譚 平，毛江峰，丁 進(jìn)，程劍鋒，趙 陽(yáng)，強(qiáng) 力，馬吉恩

（1.浙江科技學(xué)院 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310023；2.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 通信信號(hào)研究所，北京 海淀 100081；3.中鐵高鐵電氣裝備股份有限公司 研究中心，陜西 寶雞 721013；4.浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027)

接觸網(wǎng)是高速鐵路的關(guān)鍵系統(tǒng)，是高速列車的動(dòng)力之源，實(shí)現(xiàn)接觸網(wǎng)狀態(tài)在線監(jiān)測(cè)，對(duì)保障高速鐵路行車安全，提升高速鐵路運(yùn)營(yíng)效率具有非常重要的意義。面向高速鐵路接觸網(wǎng)監(jiān)測(cè)的無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，具有安裝方便、布線簡(jiǎn)單、維護(hù)方便等優(yōu)勢(shì)，是今后技術(shù)發(fā)展的重要方向［1-2］。接觸網(wǎng)狀態(tài)在線監(jiān)測(cè)無(wú)線傳感模塊需要滿足五年以上的長(zhǎng)壽命周期要求，但高速鐵路沿線無(wú)線通信系統(tǒng)種類繁多、電磁環(huán)境復(fù)雜，如何保證無(wú)線鏈路中數(shù)據(jù)傳輸?shù)目煽啃院凸?jié)點(diǎn)的能量消耗是十分關(guān)鍵的問題，因此合理設(shè)計(jì)用于接觸網(wǎng)在線監(jiān)測(cè)的無(wú)線傳感模塊通信協(xié)議，以及無(wú)線傳感模塊傳輸數(shù)據(jù)包的可靠性校驗(yàn)都極其重要。較差錯(cuò)控制編碼方式而言，CRC編碼方式對(duì)于均衡能量消耗和誤碼率問題都不失為1 種較好的解決方案，但從充分保障無(wú)線傳輸數(shù)據(jù)的完整性與可靠性的角度，還需要繼續(xù)研究CRC的特征多項(xiàng)式性能，以確保選擇的特征多項(xiàng)式位數(shù)合適、運(yùn)算空間低，從而進(jìn)一步提升校驗(yàn)性能。

目前CRC 算法主要通過(guò)串、并行算法或查表法實(shí)現(xiàn)。如羅宇等［3］將CRC 算法變?yōu)榫仃嚲€性運(yùn)算，降低運(yùn)算耗時(shí)、節(jié)省資源占用。陳容等［4］和左飛飛等［5］分別提出基于遞推法32 位改進(jìn)并行算法，大大節(jié)省了硬件資源。王寧平等［6］對(duì)查表法進(jìn)行優(yōu)化，在1 個(gè)周期內(nèi)實(shí)現(xiàn)CRC 運(yùn)算。上述方法主要從編譯碼算法實(shí)現(xiàn)角度，根據(jù)實(shí)際情況兼顧軟硬件配置，提高了CRC 算法的校驗(yàn)效率，但其應(yīng)用范圍均有一定局限性。

從自身性能來(lái)看，CRC的殘余誤差概率（RP）會(huì)直接影響校驗(yàn)結(jié)果。如16 位國(guó)際通用特征多項(xiàng)式CRC-ANSI 和CRC-CCITT，在17 位突發(fā)差錯(cuò)時(shí)的糾錯(cuò)率均為99.997%、18 位及以上時(shí)均為99.998%［7］。特征多項(xiàng)式校驗(yàn)時(shí)不同數(shù)據(jù)長(zhǎng)度會(huì)出現(xiàn)不同殘余誤差概率［8］，分析特征多項(xiàng)式性能因素對(duì)校驗(yàn)特征多項(xiàng)式選取具有指導(dǎo)意義，其殘余誤差概率的計(jì)算結(jié)果也具有普遍適用性。Agarwal V K 等［9］推導(dǎo)得到關(guān)于殘余誤差概率合法碼碼重的計(jì)算方法。IEC 61784-3［10］給出殘余誤差概率的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。KOOPMAN P等［11］通過(guò)最小漢明距離計(jì)算殘余誤差概率的方法來(lái)選取特征多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)近似性能特征多項(xiàng)式無(wú)法運(yùn)用簡(jiǎn)化模型計(jì)算并直接比較出校驗(yàn)性能，若直接運(yùn)用原理法計(jì)算則步驟復(fù)雜、計(jì)算量大［6-7］。

