崔凱,胡斌,崔阿能,馬利遙,劉楊,祝鑫

（武漢科技大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院；冶金礦產(chǎn)資源高效利用與造塊湖北省重點實驗室，武漢 430081）

在中國中南、西南地區(qū)，如云南、四川、貴州、廣西等省存在大范圍的含緩傾軟弱夾層（巖層和夾層傾角小于25°）的二疊系石灰?guī)r地層[1-3]，該地層擁有豐富的優(yōu)質(zhì)石灰石礦產(chǎn)資源，是中國大量基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的重要建材來源。如圖1所示，這些含緩傾軟弱夾層通常由炭質(zhì)泥頁巖組成，具有抗剪強(qiáng)度小且容易在外部因素(人為擾動或環(huán)境)作用下發(fā)生劣化等特點，因此，含緩傾軟弱夾層被視作礦山高邊坡的薄弱帶[4-5]。深入探究炭質(zhì)泥頁巖的力學(xué)特性并建立相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系，對于含緩傾軟弱夾層的礦山高邊坡的穩(wěn)定性分析具有重要意義。

圖1 礦山高邊坡中含炭質(zhì)泥頁巖的軟弱夾層Fig.1 Weak intercalation of carbonaceous shale in the high slope of the mine

在復(fù)雜加載條件下，炭質(zhì)泥頁巖類似于超固結(jié)黏土，會發(fā)生彈塑性破壞，其應(yīng)力—應(yīng)變曲線具有應(yīng)變軟化的特點，并且伴隨著剪脹現(xiàn)象的發(fā)生[6-7]。為此，有學(xué)者[8]建議將炭質(zhì)泥頁巖等強(qiáng)度較小的軟巖視作超固結(jié)比很大的黏土，并采用臨界狀態(tài)土力學(xué)的理論框架來描述其常規(guī)力學(xué)特性。宋麗等[9]建立了軟巖的三維統(tǒng)一彈黏塑性本構(gòu)模型，該模型對于日本石川縣能登半島端部的硅藻質(zhì)泥巖在不同圍壓和加載速率等條件下的不排水三軸壓縮試驗結(jié)果具有較好的描述效果。熊勇林等[10]同時考慮了圍壓和溫度對軟巖殘余強(qiáng)度的影響，建立了軟巖的熱彈黏塑性模型。炭質(zhì)泥頁巖另一個顯著的力學(xué)特性是具有流變性，在保持荷載強(qiáng)度不變的情況下，增加加載時間將導(dǎo)致額外的體積變形[11]。范慶忠等[12]提出了軟巖的非線性蠕變模型，齊明山[13]則系統(tǒng)地研究了大變形軟巖流變性態(tài)及其在隧道工程結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。在所有臨界狀態(tài)本構(gòu)關(guān)系中，修正劍橋模型[14]在巖土工程中應(yīng)用最廣泛，然而其只適用于正常固結(jié)黏土力學(xué)特性的描述，在描述炭質(zhì)泥頁巖等超固結(jié)黏土?xí)r具有明顯的局限性。例如，修正劍橋模型計算得到的超固結(jié)黏土的不排水抗剪強(qiáng)度明顯偏大，且應(yīng)力—應(yīng)變曲線為一條不光滑的曲線。另一方面，修正劍橋模型的剪脹方程在描述某些特定類型土的試驗結(jié)果時存在一定的偏差，同時，無法考慮超固結(jié)比和溫度等因素對土的剪脹特性的影響[10,15]。為了克服上述不足，Yamakawa等[16]提出了下加載面的力學(xué)概念，在加載的任意過程中，假定土體當(dāng)前應(yīng)力點始終位于下加載面上，發(fā)生彈塑性體積變形，物理意義明確，能連續(xù)平滑地刻畫超固結(jié)土的彈塑性應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系。Yao等[17-19]定義了統(tǒng)一硬化參量，建立了適用于超固結(jié)重塑土的統(tǒng)一硬化（Unified hardening,UH）模型并取得了成功。統(tǒng)一硬化模型能夠較好地描述超固結(jié)黏土的應(yīng)變軟化和剪脹特性；同時，在加載過程中，當(dāng)土體由超固結(jié)狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)檎９探Y(jié)狀態(tài)時，統(tǒng)一硬化模型能夠計算得到光滑連續(xù)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線。

筆者將炭質(zhì)泥頁巖視作超固結(jié)黏土，并且基于β-屈服函數(shù)建立了能夠描述其應(yīng)變軟化和剪脹等復(fù)雜力學(xué)行為的修正統(tǒng)一硬化模型。通過將模型計算結(jié)果與炭質(zhì)泥頁巖和太古石的排水三軸壓縮試驗結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗證了模型的合理性。

