王攀 王仲根? 孫玉發(fā) 聶文艷

1)(安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院,淮南 232001)

2)(安徽大學(xué)電子信息工程學(xué)院,合肥 230601)

3)(淮南師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院,淮南 232001)

為提高基于壓縮感知技術(shù)的矩量法在三維電大目標(biāo)雙站電磁散射問題中的計(jì)算效率和穩(wěn)定性,提出新的稀疏、測量和重構(gòu)方法,構(gòu)建一種新型壓縮感知計(jì)算模型.不同于基于欠定方程的傳統(tǒng)的壓縮感知計(jì)算模型,新型計(jì)算模型首先采用按行均勻抽取阻抗矩陣的方法構(gòu)造測量矩陣以獲得穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果;然后,基于Foldy-Lax 方程生成多階特征基函數(shù)并作為稀疏基對感應(yīng)電流進(jìn)行稀疏轉(zhuǎn)換;再依據(jù)少數(shù)低階特征基函數(shù)足以近似表征感應(yīng)電流的先驗(yàn)條件,將恢復(fù)算法簡化為最小二乘法;最后,將矩陣方程轉(zhuǎn)換為一個(gè)超定系統(tǒng)并采用最小二乘法解出電流系數(shù).與傳統(tǒng)的計(jì)算模型相比,新型計(jì)算模型不僅可以獲得更加穩(wěn)定的精確解,還可以顯著提高電大目標(biāo)雙站散射問題的求解效率和計(jì)算精度.數(shù)值仿真結(jié)果證明了新方法的可行性和高效性.

1 引言

作為求解電磁散射問題的有效數(shù)值方法之一,矩量法[1](method of moments,MoM)可以將電磁場積分方程離散為一個(gè)線性矩陣方程.由于其生成的阻抗矩陣為稠密矩陣,對于電大尺寸問題,求解該矩陣方程將消耗大量的時(shí)間和內(nèi)存.為提高計(jì)算效率,提出了一些有效的快速算法,如多層快速多極子法[2]、復(fù)合基函數(shù)法[3]、高階MoM[4]和特征基函數(shù)(characteristic basis function,CBF)法[5,6]等.近年來,壓縮感知(compressive sensing,CS)[7]技術(shù)被成功引入到MoM 中,為上述問題提供了新的解決方案,并形成了兩種主要的計(jì)算模型:分別是基于新型激勵(lì)源的計(jì)算模型和基于欠定方程的計(jì)算模型.

基于新型激勵(lì)源的計(jì)算模型由陳明生等[8]于2011 年提出,該技術(shù)的基本原理是通過壓縮入射激勵(lì)以減少矩陣方程的求解次數(shù),從而提高多激勵(lì)散射問題的求解效率.在此模型基礎(chǔ)上,相關(guān)學(xué)者對模型框架內(nèi)中的稀疏、測量以及重構(gòu)等關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行了深入研究[9?11],并將該方法的應(yīng)用擴(kuò)展至復(fù)雜結(jié)構(gòu)目標(biāo)的散射問題[12,13].然而,該技術(shù)仍然采用傳統(tǒng)方法求解MoM 中的矩陣方程,無法用于雙站散射問題分析.與第一種模型不同,王哲等[14]于2014 年提出的基于欠定方程的計(jì)算模型直接改變MoM 的算法結(jié)構(gòu),使其滿足CS 框架,繼而引入CS 技術(shù)快速重構(gòu)待求電流.該方法將矩陣方程縮減為一個(gè)欠定系統(tǒng),顯著減少了矩陣方程的求解時(shí)間.然而,該計(jì)算模型中的一些關(guān)鍵技術(shù)仍需要進(jìn)一步改進(jìn).首先,在測量矩陣的構(gòu)造中,隨機(jī)抽取阻抗矩陣[14,15]或左乘隨機(jī)高斯矩陣[16,17]的方法造成了計(jì)算結(jié)果的不確定性;其次,在使用Rao-Wilton-Glisson(RWG)基函數(shù)的三維問題中很難構(gòu)造合適的稀疏基.Cao等[18]采用Krylov 子空間構(gòu)造稀疏基的方法實(shí)現(xiàn)了對三維目標(biāo)感應(yīng)電流的稀疏轉(zhuǎn)換,但是稀疏基的構(gòu)造需要大量的矩陣乘積運(yùn)算,并不適用于電大尺寸問題.Ding等[19]利用具有特征基函數(shù)的基于CS 技術(shù)的MoM 方法(CSCBFs)同樣實(shí)現(xiàn)了對三維目標(biāo)感應(yīng)電流的稀疏轉(zhuǎn)換,并且采用區(qū)域分解策略使其更適用于電大尺寸問題,然而對于復(fù)雜目標(biāo),該方法的計(jì)算精度有待提高.Wang等[20]采用基于區(qū)域分解的特征模構(gòu)造稀疏基,避免了阻抗矩陣的完全填充以提高計(jì)算效率,然而該方法中基函數(shù)數(shù)量以及測量矩陣的維數(shù)顯著較大.最后,由于缺乏先驗(yàn)知識,基于欠定方程的計(jì)算模型在具體問題中很難設(shè)定合適的稀疏度和觀測次數(shù)等關(guān)鍵參數(shù).