目前CRC 特征多項(xiàng)式的性能理論分析不夠充分，既有文獻(xiàn)尚未形成可快速、準(zhǔn)確選取性能更優(yōu)特征多項(xiàng)式的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。針對(duì)這一情況，本文首先建立特征多項(xiàng)式殘余誤差概率計(jì)算模型，根據(jù)特征多項(xiàng)式自身性能剖析影響殘余誤差概率的主要因素，提出1 種對(duì)任意數(shù)據(jù)長(zhǎng)度校驗(yàn)實(shí)現(xiàn)CRC 多項(xiàng)式性能定量評(píng)估的計(jì)算方法。以設(shè)計(jì)接觸網(wǎng)在線監(jiān)測(cè)無(wú)線傳感模塊數(shù)據(jù)包256 bit 的數(shù)據(jù)位長(zhǎng)為驗(yàn)證對(duì)象，先確認(rèn)特征多項(xiàng)式位數(shù)，根據(jù)殘余誤差概率初步分析特征多項(xiàng)式性能，再通過(guò)對(duì)近似性能多項(xiàng)式位出錯(cuò)漏檢率的精確計(jì)算，最終快速、準(zhǔn)確選取更優(yōu)檢錯(cuò)性能特征多項(xiàng)式。

1 殘余誤差概率計(jì)算

殘余誤差概率也稱為未被檢測(cè)錯(cuò)誤概率（Un?detected Error Probability，Pue）［12］。以k為數(shù)據(jù)碼中待校驗(yàn)信息碼的位長(zhǎng)，r為校驗(yàn)位長(zhǎng)，那么含校驗(yàn)位的數(shù)據(jù)總位長(zhǎng)n=k+r。當(dāng)CRC 多項(xiàng)式校驗(yàn)數(shù)據(jù)的位長(zhǎng)不小于固有長(zhǎng)度的2r-1-1 時(shí)，此時(shí)Pue值與生成特征多項(xiàng)式的選擇無(wú)關(guān)，只與該特征多項(xiàng)式的最高階數(shù)r有關(guān)；當(dāng)待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)小于固定長(zhǎng)度2r-1-1 時(shí)，校驗(yàn)碼即為縮短碼，此時(shí)Pue值既與特征多項(xiàng)式有關(guān)，又與縮短后的數(shù)據(jù)總位長(zhǎng)n有關(guān)。根據(jù)文獻(xiàn)［8］，Pue的通用計(jì)算方法有式（1）和式（2）這2種。

式中：Ap為合法碼字中碼重為p的碼字?jǐn)?shù)目，p=0，1，…，n；ε為位出錯(cuò)概率。

式中：q為有限域元素個(gè)數(shù)；Bp為合法對(duì)偶碼中碼重為p的碼字?jǐn)?shù)目，p=0，1，…，n。

以二進(jìn)制對(duì)稱信道（BSC）作為一般的信道編碼模型，式（1）和式（2）分別對(duì)應(yīng)為式（3）和式（4）。

1.1 殘余誤差概率序列計(jì)算方法

校驗(yàn)位長(zhǎng)r越多，特征多項(xiàng)式校驗(yàn)?zāi)芰υ綇?qiáng)。但隨著待檢數(shù)據(jù)總位長(zhǎng)n增加，Ap和Bp的計(jì)算復(fù)雜度也會(huì)隨之增加。在校驗(yàn)應(yīng)用的眾多場(chǎng)合中，一般r?k，因此Bp的計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)小于Ap［13］，通過(guò)Bp計(jì)算殘余誤差概率更為簡(jiǎn)便。

