魏東升

(福建省廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū) 363107)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的主要載體之一，其一直是高考數(shù)學(xué)考查的重點內(nèi)容.在處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題時，對零點的處理往往是一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，有些超越函數(shù)(指不滿足任何以多項式作系數(shù)的多項式形式的函數(shù)，如三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)等)的零點確實存在，但無法精確求解，此謂之“隱零點”；有些導(dǎo)數(shù)的零點雖然可求，但因含參而需要討論.對于這類問題，常見的處理方式主要有虛設(shè)零點、化隱為顯和變更主元三大類.

本文主要探討這類壓軸題中變更主元的幾種處理視角.所謂變更主元，是指有些數(shù)學(xué)問題中常含變量，在某些情況下若按常規(guī)思路確定主元可能會導(dǎo)致問題復(fù)雜化，若能針對題目的結(jié)構(gòu)特征人為地突出某個變量的主體地位，將之當(dāng)作主元構(gòu)造新的函數(shù)，則可達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的.這種問題解決的思想方法也稱為主元法.

下面結(jié)合近幾年的部分高考導(dǎo)數(shù)壓軸題來感受這種策略，以供大家參考.

1 變更主元，構(gòu)超越函數(shù)

則g′(a)=lna-ln(2ex).

當(dāng)a<2ex時，g′(a)<0；

當(dāng)a>2ex時，g′(a)>0，

所以a=2ex時，g(a)取最小值為

g(2ex)=e2x-2ex.

令h(t)=e2t-2et，則h′(t)=2e2t-2e.

即g(a)≥0.

評注本題常規(guī)的一種做法是通過對f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合第一問的相關(guān)結(jié)論發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)有隱零點，再虛設(shè)零點后進(jìn)行消“超”代換(指的是把超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為普通函數(shù))，得到關(guān)于隱零點為自變量的一個雙勾函數(shù)，最終利用均值不等式或求導(dǎo)證得.這種方法對學(xué)生的能力要求較高，這里采用了重新構(gòu)造關(guān)于變量a的對數(shù)超越函數(shù)，此法很好地避免了隱零點的出現(xiàn).

2 變更主元，構(gòu)冪函數(shù)

例2 (2016年全國Ⅲ卷文)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-x+1．設(shè)c>1，證明:當(dāng)x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

證明當(dāng)x∈(0,1)時，設(shè)h(c)=cx-cx+x-1，c>1,

則h′(c)=xcx-1-x=x(cx-1-1)>0.

所以h(c)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.

所以h(c)>h(1)=0.

所以當(dāng)c>1，x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.

評注本題常規(guī)的一種做法是通過構(gòu)造函數(shù)g(x)=cx-cx+x-1再進(jìn)行求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點后，再結(jié)合前兩問的相關(guān)結(jié)論對零點的范圍進(jìn)行放縮，最終利用g(x)的單調(diào)性證得.這種方法其實是命題者在“高考要體現(xiàn)選拔功能”的思想引領(lǐng)之下給出的一種證法，這里采用重新構(gòu)造關(guān)于變量c的冪函數(shù)，會發(fā)現(xiàn)根本不需用到前兩問的結(jié)論就使得問題得到完美解決！

3 變更主元,構(gòu)雙勾函數(shù)

證明原不等式等價于證明

因為a<0，

所以原不等式等價于證明

設(shè)h(t)=lnt-t+1，

當(dāng)t<1時，h′(t)>0；

當(dāng)t>1時，h′(t)<0，

所以h(t)≤h(1)=0．

評注這里的證明思路主要是重新構(gòu)造關(guān)于變量a的雙勾函數(shù)，再利用均值不等式實現(xiàn)消參的目的．較之本題的常規(guī)做法(即通過直接求導(dǎo)得到f(x)的最值)并沒有優(yōu)勢，這是因為f′(x)的零點并非是隱零點，它可以直接求出來.這也提醒我們在解題時不要盲目地進(jìn)行主元的變更，有時變更可以事半功倍，有時卻可能導(dǎo)致事倍功半，所以應(yīng)該具體問題具體分析．

4 變更主元,構(gòu)二次函數(shù)

所以p(x)≥p(1)=0．

所以q(x)<0．

通過上述幾道真題我們知道，通過變更主元后構(gòu)造關(guān)于新元的超越函數(shù)、冪函數(shù)、雙勾函數(shù)和二次函數(shù)等函數(shù)進(jìn)行求解，是處理導(dǎo)數(shù)隱零點等問題的常見策略之一．在導(dǎo)數(shù)壓軸題的教學(xué)過程中，像這樣以專題的形式介紹隱零點問題的處理策略，盡量一次性徹底地解決與其有關(guān)的問題，對學(xué)生解題水平的提升、邏輯思維的訓(xùn)練和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，想必都是極好的．