文| 毛 雄

勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度的求解是高中物理重要的知識(shí)，也是電學(xué)中的難點(diǎn)之一。文章介紹了在勻強(qiáng)電場(chǎng)中求電場(chǎng)強(qiáng)度的兩種基本方法：等勢(shì)面法和分解電場(chǎng)法。教師通過(guò)具體的例子說(shuō)明了這兩種解題方法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，使學(xué)生在遇到相關(guān)求電場(chǎng)強(qiáng)度問(wèn)題時(shí)能快速解決。

勻強(qiáng)電場(chǎng)（Uniform Electric Field）是一種特殊的電場(chǎng)，其特點(diǎn)是場(chǎng)強(qiáng)在各個(gè)方向上都是相同的，且大小不隨空間位置變化。在這種電場(chǎng)中，電勢(shì)、電場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)線(xiàn)具有以下特性：首先，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電勢(shì)與距離的關(guān)系是一次函數(shù)，即U=Ed，其中U 是電勢(shì)，E 是電場(chǎng)強(qiáng)度，d 是沿電場(chǎng)線(xiàn)方向的距離。這意味著在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電勢(shì)的變化率是恒定的。其次，勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度處處相同，用公式表示為E=F/q，其中F 是電場(chǎng)力，q 是電荷量。在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度與電場(chǎng)力及電荷量無(wú)關(guān)，僅與電場(chǎng)的均勻程度有關(guān)。此外，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)線(xiàn)是相互平行的直線(xiàn)，且間距相同。這些直線(xiàn)代表了電場(chǎng)的方向和強(qiáng)度，線(xiàn)密度越大的地方電場(chǎng)強(qiáng)度越大。需要注意的是，電場(chǎng)線(xiàn)是為了形象化電場(chǎng)而假想的，實(shí)際上并不存在。勻強(qiáng)電場(chǎng)的基本概念和特性為我們分析和計(jì)算電場(chǎng)提供了便利。在求解勻強(qiáng)電場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，我們可以利用這些特性直接得到電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)等信息，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。

等勢(shì)面法和分解電場(chǎng)法是兩種常用的求勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度的方法，它們可以幫助我們更好地理解和解決實(shí)際問(wèn)題。以下是這兩種方法的簡(jiǎn)要介紹：

等勢(shì)面是指電勢(shì)相同的各個(gè)點(diǎn)組成的面。在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，等勢(shì)面是一組相互平行的平面。通過(guò)找到這些等勢(shì)面，我們可以更方便地分析和計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度。等勢(shì)面法的基本步驟：在已知電場(chǎng)強(qiáng)度的情況下，計(jì)算不同位置的電勢(shì)；利用等勢(shì)面的特性（即電勢(shì)相同的點(diǎn)組成的面）找到這些等勢(shì)面；利用等勢(shì)面的分布，分析電場(chǎng)的性質(zhì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的變化。

分解電場(chǎng)法是將電場(chǎng)分解為多個(gè)簡(jiǎn)單的部分，分別計(jì)算這些部分的電場(chǎng)強(qiáng)度，最后將它們疊加得到總電場(chǎng)強(qiáng)度。這種方法可以幫助我們簡(jiǎn)化復(fù)雜的電場(chǎng)問(wèn)題。分解電場(chǎng)法的基本步驟：將復(fù)雜的電場(chǎng)分解為多個(gè)簡(jiǎn)單的部分，如點(diǎn)電荷、線(xiàn)電荷、面電荷等；分別計(jì)算這些簡(jiǎn)單部分的電場(chǎng)強(qiáng)度；將這些電場(chǎng)強(qiáng)度按照矢量疊加原則進(jìn)行疊加，得到總電場(chǎng)強(qiáng)度。

在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以根據(jù)問(wèn)題的具體情況選擇合適的方法。等勢(shì)面法更適用于分析電場(chǎng)的分布和電勢(shì)的變化，而分解電場(chǎng)法更適用于分解復(fù)雜的電場(chǎng)問(wèn)題。綜合運(yùn)用這兩種方法，我們可以更準(zhǔn)確地求解勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度。

在高中物理中，我們知道電場(chǎng)線(xiàn)和等勢(shì)面是相互垂直的。因?yàn)閯驈?qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線(xiàn)是間隔均勻的直線(xiàn)，所以等勢(shì)面也就是與電場(chǎng)線(xiàn)垂直的間隔均勻的直線(xiàn)。在中學(xué)階段，我們?cè)谇髣驈?qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)的大小和方向時(shí)，常用的方法就是找等勢(shì)面，根據(jù)等勢(shì)面來(lái)求電場(chǎng)的大小和方向。

例1.一勻強(qiáng)電場(chǎng)平行于紙面，不知道電場(chǎng)的方向，用儀器沿互成60°角的OA、OB 兩個(gè)方向探測(cè)，得知該靜電場(chǎng)中各點(diǎn)電勢(shì)φ 與到O 點(diǎn)距離的函數(shù)關(guān)系（如圖1 所示）。

圖1

下列說(shuō)法中有關(guān)該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E 的說(shuō)法中，正確的是（）

A.E=400V/m，沿AO 方向

B.E=200V/m，沿BO 方向

解法1：利用等勢(shì)面法

如圖2 所示，設(shè)OC=25cm，OF=20cm，D 點(diǎn)電勢(shì)與C 點(diǎn)電勢(shì)相等，則，由圖1 可知，φF=80V，φC=50V，由以上各式解得OD=12.5cm，由幾何知識(shí)可知CD⊥OA，CD 為等勢(shì)線(xiàn)，由電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)線(xiàn)垂直及沿電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)越來(lái)越低可知，電場(chǎng)方向沿AO 方向，電場(chǎng)強(qiáng)度A 正確，B、C、D 錯(cuò)誤。