以p（x）為不可再被約分的本原多項(xiàng)式，可針對(duì)Bp提出1種適用于校驗(yàn)碼為固有長(zhǎng)度或縮短碼的計(jì)算方法，生成形式為“（x+1）p（x）”的多項(xiàng)式g（x），該方法具體步驟如下。

1）初始化數(shù)列

設(shè)有數(shù)列Wi（i=0，1，…，n），初始值為：W0取1，數(shù)列中其他項(xiàng)均取0。

2）生成特征序列

根據(jù)線性反饋移位寄存器，生成周期2r-1-1的序列。r-1 級(jí)線性反饋移位寄存器運(yùn)算過(guò)程如圖1 所示，主要由移位寄存器和異或門邏輯組成。圖中：白、黑箭頭分別表示數(shù)字流的運(yùn)行方向和反饋移位寄存器的運(yùn)算方向。

圖1 r-1級(jí)線性反饋移位寄存器運(yùn)算過(guò)程

線性反饋移位寄存器的周期即所產(chǎn)生的碼組長(zhǎng)度只與反饋方式有關(guān)。根據(jù)反饋方式，圖1中的線性反饋移位寄存器對(duì)應(yīng)的特征方程為［14］

式中：α為第α位寄存器，α∈［0，r-1］；fα為0-1變量，若第α位寄存器參與異或運(yùn)算，則取值為1，否則取值為0。

此特征方程即為生成的特征多項(xiàng)式g（x）=（x+1）p（x）中的本原多項(xiàng)式p（x）。

對(duì)各觸發(fā)器賦初始值，且至少1 個(gè)觸發(fā)器的初始值賦為1（若初始狀態(tài)全為0則無(wú)法循環(huán)）。定義T時(shí)刻的輸出aT是前一時(shí)刻狀態(tài)sT-1=(aT-1aT-2…aT-n)和特征多項(xiàng)式系數(shù)矩陣f=(f0f1…fr-1)的轉(zhuǎn)置矩陣的內(nèi)積，即

直到下一循環(huán)周期開始前，依次記下這一周期內(nèi)的全部輸出，即為特征序列。

3）計(jì)算Wi

從特征序列最低位開始的n位進(jìn)行檢驗(yàn)，若從低位開始的n位中有i個(gè)1，則對(duì)應(yīng)的Wi須加1。

先將生成的多項(xiàng)式左移1 位，即特征序列的初始最高位移到初始最低位；再檢驗(yàn)特征序列新的最低n位，可按式（3）運(yùn)用簡(jiǎn)化計(jì)算方法實(shí)現(xiàn)；重復(fù)上述檢驗(yàn)步驟，直到特征序列初始最低位從序列最高位移出序列并恢復(fù)至初始狀態(tài)。

式中：Nold和Nnew分別為每次移位前、移位后最低n位中數(shù)字“1”的個(gè)數(shù)；u為特征序列每次移位前最低位；v為特征序列移位后的第n位。

4）計(jì)算Bp，得到殘余誤差概率后計(jì)算結(jié)束

Bp的計(jì)算式為

若n為偶數(shù)，則其中Wi自動(dòng)相加；再將Bp代入式（4），就可以得到相應(yīng)殘余誤差概率Pue的值。

1.2 殘余誤差概率比較

以8 位特征多項(xiàng)式CRC-8，16 位特征多項(xiàng)式CRC-CCITT，32 位特征多項(xiàng)式CRC-32Q 為例，目前國(guó)際通用的幾種含x+1 因式的CRC 多項(xiàng)式分解計(jì)算方法分別如下［15］。3種計(jì)算方法得到的特征多項(xiàng)式都由因式x+1和p（x）組成。