本文提出一種新型CS 計(jì)算模型(NCS-CBFs)用于求解三維電大目標(biāo)雙站電磁散射問題.首先,采用按行均勻抽取阻抗矩陣的方法構(gòu)造測量矩陣以獲得穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果;然后,基于Foldy-Lax 方程生成多階CBFs 用于構(gòu)造稀疏轉(zhuǎn)換矩陣,以降低基函數(shù)的個(gè)數(shù)和構(gòu)造時(shí)間;再依據(jù)低階CBFs 的特性獲取先驗(yàn)條件,將恢復(fù)算法簡化為最小二乘法;最后構(gòu)造一個(gè)超定方程,并采用最小二乘法解出電流系數(shù).NCS-CBFs 與CS-CBFs 相比,顯著降低了計(jì)算時(shí)間,提高了計(jì)算精度.最后結(jié)合具體算例,給出了與CS-CBFs 的比較結(jié)果,證明了NCS-CBFs的有效性.

2 基本原理

2.1 基于欠定方程的CS 計(jì)算模型

結(jié)合CS 技術(shù)的MoM 的基本思想是將感應(yīng)電流作為待重構(gòu)信號,壓縮的阻抗矩陣和激勵(lì)分別作為測量矩陣和測量值,從而將矩陣方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)欠定系統(tǒng).在MoM 中,以RWG 函數(shù)作為基函數(shù)和權(quán)函數(shù),將積分方程離散成如下矩陣方程:

式中,Z表示滿秩的阻抗矩陣;I表示RWG 基函數(shù)的權(quán)重系數(shù)向量,又稱為感應(yīng)電流;V為激勵(lì)向量;N為RWG 基函數(shù)的數(shù)量,即未知數(shù)的數(shù)量.隨機(jī)抽取Z和V中的M行分別構(gòu)造測量矩陣和測 量值,則將(1)式轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦虑范ǚ匠?

由于I本身不稀疏,為滿足CS 框架,需對I進(jìn)行稀疏 轉(zhuǎn)換:

式中,Ψ為稀疏轉(zhuǎn)換矩陣,a為稀疏基的權(quán)重系數(shù)向 量.將(3)式代入到(2)式,可得

式中,Θ為傳感矩陣.根據(jù)CS 理論,當(dāng)Θ滿足限制等距性質(zhì)[21],則可采用恢復(fù)算法得到精確解.通?；謴?fù)算法選擇計(jì)算復(fù)雜度較小的貪婪算法,例如廣義正交匹配追蹤算法(generalized orthogonal matching pursuit,GOMP)[22].

在上述基于欠定方程的CS 計(jì)算模型中,隨機(jī)構(gòu)造的測量矩陣不可避免地導(dǎo)致結(jié)果存在不確定性.此外,對于電大尺寸問題,由于未知數(shù)N較大,構(gòu)造N×N維的稀疏轉(zhuǎn)換矩陣比較困難.對于三維問題,文獻(xiàn)[20]采用CBFs 構(gòu)造Ψ.首先將目標(biāo)劃分為m塊較小的子域,并對每塊子域進(jìn)行擴(kuò)展以保障電流在邊界處的連續(xù)性.然后,分別計(jì)算每塊子域的主要特征基函數(shù)(PCBFs)與次要特征基 函數(shù)(SCBFs):

顯然,該方法對I稀疏轉(zhuǎn)換的同時(shí)進(jìn)行了降維,此時(shí)Ψ的維數(shù)為m2×m2.由于CS-CBFs 只采用一階SCBFs,包含的子域間的互偶信息較少,在計(jì)算復(fù)雜目標(biāo)時(shí)精度不高.