1 修正統(tǒng)一硬化模型

假定軟巖的體積變形以壓為正，其中，有效應(yīng)力p、剪應(yīng)力q和剪應(yīng)力比η分別定義為

式中：σ1、σ2和σ3為主應(yīng)力。

1.1 β-屈服函數(shù)

在三軸壓縮條件下，修正劍橋模型的塑性功增量dWin可以表示為

式中：dεpv和dεps分別為塑性體積應(yīng)變增量和塑性剪切應(yīng)變增量；M為臨界狀態(tài)應(yīng)力比。

根據(jù)上述能量耗散方程，可以分別得到修正劍橋模型的剪脹方程和塑性勢。

式中：d為剪脹因子，可以定義為d=dεpv/dεps；pc為前期固結(jié)應(yīng)力。由于修正劍橋模型采用相關(guān)聯(lián)的流動法則，式（6）同樣可以用于描述土的屈服面。

在描述超固結(jié)黏土的剪脹特性時，修正劍橋模型的剪脹方程具有一定的局限性，即低應(yīng)力條件下該剪脹方程預(yù)測的剪脹因子d明顯小于土的實測值。此外，由該剪脹方程得到的屈服函數(shù)假定土的物理屈服面具有橢圓形幾何形狀，與部分土的試驗結(jié)果不符。

為了克服上述不足，首先將修正劍橋模型的剪脹方程改寫為

式中：β為材料參數(shù)。令β=2，式（7）將直接退化為修正劍橋模型的剪脹方程。

如圖2所示，與修正劍橋模型的剪脹方程相比，該剪脹方程能夠較好地描述太古石的試驗結(jié)果[7]，尤其是在低應(yīng)力水平條件下。

圖2 炭質(zhì)泥頁巖剪脹曲線Fig.2 Dilatancy curve of carbonaceous mud shale

通?？梢愿鶕?jù)剪脹方程得到塑性勢并確定土的塑性應(yīng)變率，在p-q應(yīng)力空間，塑性勢具有式（8）所示積分表達(dá)式[14]。

將式（7）代入式（8）并假定相關(guān)聯(lián)流動法則，可得到式（9）所示的β-屈服函數(shù)。

為了便于探究材料參數(shù)β對屈服面幾何形狀的影響，可以將β-屈服函數(shù)改寫為

根據(jù)式（10），當(dāng)β=2時，可以得到修正劍橋模型的屈服函數(shù)。

材料參數(shù)β對屈服面幾何形狀的影響結(jié)果圖3所示。由圖3可以看出，增大參數(shù)β將導(dǎo)致計算得到的屈服面出現(xiàn)明顯收縮，其彈性區(qū)間會隨之減小。

圖3 參數(shù)β對屈服面幾何形狀的影響Fig.3 The influence of parameter β on the geometry of the yield surface

β-屈服函數(shù)關(guān)于有效平均主應(yīng)力p和剪應(yīng)力q的偏導(dǎo)數(shù)分別為

將式（11）、式（12）代入相關(guān)聯(lián)的流動法則中，可以計算得到炭質(zhì)泥頁巖在剪切過程中的塑性應(yīng)變率。

1.2 相似因子

炭質(zhì)泥頁巖具有相對較好的連續(xù)性，其變形特征與典型的彈塑性材料類似，即在圍壓很小的情況下表現(xiàn)為脆性破壞，而隨著圍壓的增大，將逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)檠有云茐腫7]。

在加載的初始階段，炭質(zhì)泥頁巖的應(yīng)力—應(yīng)變曲線具有線性增長的特點，此時試樣僅發(fā)生彈性變形。進(jìn)一步加載將導(dǎo)致試樣內(nèi)部的膠結(jié)作用逐漸破壞并形成微裂紋，這些微裂紋的發(fā)展和貫通將導(dǎo)致試樣發(fā)生屈服，其應(yīng)力—應(yīng)變曲線的非線性變化特點也將逐漸增強(qiáng)，表現(xiàn)為應(yīng)變硬化。在達(dá)到峰值強(qiáng)度后，試樣的剪應(yīng)力會逐漸減小，其應(yīng)力—應(yīng)變曲線表現(xiàn)為應(yīng)變軟化。

可以看出，在復(fù)雜應(yīng)力條件下，炭質(zhì)泥頁巖的應(yīng)力—應(yīng)變曲線變化特點與超固結(jié)黏土十分類似，均表現(xiàn)為應(yīng)變硬化和應(yīng)變軟化。為此，將炭質(zhì)泥頁巖視作超固結(jié)黏土，并且定義其超固結(jié)比OCR為抗剪強(qiáng)度fc與圍壓pic之間的比值，即OCR=fc/pic。