1）8位特征多項(xiàng)式CRC-8

其中，

2）16位特征多項(xiàng)式CRC-CCITT

其中，

3）32位特征多項(xiàng)式CRC-32Q

其中，

對(duì)于接觸網(wǎng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)無(wú)線傳感模塊擬設(shè)計(jì)256 bit 待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位，3 種計(jì)算方法下，計(jì)算得到的CRC 多項(xiàng)式殘余誤差概率結(jié)果如仿真軟件截圖如圖2所示。

圖2 待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)256 bit時(shí)3種CRC多項(xiàng)式殘余誤差概率

根據(jù)圖2計(jì)算結(jié)果可知：CRC殘余誤差概率隨字節(jié)出錯(cuò)概率的增加而增長(zhǎng)，8 位特征多項(xiàng)式計(jì)算結(jié)果最終穩(wěn)定在3.906×10-3，數(shù)量級(jí)符合2-8；16位最終穩(wěn)定在1.525×10-5，數(shù)量級(jí)符合2-16；32位最終穩(wěn)定在2.328×10-10，數(shù)量級(jí)符合2-32。

CRC 多項(xiàng)式校驗(yàn)時(shí)，其待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)一般都小于2r-1-1位［16］。例如：8位CRC多項(xiàng)式，待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)一般不超過(guò)28-1-1=127 bit；16位一般不超過(guò)32 767 bit。因此，對(duì)于數(shù)據(jù)位長(zhǎng)256 bit 的無(wú)線傳感模塊，若選用8 位CRC 校驗(yàn)碼，待校驗(yàn)位超過(guò)127 bit，漏檢率高，無(wú)法保障接觸網(wǎng)監(jiān)測(cè)模塊數(shù)據(jù)傳輸可靠性；若選用24位或32位CRC 校驗(yàn)碼，則校驗(yàn)效率低，且校驗(yàn)位占用較多空間，數(shù)據(jù)傳輸有效率降低、運(yùn)算周期長(zhǎng)、資源占用大。綜合對(duì)比后，可認(rèn)為16 位CRC 校驗(yàn)碼更適用于256 bit的數(shù)據(jù)位長(zhǎng)校驗(yàn)。

1.3 影響殘余誤差概率的因素

CRC 校驗(yàn)碼實(shí)際是1 種縮短漢明碼［17］，實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，其位出錯(cuò)概率ε隨合法碼字中碼重為p的碼字?jǐn)?shù)目的增加而增加。為簡(jiǎn)化殘余故障概率計(jì)算過(guò)程，通常采用含最小漢明距離的近似模型進(jìn)行計(jì)算［18］，即

式中：h為最小漢明距離（HD），bit；m為出錯(cuò)位數(shù)，bit。

式（12）即是近似殘余誤差概率模型。CRC多項(xiàng)式校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)固定的情況下，不同最小漢明距離對(duì)應(yīng)多個(gè)不同CRC 多項(xiàng)式。仍取待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)256 bit（其他數(shù)據(jù)位長(zhǎng)情況類似），按照16 位CRC 多項(xiàng)式校驗(yàn)，仿真計(jì)算不同最小漢明距離下的殘余誤差概率，發(fā)現(xiàn)最小漢明距離為4時(shí)，所有小于4 bit 的錯(cuò)誤均可被檢測(cè)出；同理最小漢明距離為6 時(shí)，所有小于6 bit 的錯(cuò)誤也均可被檢測(cè)出。因此選取最小漢明距離分別為4，5 和6 bit，采用MATLAB 進(jìn)行仿真計(jì)算相對(duì)應(yīng)的16 位CRC 多項(xiàng)式的殘余誤差概率，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)256 bit時(shí)不同最小漢明距離對(duì)應(yīng)的16位CRC多項(xiàng)式殘余誤差概率

根據(jù)圖3 仿真結(jié)果可知：待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)256 bit 且字節(jié)出錯(cuò)概率相同時(shí)，最小漢明距離越大殘余誤差概率越小，但最小漢明距離每增加1 bit，計(jì)算所需位空間也相應(yīng)增加1 bit；隨BSC 信道位出錯(cuò)概率增加，不同最小漢明距離下的殘余誤差概率最終都逐漸趨于2-16；若只考慮殘余誤差概率性能因素，位長(zhǎng)固定時(shí)應(yīng)優(yōu)先選取最小漢明距離較大的特征多項(xiàng)式。