圖2

解法2：利用分解電場(chǎng)法

分解電場(chǎng)法基本思路（如圖3）：

圖3

UOa=Ex·x；UOb=Ex·y

Ex=Uoa/x；Ey=Uob/y，方向由高電勢(shì)指向低電勢(shì)。

例1 采用分解電場(chǎng)法如下解答：

A 中φ-x 圖線(xiàn)的斜率表示電場(chǎng)強(qiáng)度E，結(jié)合圖1可知，Ex=400V/m，Ey=200V/m，沿著電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)降低，故x、y 方向上的電場(chǎng)強(qiáng)度方向如圖4 所示，由∠AOB=60°，易知圖中虛線(xiàn)為等勢(shì)線(xiàn)，則電場(chǎng)強(qiáng)度沿AO 方向（大小為E=Ex=400V/m）。由排除法可知，A項(xiàng)正確，B、C、D 三項(xiàng)錯(cuò)誤。

圖4

利用等勢(shì)面法和分解電場(chǎng)法并不是對(duì)所有解決勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度的問(wèn)題都是最簡(jiǎn)單的。

例2.如圖5 在xOy 平面內(nèi)有一勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向平行于此平面，平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)a、b、c，其中a 點(diǎn)的電勢(shì)為10V，b 點(diǎn)的電勢(shì)為17V，c 點(diǎn)的電勢(shì)為26V。以下說(shuō)法正確的是（）

圖5

A．此勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為2.5V/cm

B．坐標(biāo)原點(diǎn)O 處的電勢(shì)為1V

C．有一電子從b 點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到c 點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為9eV

D．電子在a 點(diǎn)的電勢(shì)能比在b 點(diǎn)的電勢(shì)能低7eV

解析：如圖6 所示，

圖6

對(duì)于這道選擇題來(lái)說(shuō)，要想快速且正確地解決這個(gè)問(wèn)題，利用等勢(shì)面法的運(yùn)算量還是比較大，需要先確定d 點(diǎn)的位置，然后再計(jì)算cf 的長(zhǎng)度，這樣的操作對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)容易出錯(cuò)。我們換成分解電場(chǎng)法，從題目中知道場(chǎng)強(qiáng)E 是矢量，是可以沿著兩個(gè)垂直的方向分解的，就可以先求出沿x 軸、y 軸兩個(gè)方向的分量，最后再用矢量合成的方法求出合場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向。

如圖6 所示，根據(jù)a、b、c 三點(diǎn)電勢(shì)的大小可以知道O 點(diǎn)電勢(shì)就是1V，根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的方向由高電勢(shì)指向低電勢(shì)可知：x 方向的場(chǎng)強(qiáng)沿x 軸負(fù)方向，大小，同理可知y 方向的場(chǎng)強(qiáng)沿y 軸負(fù)方向，大小所以合場(chǎng)強(qiáng)E=2.5V/cm，方向與y 軸負(fù)方向成53°。通過(guò)上面的分析可以確定本題的答案為A。

顯而易見(jiàn)，對(duì)于此問(wèn)題我們用分解電場(chǎng)法顯然比等勢(shì)面法要簡(jiǎn)單且快速。

例3.如圖7 所示，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，三角形ABC為正三角形，三角形的邊長(zhǎng)為2 cm，已知UBA=4V，UCA=2V，求場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向？

圖7

解析：這道題如果用分解電場(chǎng)的方法進(jìn)行解答，需要把電場(chǎng)分為BA 方向和CA 方向，分別求兩個(gè)方向電場(chǎng)的大小，再進(jìn)行矢量合成的話(huà)就不正確了。下面我們用等勢(shì)面法計(jì)算。

如圖8 所示，電勢(shì)分別為φA=2V，φB=4V，φC=6V，由勻強(qiáng)電場(chǎng)性質(zhì)可知，AB 中點(diǎn)D 的電勢(shì)為2V，連接CD 則為等勢(shì)線(xiàn)，BA 垂直于CD，所以BA 為電場(chǎng)線(xiàn)。理由是沿著電場(chǎng)線(xiàn)的方向電勢(shì)逐漸降低，因此，場(chǎng)強(qiáng)的方向由B 指向A，大小在這里用等勢(shì)面法快速地找到了問(wèn)題的答案。

圖8

由此可以看出，等勢(shì)面法解這道題更簡(jiǎn)單。上面用分解電場(chǎng)的方法為什么會(huì)出錯(cuò)呢？

這是因?yàn)槿绻皇前凑諆蓚€(gè)互相垂直的方向分解電場(chǎng)，這兩個(gè)電場(chǎng)會(huì)在另一個(gè)方向產(chǎn)生電勢(shì)差。如BA 和CA 方向分解電場(chǎng)，BA 方向的分量會(huì)在CA 方向產(chǎn)生電勢(shì)差，同時(shí)CA 方向的電場(chǎng)會(huì)在BA 方向產(chǎn)生電勢(shì)差，這樣我們的表達(dá)式就應(yīng)該表示為：

最后解得EBA=2V/cm，ECA=0，電場(chǎng)的方向由B 指向A。

總結(jié)：等勢(shì)面法和分解電場(chǎng)法是我們?cè)诮鉀Q勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)大小和方向問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到的方法，到底用哪種方法更簡(jiǎn)單便捷，要具體問(wèn)題具體分析，選擇簡(jiǎn)便靈活的方法，這就需要教師在解決問(wèn)題的時(shí)候，善于歸納總結(jié)，讓教學(xué)和學(xué)習(xí)變得輕松愉快！