2.2 新型CS 計(jì)算模型

為提高基于CS 的MoM 的計(jì)算效率和結(jié)果的穩(wěn)定性,本文提出新的稀疏、測量和重構(gòu)方法,構(gòu)造一種新型CS 計(jì)算模型(NCS-CBFs).首先采用基于Foldy-Lax 方程的多階CBFs[6]構(gòu)造稀疏轉(zhuǎn)換矩陣.其中PCBFs 的構(gòu)造方法與CS-CBFs 方法相同,根據(jù)(5)式得到出全部子域的PCBFs.然后,對于每塊子域,將其他子域的PCBFs 所產(chǎn)生的散射場的疊加作為入射場用于構(gòu)造一階SCBFs:

類似地,二階及以上的高階SCBFs 由上一階的SCBFs 構(gòu)造:

顯然,構(gòu)造一個(gè)N×N維的JC是非常耗時(shí)的.考慮到SCBFs 在物理意義上表現(xiàn)為子域間的互偶效應(yīng),越高階的互偶效果越微弱,也就是高階的SCBFs 對感應(yīng)電流的貢獻(xiàn)更小,可由此作為先驗(yàn)條件對恢復(fù)算法GOMP 進(jìn)行簡化.在GOMP 中,每次迭代的第一步為“識別”傳感矩陣Θ中與殘差最相關(guān)的列,然后采用最小二乘法解出電流系數(shù)a.由于最相關(guān)的列對應(yīng)的基函數(shù)對電流的貢獻(xiàn)最大,再結(jié)合上述先驗(yàn)條件可知,PCBFs 和一些低階的SCBFs 對應(yīng)的Θ中的列就是所要“識別”的列,這些CBFs 的個(gè)數(shù)便是I在JC上的稀疏度.因此,在確定少數(shù)低階CBFs 后,可以省去GOMP 中的“識別”步驟,直接采用最小二乘法解出a.根據(jù)以上分析可知,僅需計(jì)算少數(shù)低階的CBFs.

假設(shè)計(jì)算至K階(含PCBFs),共獲得LmK個(gè)CBFs,L為基函數(shù)數(shù)量,則(10)式中的為

將(10)式代入到(2)式可得

NCS-CBFs中M取L的3—5 倍,此時(shí)(12)式為一個(gè) 超定方程.然后采用最小二乘法求解a:

最后,將a代入到(10)式得到感應(yīng)電流I.

對于測量矩陣的構(gòu)造,采用按行均勻抽取阻抗矩陣的方式,即按固定行距間隔進(jìn)行抽取,行距間隔約為N/M.首先,由于阻抗矩陣在形式上為RWG函數(shù)離散的滿秩矩陣,與作為宏域基函數(shù)的CBF具有不相關(guān)性,由此構(gòu)造的傳感矩陣各列之間不相關(guān).其次,王哲等[14]證明了對應(yīng)阻抗矩陣行向量的權(quán)函數(shù)具有冗余性,然而由于目標(biāo)表面電流分布情況未知,即以RWG 函數(shù)作為權(quán)函數(shù)的冗余情況未知,因此在缺少先驗(yàn)知識的情況下,可以認(rèn)為阻抗矩陣的每一行作為一次對電流系數(shù)的觀測具有相同的意義.故均勻抽取和隨機(jī)抽取所獲得的測量矩陣具有相似的隨機(jī)特性和等價(jià)的形式意義.王哲等[14]同時(shí)指出測量矩陣的規(guī)模是決定獲得高精度解的主要因素.由以上分析可知,均勻抽取阻抗矩陣所構(gòu)造的測量矩陣與隨機(jī)抽取相同,可以保障電流系數(shù)被精確重構(gòu).一旦確定M的值,即可構(gòu)造一個(gè)確定性的測量矩陣,從而獲得穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果.

