大，刀片崩刃現(xiàn)象都比較嚴(yán)重。

直線與平面垂直的定義：如果直線l 與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l 與平面α互相垂直，記作l⊥α。畫圖時一般畫成直線l 與表示α 的橫邊垂直。

【注意】定義要點(diǎn)：

①直線與平面的垂直是相互的，直線l 叫作平面α 的垂線，平面α 叫作直線l 的垂面，它們唯一的交點(diǎn)P，叫作垂足。②過一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個。③過一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條。

直線與平面垂直的判定定理1：如果一條直線與平面內(nèi)的任意（所有）直線都垂直，那么它就與這個平面垂直。

直線與平面垂直的判定定理2：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么它就與這個平面垂直。

【追問】請同學(xué)們思考：為什么平面內(nèi)的“兩條相交直線”，可以代替平面內(nèi)的“任意一條（所有）直線”，而“兩條平行直線”卻不能？

師總結(jié)：從前邊的動畫中可以得出：任意改變兩條相交直線的角度大小，兩條相交線首先可以代表經(jīng)過交點(diǎn)的任意直線，再根據(jù)異面直線所成的角定義可知，平移不改變角度，從而可以代表平面內(nèi)的所有直線；而兩條平行線通過平移后可以重合為同一條直線，不能代表平面內(nèi)的任意直線。同學(xué)們也可以從平面向量的角度做出解釋：兩條相交線上可以構(gòu)造兩條不共線向量，作為平面的基底，表示平面內(nèi)的任意（所有）向量，而兩條平行線上的向量只能是共線向量。

活動三：你能探究嗎？——構(gòu)造變換，發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的性質(zhì)定理

教師課前準(zhǔn)備一些三角板、尺子、圓規(guī)等工具展示給學(xué)生。教師邀請學(xué)生利用這些工具，在紙上畫出一個平面α 和它的一條垂線l，垂足為P，并提出以下問題：

1.你能在平面α 內(nèi)任意畫出一條過垂足P 的直線m 嗎？能用三角板或圓規(guī)測量一下垂線l 和m 所成的角度嗎？（可以）

2.你能說出垂線l 和m 所成的角度是多少嗎？（90°）

3.你能在平面α 內(nèi)再畫出另一條經(jīng)過垂足P 的不同于m 的直線n 嗎？能用三角板或圓規(guī)測量一下垂線l 和n 所成的角度嗎？（可以）

4.你能說出垂線l 和n 所成的角度是多少嗎？（90°）

5.你能在平面α 內(nèi)再畫出一條不經(jīng)過垂足P 的直線q 嗎？并在平面α 內(nèi)過垂足P 作出直線q 的平行線q′嗎？（可以）

6.垂線l 與直線q 是否垂直？（垂直）

7.你能根據(jù)以上結(jié)果，歸納出當(dāng)一條直線與一個平面垂直時，它與平面內(nèi)的直線都有什么共同特征嗎？（它們都與垂線l 垂直）

師總結(jié)：通過變換和測量，事實(shí)說明，直線與平面垂直的定義也可作為直線與平面垂直的性質(zhì)。

直線與平面垂直的性質(zhì)定理1：如果一條直線與平面垂直，那么它與這個平面內(nèi)的任意（所有）直線都垂直。

三、實(shí)踐應(yīng)用

活動四：你能創(chuàng)新嗎？——建模計算，掌握點(diǎn)到平面的距離和斜線與平面所成角的概念和方法

課前教師準(zhǔn)備與點(diǎn)到平面的距離和直線與平面所成角相關(guān)的實(shí)際問題，如計算飛機(jī)從機(jī)場起飛到達(dá)一定高度的時間、計算太陽光線與地面的夾角等，課堂展示。并提出以下問題：