由式（12）可知，殘余誤差概率還與數(shù)據(jù)字節(jié)位數(shù)有關(guān)。取位出錯(cuò)概率為0.1，最小漢明距離為4 的16 位CRC 多項(xiàng)式，其字節(jié)位數(shù)與殘余誤差概率關(guān)系如圖4所示。

圖4 最小漢明距離為4時(shí)16位CRC多項(xiàng)式字節(jié)數(shù)與殘余誤差概率關(guān)系

根據(jù)圖4 可知：隨待校驗(yàn)位長(zhǎng)的增加，殘余誤差概率是1條無(wú)限逼近于定值的單調(diào)遞增曲線；數(shù)據(jù)位長(zhǎng)在50 bit 以內(nèi)時(shí)，數(shù)據(jù)位數(shù)對(duì)殘余誤差概率影響很大；數(shù)據(jù)位長(zhǎng)大于50 bit 后，這一影響越來(lái)越小，殘余誤差概率隨位數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于2-16；待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)達(dá)到256 bit 后，殘余誤差概率已趨于穩(wěn)定。

圖3 和圖4 的結(jié)果均表明，最小漢明距離和數(shù)據(jù)位長(zhǎng)均是影響殘余誤差概率的重要因素；數(shù)據(jù)位長(zhǎng)的確定，則須結(jié)合最小漢明距離和實(shí)際設(shè)計(jì)需求選擇合適的特征多項(xiàng)式；多項(xiàng)式殘余誤差概率與待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)、最小漢明距離、CRC 校驗(yàn)碼位數(shù)和字節(jié)出錯(cuò)概率直接相關(guān)。

2 特征多項(xiàng)式檢錯(cuò)性能定量評(píng)估

2.1 特征多項(xiàng)式的精確選取方法

考慮實(shí)際高速鐵路沿線復(fù)雜的電磁環(huán)境、電磁干擾嚴(yán)重，信道環(huán)境不夠穩(wěn)定，此時(shí)位出錯(cuò)概率ε維持較高值，不同最小漢明距離對(duì)應(yīng)的16 位特征多項(xiàng)式殘余誤差概率都趨于2-16。因此，對(duì)256 bit待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)進(jìn)行校驗(yàn)時(shí)，選取最小漢明距離為4 的16 位CRC 多項(xiàng)式不僅可獲得與最小漢明距離為6時(shí)相似的殘余誤差概率，同時(shí)還可節(jié)省更多的位空間。

提出1 種特征多項(xiàng)式的精確選取方法，其具體步驟如圖5所示。首先根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景，對(duì)部分適用特征多項(xiàng)式進(jìn)行初步篩選；之后通過(guò)近似殘余誤差概率模型簡(jiǎn)單計(jì)算，快速選取性能更優(yōu)特征多項(xiàng)式；然后，根據(jù)模型計(jì)算結(jié)果，若發(fā)現(xiàn)得到的特征多項(xiàng)式性能接近，則對(duì)特征多項(xiàng)式位漏檢率進(jìn)行精確定量計(jì)算，準(zhǔn)確選取更優(yōu)特征多項(xiàng)式。從計(jì)算原理可知，此方法計(jì)算簡(jiǎn)單，且適用于任意數(shù)據(jù)位長(zhǎng)校驗(yàn)時(shí)性能更優(yōu)特征多項(xiàng)式的選取。如進(jìn)行CRC多項(xiàng)式校驗(yàn)時(shí)，可結(jié)合具體應(yīng)用環(huán)境、待校驗(yàn)位長(zhǎng)、信道位出錯(cuò)率、各特征多項(xiàng)式固定位長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的最小漢明距離及具體漏檢率等因素，運(yùn)用此方法逐步判斷各特征多項(xiàng)式的檢錯(cuò)性能優(yōu)劣，便可篩選得到性能更優(yōu)的特征多項(xiàng)式。

