李道奎，周仕明

（1.國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073；2.空天任務(wù)智能規(guī)劃與仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410073）

對稱性的利用在力學(xué)問題的求解中具有重要作用。在傳統(tǒng)的《材料力學(xué)》教材中，常常以“對稱與反對稱性質(zhì)的利（應(yīng)）用”[1-2]、“對稱與反對稱靜不定問題分析”[3-4]，或類似題目作為一節(jié)，專門介紹對稱結(jié)構(gòu)、對稱載荷和對稱內(nèi)力等概念及對稱性質(zhì)，并應(yīng)用對稱性質(zhì)簡化靜不定（超靜定）桿系問題的求解過程。

在一些文獻(xiàn)資料中，也有關(guān)于對稱性質(zhì)的描述與應(yīng)用。如蔣中祥[5]介紹了對稱載荷的判斷方法和對稱性質(zhì)，并用更能反映對稱性數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法，證明了對稱性質(zhì)。李冠鵬[6]導(dǎo)出了點(diǎn)對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載和反對稱荷載作用下的反力和內(nèi)力特征。張常光等[7]分析了反對稱荷載作用下靜不定對稱剛架的彎矩圖特點(diǎn)，從而找出了一般性規(guī)律。周臻等[8]將靜不定結(jié)構(gòu)力法中對稱結(jié)構(gòu)承受對稱與反對稱荷載時(shí)的結(jié)論，直接引用于靜定結(jié)構(gòu)分析，張曉萌[9]對為什么可以引用此結(jié)論進(jìn)行了證明。

在這些教材與文獻(xiàn)資料中，對于對稱載荷的判斷和對稱性質(zhì)的描述都還不夠清晰，甚至還會(huì)引起一些誤解。針對這些問題，本文提出了對稱載荷的詳細(xì)判斷步驟與方法，特別是對集中力偶載荷對稱性的判斷，提出了符號運(yùn)算判斷方法；在對稱性質(zhì)的描述中，指出現(xiàn)有描述容易引起誤解，提出將對稱內(nèi)力與反對稱內(nèi)力的性質(zhì)分開描述，并建議引入對稱位移與反對稱位移的概念。

需要說明的是，本文為簡單明了地說明問題，采用的結(jié)構(gòu)均為軸線在同一平面內(nèi)的桿系結(jié)構(gòu)，且力偶表示方式有兩種：兩端帶向外箭頭的折線（圖1（d）中的m），或一端帶雙箭頭的線段（圖1（d）中的m1和m2）。

一、載荷對稱性的判斷方法

載荷對稱性的判斷，往往是求解對稱性問題的難點(diǎn)，特別是在存在集中或分布力偶時(shí)，很多同學(xué)甚至是老師，都不能準(zhǔn)確地判斷載荷的對稱性，這就對利用對稱性求解靜不定問題帶來不可逾越的困難。下面，首先介紹教材與文獻(xiàn)中載荷對稱性的常規(guī)判斷方法，并指出這些方法中的問題，然后提出新的判斷方法。

（一）常規(guī)的判斷方法

在傳統(tǒng)教材[1-4]中，通常會(huì)給出載荷對稱性的概念，并可以直接用概念來判斷載荷的對稱性。例如文獻(xiàn)[1]是這樣描述的：在這樣的結(jié)構(gòu)（對稱結(jié)構(gòu)）上，如載荷的作用位置、大小和方向也都對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，則為對稱載荷；如兩側(cè)載荷的作用位置和大小仍然是對稱的，但方向是反對稱的，則為反對稱載荷。其他教材[2-4]中的描述也與文獻(xiàn)[1]的類似。

這種直接利用概念來判斷載荷對稱性的方法，存在一大一小兩個(gè)問題。大的方面的問題是，這種判斷方法對于圖1（a）—（c）中集中力或分布力載荷對稱性的判斷，是沒有問題的，但對于集中力偶或分布力偶載荷對稱性的判斷，學(xué)生較難接受，例如圖1（d）中，按照概念描述，集中力偶載荷m 的力偶矩矢量的指向關(guān)于對稱軸是反對稱的，事實(shí)上它們?yōu)閷ΨQ載荷。小的方面問題是，關(guān)于方向?qū)ΨQ或反對稱，對于學(xué)生來說容易混淆，有必要把方向這一個(gè)指標(biāo)再分解為方位（與對稱軸的夾角）與指向兩個(gè)指標(biāo)，無論是對稱載荷還是反對稱載荷，方位關(guān)于對稱軸還是對稱的，只是指向有對稱（圖1（b））與反對稱（圖1（c））之分。