與文獻(xiàn)[19]相比,NCS-CBFs 不僅實(shí)現(xiàn)了對三維目標(biāo)感應(yīng)電流的稀疏和降維,而且改進(jìn)了稀疏轉(zhuǎn)換矩和測量矩陣的構(gòu)造方式,并簡化了恢復(fù)算法.此外,NCS-CBFs 的算法結(jié)構(gòu)與基于欠定方程的計(jì)算模型不同,最終生成的求解模型為一個(gè)超定系統(tǒng).由于NCS-CBFs 生成的基函數(shù)更少(K＜m),傳感矩陣維數(shù)更低,且簡化了恢復(fù)算法,可以顯著降低構(gòu)造基函數(shù)和重構(gòu)電流系數(shù)的時(shí)間.

3 計(jì)算復(fù)雜度分析

NCS-CBFs 和CS-CBFs 的計(jì)算過程主要分為三個(gè)部分:填充阻抗矩陣、構(gòu)造基函數(shù)以及重構(gòu)電流系數(shù).為便于分析,假設(shè)目標(biāo)被劃分為m個(gè)同等大小的子域,每個(gè)子域內(nèi)的未知數(shù)均為Ni,并忽略子域擴(kuò)展部分對計(jì)算的影響.

填充阻抗矩陣:對于填充阻抗矩陣部分,兩種方法均需填充矩陣的全部元素,其計(jì)算復(fù)雜度均為O(N2).

重構(gòu)電流系數(shù):在CS-CBFs 中生成的基函數(shù)的數(shù)量為m2,重構(gòu)電流時(shí)采用GOMP 迭代求解.該方法中構(gòu)造傳感矩陣的計(jì)算復(fù)雜度為O(MNm2),迭代求解復(fù)雜度為O(sMm2),其中S為迭代次數(shù).在NCS-CBFs 中,生成的基函數(shù)數(shù)量為L=mK,其構(gòu)造傳感矩陣的計(jì)算復(fù)雜度為O(MNL).重構(gòu)電流采用了簡化的GOMP 方法避免了迭代求解,其計(jì)算復(fù)雜度為O(ML).由于L?m2,且抽取的行數(shù)M為基函數(shù)的固定倍數(shù),NCS-CBFs 構(gòu)造的測量矩陣及傳感矩陣的維數(shù)更低.因此NCS-CBFs比CS-CBFs 在重構(gòu)電流系數(shù)中具有更低的計(jì)算復(fù)雜度.

綜述所述,NCS-CBFs 在構(gòu)造基函數(shù)以及重構(gòu)電流系數(shù)部分計(jì)算復(fù)雜度比CS-CBFs 更低,可以有效減少計(jì)算時(shí)間.

4 數(shù)值算例

為了證明NCS-CBFs 的有效性,分別采用NCSCBFs 和CS-CBFs 對不同三維導(dǎo)體模型進(jìn)行數(shù)值仿真,其中CS-CBFs 采用GOMP 算法.所有算例均在Intel(R)Core(TM)i7-10750H 2.60 GHz,64 GB RAM 的PC 機(jī)上完成.為了分析計(jì)算精度,定義目標(biāo)雙站雷達(dá)散射截面(radar cross section,RCS)的均方根誤差為

式中,σcal,i為所用方法的計(jì)算結(jié)果,σref,i為傳統(tǒng)MoM 的計(jì)算結(jié)果,Na為采樣點(diǎn)個(gè)數(shù).

算例1計(jì)算了一個(gè)邊長為1 m 的導(dǎo)體立方體模型的雙站RCS.入射平面波kinc的頻率為800 MHz,入射角度為θ=0°,φ=0°,其中θ和φ分別代表球坐標(biāo)系中的天頂角和方位角.采用RWG 基函數(shù)離散目標(biāo)表面為16206 個(gè)三角形面元,產(chǎn)生24309 個(gè)未知數(shù).將目標(biāo)劃分為26 塊子域,每塊子域擴(kuò)展0.15 倍波長,擴(kuò)展后的未知數(shù)個(gè)數(shù)為33772.