圖5 特征多項(xiàng)式選取具體方法

當(dāng)待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)256 bit、最小漢明距離為4時(shí)，CRC-ANSI 多項(xiàng)式、CRC-CCITT 多項(xiàng)式為應(yīng)用最廣泛的2種16位通用特征多項(xiàng)式。其中：前者多用于Modbus和USB 等場(chǎng)景；后者多用于高級(jí)數(shù)據(jù)鏈路控制（HDLC）、FCS和藍(lán)牙等場(chǎng)景。這2個(gè)特征多項(xiàng)式都包含x+1因式，在最小漢明距離、數(shù)據(jù)位長(zhǎng)都相同的情況下，計(jì)算得到的殘余誤差概率接近，難以根據(jù)近似模型簡(jiǎn)化計(jì)算并直接比較特征多項(xiàng)式性能優(yōu)劣。針對(duì)此類近似性能特征多項(xiàng)式的準(zhǔn)確選取，有必要進(jìn)一步根據(jù)實(shí)際校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)分析各特征多項(xiàng)式位出錯(cuò)發(fā)生時(shí)所有可能的漏檢情況，精確計(jì)算不同位長(zhǎng)出錯(cuò)時(shí)的漏檢率，定量分析特征多項(xiàng)式校驗(yàn)性能。

2.2 2種近似性能特征多項(xiàng)式檢錯(cuò)能力對(duì)比

CRC-ANSI 多項(xiàng)式和CRC-CCITT 多項(xiàng)式的性能近似，均可檢測(cè)出所有奇數(shù)位錯(cuò)；待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)256 bit 時(shí)的最小漢明距離均為4。根據(jù)Koop?man P［19］的研究結(jié)果，總數(shù)據(jù)位長(zhǎng)272 bit（含16 bit 驗(yàn)位）時(shí)，CRC-ANSI 多項(xiàng)式和CRC-CCITT多項(xiàng)式的檢錯(cuò)能力見表1。

表1 總數(shù)據(jù)位長(zhǎng)272 bit時(shí)2種多項(xiàng)式檢錯(cuò)能力對(duì)比

根據(jù)表1，CRC-ANSI 多項(xiàng)式和CRC-CCITT多項(xiàng)式發(fā)生位出錯(cuò)時(shí)，可被完全檢測(cè)和未被完全檢測(cè)情形一致，因此需對(duì)位出錯(cuò)可被完全檢測(cè)出的具體概率和未被完全檢測(cè)出的具體概率即漏檢率分別按位定量計(jì)算，具體分析特征多項(xiàng)式檢錯(cuò)性能。

BSC 信道模型中，位出錯(cuò)漏檢率與待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)、位出錯(cuò)率及所選特征多項(xiàng)式有關(guān)。當(dāng)總數(shù)據(jù)位長(zhǎng)為n的數(shù)據(jù)中出錯(cuò)位數(shù)為m時(shí)，共有種出錯(cuò)可能，出錯(cuò)概率為P(m，ε)=

根據(jù)表1，總數(shù)據(jù)位長(zhǎng)272 bit 時(shí)，分可被完全檢測(cè)和未被完全檢測(cè)2 種情況，分別計(jì)算2 種特征多項(xiàng)式下位出錯(cuò)的檢出情況。

1）可被完全檢測(cè)時(shí)

求和得到2 種特征多項(xiàng)式下，出錯(cuò)位可被完全檢測(cè)的概率P1為

2）未被完全檢測(cè)時(shí)

根據(jù)Koopman P 的研究結(jié)果，0≤m≤3 或m=2j-1（3≤j≤136）時(shí)，am=0，bm=0；m≥4時(shí)，對(duì)CRC-ANSI 多項(xiàng)式有a4=19 233，a6=18 209 209，a8=20 614 494 970，對(duì)CRC-CCITT多項(xiàng)式有b4=6 587，b6=16 262 773，b8=20 437 276 732。