圖1 載荷對稱性判斷的示意圖

在一些文獻(xiàn)資料中，也給出了載荷對稱性的判斷方法。如文獻(xiàn)[5]中是這樣描述的：所謂對稱載荷是指沿對稱結(jié)構(gòu)桿件分布的一個(gè)矢量場，繞對稱軸翻轉(zhuǎn)180°包括載荷在內(nèi)的計(jì)算簡圖不變；所謂反對稱載荷是指沿對稱結(jié)構(gòu)桿件分布的一個(gè)矢量場，改變對稱軸一側(cè)的載荷矢量的方向即得一對稱載荷。這種判斷方法較教材上直接利用概念的判斷方法進(jìn)了一步，不僅適用于集中力與分布力載荷對稱性的判斷，還適用于平面內(nèi)集中力偶和分布力偶載荷對稱性的判斷，且判斷方法較為直觀，在很多學(xué)校的教學(xué)中，也按照此種方法進(jìn)行講解。

但這種方法對于力偶作用面與剛架軸線平面垂直的集中力偶和分布力偶（如具有產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形效應(yīng)的力偶），則會(huì)得出相反的結(jié)果，如圖1（d）中的兩個(gè)m1或兩個(gè)m2，它們的矢量方向雖關(guān)于對稱軸呈反對稱性質(zhì)，但結(jié)構(gòu)對稱軸左右兩側(cè)的變形是對稱的，因此，它們實(shí)際為對稱載荷。

（二）新的判斷方法

根據(jù)教材與文獻(xiàn)資料對載荷對稱性判斷中存在的問題，提出如下載荷對稱性的判斷方法與步驟。

（1）觀察結(jié)構(gòu)本身和載荷作用點(diǎn)的位置關(guān)于對稱軸是否對稱，以及載荷的大小是否相等，如果有一個(gè)“否”，則為非對稱載荷，如果全為“是”（例如圖1 的4 個(gè)圖中的載荷），則進(jìn)入下一步。

（2）觀察載荷作用的方位關(guān)于對稱軸是否對稱，如果為“否”，則為非對稱載荷（例如圖1（a）），如果為“是”，則一定為對稱或反對稱載荷（例如圖1（b）—（d）），然后進(jìn)入下一步。

（3）觀察載荷的指向關(guān)于對稱軸的對稱性，這時(shí)需要分兩種情況討論：集中力或分布力、集中力偶或分布力偶。

對于集中力或分布力，根據(jù)力矢量箭頭的指向很容易判斷，指向?qū)ΨQ的為對稱載荷（圖1（b）），指向反對稱的為反對稱載荷（圖1（c））。

對于集中力偶或分布力偶，載荷指向?qū)ΨQ性判斷可采用三個(gè)指標(biāo)的符號運(yùn)算方法。三個(gè)指標(biāo)為：力偶作用面與剛架軸線平面的關(guān)系，力偶矩矢量與對稱軸關(guān)系，以及兩個(gè)力偶矩的矢量關(guān)系。且設(shè)指標(biāo)力偶作用面與剛架軸線平面平行為“-”，垂直為“+”；力偶矩矢量與對稱軸平行為“-”，垂直為“+”；兩個(gè)力偶矩矢量反向?yàn)椤?”，同向?yàn)椤?”。三者相乘結(jié)果為“+”的指向是對稱的（定義為“+”），此時(shí)的載荷為對稱載荷，為“-”的指向是反對稱的（定義為“-”），此時(shí)的載荷為反對稱載荷，見表1。根據(jù)這種符號運(yùn)算判斷方法，圖1（d）中的三對力偶載荷均為對稱載荷。

