李 寒

(貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué) 550081)

下面歸納解析形如y=a[f(x)]2-bf(x)+c(或a[f(x)]2-bf(x)+c=0)的復(fù)合二次型函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的求解策略.

1 利用因式分解求解

將f(x)視為整體變量，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于f(x)的二次型方程后，可通過因式分解，利f(x)圖象與水平直線相交關(guān)系求解.

當(dāng)1

當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)>0，

所以f(x)在(1，e]上單調(diào)遞減，在(e，+∞)上單調(diào)遞增.

故當(dāng)x=e時(shí)，f(x)取得最小值，且最小值為f(e)=1.

當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)=x3-3x+a，

f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，

當(dāng)x<-1時(shí)，f′(x)>0，

當(dāng)-1

所以f(x)在(-∞，-1]上單調(diào)遞增，在(-1，1]上單調(diào)遞減.

故當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)有極大值，且極大值為f(-1)=2+a；當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=-2+a.

圖1

由題意，知[f(x)]2-(t+2)f(x)+2t=0.

即[f(x)-2][f(x)-t]=0有7個(gè)不同的實(shí)根.

當(dāng)f(x)=2有三個(gè)根時(shí)，f(x)=t有四個(gè)實(shí)根，此時(shí)2+a=2或-2+a>2，解得a=0或a>4.

當(dāng)f(x)=2有四個(gè)根時(shí)，f(x)=t有三個(gè)實(shí)根，此時(shí)-2+a≤2<2+a，解得0

綜上可得a≥0.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，+∞).

點(diǎn)評(píng)本題首先研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，作出f(x)圖象，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于f(x)的一元二次方程，因式分解后結(jié)合圖象求解.

由y′=0，解得x=e.

當(dāng)x∈(0,e)時(shí)，y′>0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí)，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減．

方程2[f(x)]2+(1-2m)f(x)-m=0化為

[f(x)-m][2f(x)+1]=0，

圖2

故選C．

2 利用根的分布

將f(x)視為整體進(jìn)行換元，即令f(x)=m，由題意得到m的范圍，然后將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于f(x)=m的二次型方程根的分布解答.

解析令y=0，所以函數(shù)y=[f(x)]2-(a+2)f(x)+3恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

f(x)=m，則方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0轉(zhuǎn)化為m2-(a+2)m+3=0.

作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖3.

圖3

由圖3可知，要使關(guān)于x的方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則方程m2-(a+2)m+3=0在(1，2]內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng)本題首先作出函數(shù)f(x)的圖象，然后換元，利用圖象將方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+3=0恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根問題，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在給定區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同解的問題，最后利用一元二次方程根的分布知識(shí)，列出關(guān)于參數(shù)a的不等式組求解.

3 利用求根公式求解

將f(x)視為整體進(jìn)行換元，即令f(x)=m，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于f(x)=m的一元二次方程，利用求根公式表示m，最后通過分析、討論求解.

A.3 B.1或3 C.4或6 D.3或4或6

解析由f(x)=(x2-3)ex，得

f′(x)=(x2+2x-3)ex.

令f′(x)=0，解得x=-3或x=1.

當(dāng)x<-3時(shí)，f′(x)>0,

當(dāng)-3

當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，

所以函數(shù)f(x)在(-∞，-3]和[1，+∞)上單調(diào)遞增，在(-3，1)上單調(diào)遞減.

作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖4.

圖4

令f(x)=m，則由圖4知方程f(x)=m的根的情況如下：

(4)當(dāng)m<-2e時(shí)，方程沒有實(shí)根.

綜上，對(duì)于任意m∈R,方程均有3個(gè)實(shí)根.

故選A.

點(diǎn)評(píng)本題首先分析函數(shù)單調(diào)性、極值等性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，換元后利用一元二次方程兩根之間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象，在討論的基礎(chǔ)上確定方程的根的個(gè)數(shù)，從而得解.

4 綜合利用函數(shù)性質(zhì)

對(duì)于具有抽象函數(shù)背景的復(fù)合二次型函數(shù)零點(diǎn)問題，需綜合運(yùn)用函數(shù)的對(duì)稱性、周期性等性質(zhì)，求出函數(shù)解析式或研究圖象特征求解.

例5已知偶函數(shù)f(x)滿足f(3+x)=f(3-x)，且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)=-x2+2x+1，若函數(shù)y=[f(x)]2-tf(x)-3在[-150，150]上有300個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( ).

解析因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)滿足

f(3+x)=f(3-x)，

所以f(3+x)=f[-(x-3)]=f(x-3).

所以f(x+6)=f[(x+3)+3]=f[(x+3)-3]=f(x).

所以函數(shù)f(x)是最小正周期為6的周期函數(shù).

因?yàn)楫?dāng)x∈[0，3]時(shí)，f(x)=-x2+2x+1，

所以當(dāng)x∈[-3，0]時(shí)，-x∈[0，3]，f(x)=f(-x)=-x2-2x+1.

作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期[-3，3]內(nèi)的圖象，如圖5.

圖5

因?yàn)楹瘮?shù)y=[f(x)]2-tf(x)-3在[-150，150]上有300個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于x的方程[f(x)]2-tf(x)-3=0在[-150，150]上有300個(gè)解.

所以關(guān)于x的方程[f(x)]2-tf(x)-3=0在[-3，3]上有6個(gè)解.

令f(x)=m，則結(jié)合圖象可知m必有兩個(gè)值，一個(gè)大于1且小于2，另一個(gè)大于-2且小于1，即方程m2-tm-3=0在(-2，1)和(1，2)內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根.

令g(m)=m2-tm-3，則

故選B.

點(diǎn)評(píng)本題首先由題意判斷函數(shù)f(x)的周期性，然后作出函數(shù)f(x)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化后，換元利用一元二次方程根的分布求解，體現(xiàn)了函數(shù)及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用.