總數(shù)據(jù)位長(zhǎng)272 bit 的信息中出錯(cuò)位數(shù)不少于3 bit 時(shí)，CRC-ANSI 多項(xiàng)式下偶數(shù)位出錯(cuò)的可被檢測(cè)概率P2A和漏檢概率Pue，ANSI分別按式（14）和式（15）計(jì)算。

總數(shù)據(jù)位長(zhǎng)272 bit 的信息中出錯(cuò)位數(shù)不少于3 bit 時(shí)，CRC-CCITT 多項(xiàng)式下偶數(shù)位出錯(cuò)的可被檢測(cè)概率P2C和漏檢概率Pue，CCITT分別按式（16）和式（17）計(jì)算。

綜合位出錯(cuò)可被完全檢測(cè)和未被完全檢測(cè)2 種情形，得到總數(shù)據(jù)位長(zhǎng)272 bit 時(shí)，CRC-ANSI 多項(xiàng)式下總檢錯(cuò)概率PANSI=P1+P2A，即

CRC-CCITT 多項(xiàng)式下總檢錯(cuò)概率PCCITT=P1+P2C，即

2.3 2種特征多項(xiàng)式漏檢率對(duì)比

由式（18）和式（19）可知，特征多項(xiàng)式的漏檢率與其對(duì)應(yīng)的漏檢數(shù)直接相關(guān)，CRC-ANSI 多項(xiàng)式與CRC-CCITT 多項(xiàng)式的檢錯(cuò)能力則分別取決于其位出錯(cuò)漏檢數(shù)am和bm。

將上述am值代入式（15），得到CRC-ANSI多項(xiàng)式的漏檢率為

將上述bm值代入式（17），得到CRC-CCITT多項(xiàng)式的漏檢率為

根據(jù)上述推算，Pue，ANSI和Pue，CCITT包含0～272 bit 出錯(cuò)所有可能的漏檢情形。對(duì)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)272 bit時(shí)，CRC-ANSI多項(xiàng)式和CRC-CCITT多項(xiàng)式漏檢率仿真計(jì)算的結(jié)果如仿真軟件截圖如圖6所示。

圖6 2種特征多項(xiàng)式漏檢率對(duì)比

由圖6 可知：2 種特征多項(xiàng)式下漏檢率均隨位出錯(cuò)概率的增加而增長(zhǎng)；當(dāng)位出錯(cuò)概率ε≤10-3，ε相同時(shí)CRC-CCITT 多項(xiàng)式的漏檢率明顯更低；當(dāng)ε>10-3，ε相同時(shí)兩者漏檢率趨于相同。因此，在BSC信道模型中，當(dāng)CRC-ANSI多項(xiàng)式和CRCCCITT多項(xiàng)式發(fā)生同種漏檢情形時(shí)，CRC-CCITT多項(xiàng)式的整體漏檢率明顯更低。

若出錯(cuò)位數(shù)為m且m>9 bit時(shí)，對(duì)應(yīng)的具體漏檢數(shù)未給出，則am和bm值均為此時(shí)所有漏檢都發(fā)生情形下的漏檢數(shù)。仍設(shè)出錯(cuò)位數(shù)為m，假設(shè)此時(shí)CRC-CCITT 多項(xiàng)式中所有漏檢情形同時(shí)發(fā)生，則Pue，CCITT為CRC-CCITT多項(xiàng)式最大漏檢率，式（21）不變；假設(shè)此時(shí)CRC-ANSI 多項(xiàng)式中所有漏檢情形都未發(fā)生，則Pue，ANSI為CRC-ANSI 多項(xiàng)式最小漏檢率，可由此將式（20）變形為

對(duì)CRC-CCITT多項(xiàng)式最大可能漏檢率和CRCANSI 多項(xiàng)式最小可能漏檢率進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果根據(jù)Mathematic仿真軟件截圖如圖7所示。