表1 力偶載荷對稱性判斷的符號運(yùn)算方法

（三）判斷方法的應(yīng)用

下面用幾個(gè)例題說明判斷方法的應(yīng)用。

例題1：如圖2（a）所示小曲率圓環(huán)的彎曲剛度為EI，鉸接于圓環(huán)內(nèi)側(cè)的直桿CD 的拉壓剛度為EA，承受均布的切向載荷q 和力偶Me作用，試判斷載荷的對稱性。

解：通過觀察圖2（a），可以看出AB 是結(jié)構(gòu)的對稱軸，且在關(guān)于AB 的對稱位置，作用了大小相等的切向分布載荷q。集中力偶Me作用在對稱截面B上，可將其分解為作用在對稱截面兩側(cè)的兩個(gè)力偶矩為Me/2 的集中力偶（圖2（b）），也滿足對稱位置上作用了相等載荷的條件，因此，步驟（1）中的條件全部滿足；然后觀察對稱位置上的載荷作用方位是否對稱，將對稱位置上的分布載荷q，分解為水平向分布載荷q1和垂直向載荷q2，結(jié)合對稱截面上的兩個(gè)集中力偶的矢量方位，可以知道載荷作用的方位關(guān)于對稱軸是對稱的；最后觀察載荷的指向，對稱軸兩邊的q1和q2指向是反對稱的，而兩個(gè)Me/2 的集中力偶，根據(jù)表1 的載荷情況1 可知，三個(gè)指標(biāo)分別為“-”“+”“+”，三者相乘為“-”，因此載荷是反對稱的。由此可知，所有載荷的指向關(guān)于對稱軸都是反對稱的，因此本例中的載荷是反對稱載荷。

圖2 載荷對稱性判斷的示意圖

例題2：如圖3（a）所示三角形剛架，各桿的彎曲剛度均為EI，在各邊的中點(diǎn)處作用有集中力偶M，試判斷載荷的對稱性。

解：通過觀察圖3（a），可以看出CD 是結(jié)構(gòu)的對稱軸，以將對稱截面D 上的集中力偶M 分解為作用在對稱截面兩側(cè)的兩個(gè)力偶矩為M/2 的集中力偶，再將E和F 截面上的集中力偶M 分解為水平向集中力偶Mx和豎直方向集中力偶My（圖3（b）），很容易看出兩個(gè)M/2、兩個(gè)Mx和兩個(gè)My，都是作用在對稱位置上的相等載荷，且方位對稱，因此只需要判斷指向的對稱性。對于兩個(gè)M/2 和兩個(gè)Mx，根據(jù)表1 的載荷情況3 可知，三個(gè)指標(biāo)分別為“+”“+”“+”，三者相乘為“+”，因此載荷指向是對稱的；對于兩個(gè)My，根據(jù)表1 的載荷情況2 可知，三個(gè)指標(biāo)分別為“+”“-”“-”，三者相乘為“+”，因此載荷指向也是對稱的。由此可知，所有載荷的指向關(guān)于對稱軸都是對稱的，因此本例中的載荷是對稱載荷。其實(shí)圖3（a）中的BE 和AF 也是對稱軸，如以它們?yōu)閷ΨQ軸進(jìn)行分析，同樣可以得到本例中載荷是對稱載荷。

圖3 載荷對稱性判斷的示意圖

二、對稱性質(zhì)的描述

應(yīng)用對稱性質(zhì)，可以減少靜不定對稱問題的求解變量，簡化求解過程，有些時(shí)候甚至可以直接求出某些未知內(nèi)力。下面，首先介紹教材與文獻(xiàn)中關(guān)于對稱性質(zhì)的描述，并提出其中的一些問題，然后提出新的描述。