1.你能用數(shù)學(xué)語言描述這個問題嗎？（如設(shè)飛機(jī)從機(jī)場起飛時的速度為v，飛機(jī)與地面所成的角度為α，飛機(jī)到達(dá)高度為h 時所需的時間為t，求t 的表達(dá)式）

2.你能用數(shù)學(xué)符號表示這個問題中涉及的點(diǎn)、線、面嗎？（如設(shè)地面為平面α，飛機(jī)起飛時的位置為點(diǎn)A，飛機(jī)到達(dá)高度h 時的位置為點(diǎn)B，飛機(jī)的運(yùn)動軌跡為直線l，求t 的表達(dá)式）

3.你能用圖形表示這個問題嗎？（如在紙上畫出平面α，點(diǎn)A，點(diǎn)B，直線l，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)）

4.你能用已學(xué)知識建立這個問題的數(shù)學(xué)模型嗎？（如利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理2，得到l 與α 所成的角等于l 與α 內(nèi)任意一條經(jīng)過A 的直線m 所成的角，利用三角函數(shù)知識，以及勻速直線運(yùn)動知識，得到AB=vt；聯(lián)系以上三個式子，得到t=h/〈vsinα〉）

活動五：你能解決嗎？——運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明和解決空間幾何問題

教師在課前準(zhǔn)備一些與直線與平面垂直相關(guān)的空間幾何問題，如證明正方體棱與底面對角線、面垂直，對角線與對角平面垂直、對角線與底面所成角問題等，展示給學(xué)生。邀請學(xué)生選擇一個問題，并提出以下問題：

1.你能分析這個問題涉及哪些已知條件和未知量嗎？（如設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長為a，底面對角線AC 和BD 相交于點(diǎn)O，已知條件是正方體邊長為a，未知量是底面對角線BD 與對角面AA1C1C是否垂直）

2.你能用已學(xué)知識構(gòu)造證明或解決這個問題的思路嗎？（如利用正方體性質(zhì)，AA1⊥ABCD，利用性質(zhì)定理1，證明AA1⊥BD；又AC⊥BD，利用判定定理2，證明BD 與對角面AA1C1C 垂直）

3.你能用已構(gòu)造的思路寫出完整的證明或解答過程嗎？（按照思路，用數(shù)學(xué)語言和符號寫出證明或解答過程，并給出結(jié)論）

教師總結(jié)：通過證明和解答，我們運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，解決了一些簡單的空間幾何問題。

【課堂小結(jié)】

本課我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的定義，掌握了直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能夠運(yùn)用到證明和解決空間幾何問題中。還學(xué)習(xí)了點(diǎn)到平面的距離和斜線與平面所成角的定義及其計算方法，并能夠運(yùn)用到解決實(shí)際問題中。

【作業(yè)布置】

課后復(fù)習(xí)本課的知識要點(diǎn)，鞏固對直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的理解和運(yùn)用；課后完成教材本節(jié)練習(xí)題，檢測對點(diǎn)到平面的距離和直線與平面所成角的概念和方法的掌握。

【教學(xué)反思】

優(yōu)點(diǎn)：本課以深度學(xué)習(xí)為理論基礎(chǔ)，以問題為導(dǎo)向，以實(shí)驗(yàn)探究為主要方式，以實(shí)踐為支撐，以評價為反饋，構(gòu)建了高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計，使學(xué)生在有意義的情境中，深入理解直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理，并能夠靈活運(yùn)用到空間幾何問題中，同時培養(yǎng)了他們空間想象能力、實(shí)驗(yàn)探究能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力以及創(chuàng)新應(yīng)用能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

不足之處：本課知識頗多，信息量大，問題和實(shí)驗(yàn)過程又比較抽象，對于初學(xué)者來說需要時間去探究發(fā)現(xiàn)和理解，所用時間較長，所以教師上課時不能搶時間趕進(jìn)度，需要提前布置任務(wù)，讓學(xué)生有充足的時間做好預(yù)習(xí)和準(zhǔn)備，才能達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果。