首先,分別計(jì)算CS-CBFs 和NCS-CBFs 在不同抽取方式下構(gòu)造的測量矩陣與稀疏基之間的相關(guān)系數(shù)[15],如表1 所列.其中,被抽取的行數(shù)約為所生成的基函數(shù)數(shù)目的4 倍,NCS-CBFs 計(jì)算至13 階CBFs.由表1 可知,在四種方法中構(gòu)造的測量矩陣與稀疏基之間均為不相關(guān)或弱相關(guān).由此可知,測量矩陣的行與稀疏基的列不能相互稀疏表示,測量矩陣可以保障電流系數(shù)被精確重構(gòu).為進(jìn)一步驗(yàn)證NCS-CBFs 計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性和精確性,采用CS-CBFs 和NCS-CBFs 在不同抽取方式下分別進(jìn)行5000 次仿真實(shí)驗(yàn).所得到的RCS 誤差按升序排列,如圖1 所示.從圖1 可以看出,采用隨機(jī)抽取方法時(shí),每次計(jì)算結(jié)果不相同,其RCS 誤差在一定范圍內(nèi)浮動(dòng).而采用均勻抽取方法時(shí),兩種算法均可獲得固定的計(jì)算結(jié)果,其RCS 誤差約為隨機(jī)抽取時(shí)多次計(jì)算的平均值.圖2 給出了采用隨機(jī)抽取方法的CS-CBFs 在5000 次實(shí)驗(yàn)中取得最大誤差和最小誤差時(shí)的雙站RCS.由圖2 可知,在取得最大誤差時(shí)其計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)明顯偏差,因此采用均勻抽取方法獲得穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果更為可靠.為準(zhǔn)確對比兩種方法的精度情況,之后的算例中兩種算法均采用了均勻抽取方式.

圖1 5000次實(shí)驗(yàn)的RCS 誤差分布Fig.1.RCS error distribution of 5000 experiments.

圖2 隨機(jī)抽取方法下CS-CBFs的不同計(jì)算結(jié)果對比(φ=0°)Fig.2.Comparison of different calculation results of CSCBFs with randomly extracting(φ=0°).

表1 測量矩陣與稀疏基之間的相關(guān)系數(shù)Table 1.Correlation coefficient of the measurement matrix and sparse basis.

圖3 給出了兩種方法中抽取行數(shù)M與RCS誤差、求解時(shí)間的關(guān)系,其中求解時(shí)間包括生成基函數(shù)時(shí)間、構(gòu)造和求解超定方程時(shí)間.在NCSCBFs 中,計(jì)算至13 階CBFs.從圖3 可以看出,RCS誤差隨著M的增加而減小,在M為基函數(shù)數(shù)量的3 倍以上時(shí),計(jì)算精度趨于穩(wěn)定.此外,M的增加會造成傳感矩陣Θ的維數(shù)增大,求解時(shí)間也相應(yīng)增加.因此,NCS-CBFs中M設(shè)為基函數(shù)數(shù)量的3—5 倍即可獲得較高的效率和精度.

圖3 不同抽取行數(shù)下兩種方法的RCS 誤差和求解時(shí)間Fig.3.RCS error and solution time of two methods with different number of extracted rows.

在NCS-CBFs 中,由于感應(yīng)電流在CBFs 稀疏基上不是嚴(yán)格稀疏,少數(shù)低階的CBFs 只能近似地表述感應(yīng)電流,因此參與計(jì)算的CBFs 階數(shù)越多計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確.圖4 給出了RCS 誤差和求解時(shí)間與參與計(jì)算的CBFs 階數(shù)的關(guān)系,其中M取基函數(shù)數(shù)目的4 倍.從圖4 可以看出,較高的CBFs階數(shù)可以獲得更精確的結(jié)果,但是同時(shí)帶來求解時(shí)間的快速增加.為平衡效率和精度,本文中計(jì)算的階數(shù)取在m/2左右.采用CS-CBFs 和NCS-CBFs分別計(jì)算了立方體的雙站RCS,計(jì)算結(jié)果見圖5,其中抽取行數(shù)均為基函數(shù)的4 倍.CS-CBFs 方法生成676 個(gè)CBFs,其傳感矩陣的維數(shù)為3039 ×676.NCS-CBFs 方法計(jì)算至13 階生成338 個(gè)CBFs,其傳感矩陣的維數(shù)1430×338.從圖5 可以看出NCS-CBFs 與MoM,CS-CBFs 的計(jì)算結(jié)果吻合較好,計(jì)算精度較高.