（一）教材與文獻(xiàn)中的描述

在傳統(tǒng)教材[1-4]中，在介紹對稱性質(zhì)之前，一般先會(huì)將內(nèi)力分為對稱內(nèi)力與反對稱內(nèi)力，即軸力與彎矩是對稱內(nèi)力，剪力與扭矩是反對稱內(nèi)力，然后再給出對稱性質(zhì)的描述。文獻(xiàn)[3]教材中關(guān)于對稱性質(zhì)的描述是這樣的：在對稱載荷作用下，對稱結(jié)構(gòu)的變形和內(nèi)力分布對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸（對稱面），對稱結(jié)構(gòu)對稱軸（對稱面）處橫截面上的反對稱內(nèi)力（剪力與扭矩）為零；而在反對稱載荷作用下，對稱結(jié)構(gòu)的變形和內(nèi)力分布反對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸（對稱面），對稱結(jié)構(gòu)對稱軸（對稱面）處橫截面上的對稱內(nèi)力（軸力與彎矩）為零。其他教材中，要么沒有明確描述對稱性質(zhì)[1]，要么描述的內(nèi)容與文獻(xiàn)[3]的描述類似[2，4]。

對于這種描述，存在三個(gè)方面的問題。①變形是個(gè)整體的概念，“變形分布對稱（反對稱）于結(jié)構(gòu)的對稱軸”的說法不妥，而應(yīng)該是“某一位移的分布對稱（反對稱）于結(jié)構(gòu)的對稱軸”；②“內(nèi)力分布對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸”也不準(zhǔn)確，因?yàn)閮?nèi)力存在對稱內(nèi)力和反對稱內(nèi)力，它們之中的一類是對稱分布的話，另一類一定是反對稱分布；③沒有很好地描述對稱截面上位移的特點(diǎn)，而這一特點(diǎn)對于靜不定對稱問題的求解也非常有用，有些教材描述了對稱截面上位移特點(diǎn)，但不夠準(zhǔn)確（發(fā)生面外位移時(shí)不準(zhǔn)確），而且不直觀。

在一些文獻(xiàn)資料中，也給出了對稱性質(zhì)的描述。如文獻(xiàn)[5]中是這樣描述的：對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下，內(nèi)力和位移對稱；在反對稱載荷作用下，內(nèi)力和位移反對稱。這種描述盡管將變形改成了位移，但并不是所有位移都是同樣的分布規(guī)律，因此也不夠準(zhǔn)確。

（二）新的描述

根據(jù)教材與文獻(xiàn)資料對對稱性質(zhì)的描述中存在的問題，首先應(yīng)該引入對稱位移與反對稱位移的概念，然后再對對稱性質(zhì)進(jìn)行描述。

按照對稱內(nèi)力定義方式，定義撓度與截面的扭轉(zhuǎn)角為對稱位移，軸向位移與截面繞中性軸的轉(zhuǎn)角為反對稱位移，見表2。

表2 內(nèi)力和位移對稱性定義

按對稱內(nèi)力和對稱位移定義，關(guān)于對稱性質(zhì)的描述如下：

在對稱載荷作用下，對稱結(jié)構(gòu)的對稱內(nèi)力和對稱位移分布對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，反對稱內(nèi)力和反對稱位移分布反對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，在對稱截面上，只存在對稱內(nèi)力和對稱位移，而反對稱內(nèi)力和反對稱位移為零，見表3。

在反對稱載荷作用下，對稱結(jié)構(gòu)的對稱內(nèi)力和對稱位移分布反對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，反對稱內(nèi)力和反對稱位移分布對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，在對稱截面上，只存在反對稱內(nèi)力和反對稱位移，而對稱內(nèi)力和對稱位移為零，見表3。

表3 對稱結(jié)構(gòu)對稱截面的內(nèi)力和位移性質(zhì)

三、結(jié)論

本文針對現(xiàn)有教材與文獻(xiàn)中關(guān)于材料力學(xué)中載荷對稱性判斷方法和對稱性質(zhì)描述中存在的問題，提出新的載荷對稱性判斷方法和對稱性質(zhì)描述，主要結(jié)論如下。

（1）提出了分三步進(jìn)行載荷對稱性的判斷新方法，特別是力偶載荷對稱性判斷的符號運(yùn)算方法。該方法不僅可以涵蓋以往的判斷方法，還修正了以往的判斷方法中的問題。

（2）在對稱性質(zhì)的描述中，引入了對稱位移與反對稱位移的概念，并提出將對稱內(nèi)力（位移）與反對稱內(nèi)力（位移）的性質(zhì)分開描述的新的對稱性質(zhì)描述方法。