圖7 CRC-CCITT多項(xiàng)式最大漏檢率與CRC-ANSI多項(xiàng)式最小漏檢率對(duì)比

由圖7 可知：CRC-CCITT 多項(xiàng)式最大可能漏檢率和CRC-ANSI 多項(xiàng)式最小可能漏檢率在同一位出錯(cuò)概率的交點(diǎn)坐標(biāo)（5.422×10-3,3.682×10-6），當(dāng)位出錯(cuò)概率ε<5.422×10-3時(shí)，相同信道環(huán)境中CRC-CCITT 多項(xiàng)式最大漏檢率都小于CRC-ANSI 多項(xiàng)式最小漏檢率；信道位出錯(cuò)概率小于5.422×10-3且出錯(cuò)位數(shù)為m時(shí)，無(wú)論存在哪種未被檢測(cè)可能，CRC-CCITT 多項(xiàng)式的漏檢率都一定低于CRC-ANSI 多項(xiàng)式；校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)272 bit（含16 bit 校驗(yàn)位）時(shí)，CRC-CCITT 多項(xiàng)式在出錯(cuò)位數(shù)較低時(shí)的具體漏檢數(shù)及0～272 bit 出錯(cuò)漏檢率都相對(duì)更低，說(shuō)明CRC-CCITT 多項(xiàng)式的整體檢錯(cuò)性能更優(yōu)。

由此，設(shè)計(jì)接觸網(wǎng)在線監(jiān)測(cè)無(wú)線傳感模塊數(shù)據(jù)包時(shí)最終選取CRC-CCITT 多項(xiàng)式對(duì)272 bit 數(shù)據(jù)位長(zhǎng)進(jìn)行CRC多項(xiàng)式校驗(yàn)。

3 結(jié)論

（1）針對(duì)生成形式為g（x）=（x+1）p（x）的特征多項(xiàng)式，在推導(dǎo)殘余誤差概率序列計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)仿真計(jì)算發(fā)現(xiàn)，特征多項(xiàng)式殘余誤差概率與待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)、最小漢明距離、CRC校驗(yàn)碼位數(shù)和字節(jié)出錯(cuò)概率直接相關(guān)；16 位CRC 多項(xiàng)式更適用于待校驗(yàn)數(shù)據(jù)位長(zhǎng)為256 bit時(shí)的情況。

（2）提出1 種可定量評(píng)估CRC 多項(xiàng)式性能的簡(jiǎn)單計(jì)算方法，適用于任意數(shù)據(jù)位長(zhǎng)校驗(yàn)時(shí)更優(yōu)性能特征多項(xiàng)式的精確選取。應(yīng)用CRC 多項(xiàng)式校驗(yàn)時(shí)，都可在結(jié)合具體應(yīng)用環(huán)境、待校驗(yàn)位長(zhǎng)、信道位出錯(cuò)率、各特征多項(xiàng)式固定位長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的最小漢明距離及具體漏檢率等因素的基礎(chǔ)上，運(yùn)用此方法逐步判斷各特征多項(xiàng)式的檢錯(cuò)性能優(yōu)劣，篩選出性能更優(yōu)特征多項(xiàng)式。

（3）當(dāng)無(wú)法通過(guò)近似殘余誤差概率模型快速計(jì)算并直接比較2 種相近性能特征多項(xiàng)式的優(yōu)劣時(shí)，可對(duì)存在位出錯(cuò)未被檢測(cè)出的所有可能情形進(jìn)行分析，便可準(zhǔn)確計(jì)算其具體漏檢率，并進(jìn)一步篩選比較特征多項(xiàng)式之間的性能。在BSC 信道下，運(yùn)用CRC-ANSI 多項(xiàng)式和CRC-CCITT 多項(xiàng)式精確定量計(jì)算總數(shù)據(jù)位長(zhǎng)272 bit（含16 bit 校驗(yàn)位）時(shí)的位出錯(cuò)漏檢率，發(fā)現(xiàn)位出錯(cuò)概率小于5.422×10-3時(shí)，CRC-CCITT 多項(xiàng)式的漏檢率更低，整體檢錯(cuò)性能更優(yōu)。