圖4 不同基函數(shù)階數(shù)下本文方法的RCS 誤差和求解時(shí)間Fig.4.RCS error and solution time of the proposed method for different orders of basis functions.

圖5 立方體水平極化雙站RCS(φ=0°)Fig.5.Bistatic RCS of cube in horizontal polarization(φ=0°).

算例2計(jì)算了一個(gè)導(dǎo)體圓柱體模型的雙站RCS,其底面半徑為0.2 m,高為1 m,入射頻率為2 GHz.采用RWG 基函數(shù)離散目標(biāo)表面為27174 個(gè)三角形面元,產(chǎn)生40761 個(gè)未知數(shù),目標(biāo)被劃為40 塊子域,每塊子域擴(kuò)展0.15 倍波長,擴(kuò)展后未知數(shù)的個(gè)數(shù)為58126.兩種方法均采用均勻抽取方式,抽取行數(shù)為基函數(shù)數(shù)量的4 倍.CS-CBFs 中生成1600 個(gè)CBFs,傳感矩陣維數(shù)為6794×1600.NCS-CBFs 中計(jì)算至18 階生成720 個(gè)CBFs,傳感矩陣維數(shù)為2912×720.兩種方法計(jì)算的結(jié)果如圖6 所示,可見,NCS-CBFs 的計(jì)算結(jié)果與MoM,CS-CBFs 吻合較好,具有較高的計(jì)算精度.

圖6 圓柱體垂直極化雙站RCS(φ=0°)Fig.6.Bistatic RCS of cylinder in vertical polarization(φ=0°).

算例3計(jì)算了一個(gè)導(dǎo)彈模型的雙站RCS,其長為1 m,寬為0.64 m,入射頻率為2 GHz.剖分目標(biāo)表面為14132 個(gè)三角面元,產(chǎn)生21198 個(gè)未知數(shù),目標(biāo)被劃為24 塊子域,每塊子域擴(kuò)展0.15 倍波長,擴(kuò)展后未知數(shù)的個(gè)數(shù)為33159.兩種方法均采用均勻抽取方式,抽取行數(shù)為基函數(shù)數(shù)目的4 倍.CS-CBFs 得到576 個(gè)CBFs,傳感矩陣的維數(shù)為2304×576.NCS-CBFs 計(jì)算至12 階得到288個(gè)CBFs,傳感矩陣的維數(shù)為1152×288.兩種方法的計(jì)算結(jié)果如圖7 所示,NCS-CBFs 在較復(fù)雜目標(biāo)問題中可以獲得比CS-CBFs 更高的精度.

圖7 導(dǎo)彈水平極化雙站RCS(φ=0°)Fig.7.Bistatic RCS of missile in horizontal polarization(φ=0°).

表2 列出了對應(yīng)于圖5—7 的仿真時(shí)間和RCS誤差.從表2 可以看出,與CS-CBFs 相比,NCSCBFs 顯著降低了構(gòu)造基函數(shù)以及重構(gòu)電流系數(shù)的時(shí)間.三個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)的總求解時(shí)間分別減少了47%,40%和68%,求解效率得到大幅度提升.此外,NCS-CBFs 得到的RCS 誤差均低于CS-CBFs,新方法具有更高的計(jì)算精度.

表2 計(jì)算時(shí)間和RCS 誤差比較Table 2.Comparison of computation time and RCS error.

5 結(jié)論

針對基于CS 的MoM 關(guān)鍵技術(shù),本文提出了新的稀疏、測量和重構(gòu)方法,構(gòu)建了一種新型CS計(jì)算模型——NCS-CBFs.相比傳統(tǒng)的CS-CBFs,NCS-CBFs 不僅可以獲得穩(wěn)定的計(jì)算結(jié)果,還提高了計(jì)算效率和精度,仿真結(jié)果證明了NCS-CBFs的有效性.與基于欠定方程的計(jì)算模型相比,NCSCBFs 將矩陣方程壓縮為尺寸更小的超定方程進(jìn)行求解,更適用于電大尺寸問題,并可與快速偶極子法、自適應(yīng)交叉近似算法等加速算法相結(jié)合進(jìn)一步提高計(jì)算效率.