參考姚仰平等[19]提出的適用于超固結(jié)黏土的統(tǒng)一硬化模型，假定在任意加載過程中炭質(zhì)泥頁巖當(dāng)前的應(yīng)力狀態(tài)點A（p,q）始終位于下加載面上，其參考應(yīng)力狀態(tài)點B（pˉ,qˉ）則位于參考屈服面上，如圖4所示。

圖4 下加載面和參考屈服面力學(xué)示意圖Fig.4 Schematic diagram of the mechanics of lower loading surface and reference yield surface

在p-q平面，下加載面和參考屈服面之間具有幾何相似性，兩者之間的相對位置關(guān)系可以采用相似因子R進(jìn)行描述，R的定義為

根據(jù)式（13），當(dāng)R=1時，下加載面會與參考屈服面重合，此時炭質(zhì)泥頁巖處于正常固結(jié)狀態(tài)。R與OCR具有類似的物理意義，均可以用于描述炭質(zhì)泥頁巖的超固結(jié)性。對于三軸壓縮試驗，剪切伊始，不同圍壓條件下炭質(zhì)泥頁巖的初始相似因子R0為

采用本文提出的β-屈服函數(shù)，參考應(yīng)力狀態(tài)點B（）所在的參考屈服面可以表示為

當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)點位于參考屈服面上時，炭質(zhì)泥頁巖將處于正常固結(jié)狀態(tài)，因此，類似于修正劍橋模型，可以采用體積硬化法則來描述硬化參量p0-pc的演化規(guī)律。

式中：cp=(λ-κ)/(1+e0)，其中，λ、κ分別為炭質(zhì)泥頁巖的壓縮模量和回彈模量；e0為炭質(zhì)泥頁巖的初始孔隙比。

將式（16）代入式（15）中，可以得到

整理式（17），可以得到任意加載時刻有效平均主應(yīng)力的表示式

根據(jù)相似因子R的定義，可以進(jìn)一步得到R的表達(dá)式

可以看出，R與應(yīng)力水平、應(yīng)力路徑和累積塑性體積應(yīng)變等狀態(tài)變量有關(guān)，式（19）能夠綜合反映上述影響因素對下加載面大小變化規(guī)律的影響。

1.3 統(tǒng)一硬化參量

由于當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)點所在的下加載面幾何相似于參考屈服面，因此，其屈服函數(shù)可以表示為

式中，統(tǒng)一硬化參量H的定義式為

根據(jù)Yao等[18]的研究，Ω可以表示為

式中：Mf為潛在峰值強(qiáng)度剪應(yīng)力比。

在統(tǒng)一硬化模型[17-19]中，Mf被認(rèn)為是關(guān)于相似因子R和臨界狀態(tài)剪應(yīng)力比M的函數(shù)，滿足關(guān)系式

式中，材料參數(shù)k可表示為

統(tǒng)一硬化參量Ω和剪應(yīng)力比η之間的關(guān)系如圖5所示，可以看出，η=0時，Ω=1；η=M時，Ω=0；η=Mf時，Ω=-∞。

圖5 剪應(yīng)力比η與統(tǒng)一硬化參數(shù)Ω的關(guān)系曲線Fig.5 Relationship curve between shear stress ratio η and unified hardening parameter Ω

在模型數(shù)值實現(xiàn)過程中，需要確定炭質(zhì)泥頁巖的體變模量K和剪切模量G，參考修正劍橋模型，可以采用式（25）計算。

式中：ν為泊松比。

2 參數(shù)試驗

在統(tǒng)一硬化模型的基礎(chǔ)上，采用了β-屈服函數(shù)來描述炭質(zhì)泥頁巖的剪脹特性，由此建立的模型能夠合理地描述應(yīng)變硬化和軟化特性，同時考慮了圍壓對炭質(zhì)泥頁巖力學(xué)行為的影響。

模型包含的材料參數(shù)為M、e0、ν、λ、κ和β。其中，e0、λ、κ的具體取值可以通過炭質(zhì)泥頁巖的等向壓縮曲線得到，臨界狀態(tài)應(yīng)力比M則可以由炭質(zhì)泥頁巖在p—q平面的臨界狀態(tài)線加以確定。不同類型巖土材料的泊松比ν的取值范圍通常為0.2～0.3，可以由特定圍壓下材料的初始應(yīng)力—應(yīng)變曲線得到。

2.1 超固結(jié)比對模型計算結(jié)果的影響

為了初步驗證所建立的適用于炭質(zhì)泥頁巖的統(tǒng)一硬化模型的適用性，并且探究初始超固結(jié)比對炭質(zhì)泥頁巖力學(xué)特性的影響，開展了圍壓為200 kPa的排水三軸壓縮數(shù)值試驗，試樣的初始超固結(jié)比分別為1、2、4和8，材料參數(shù)如表1所示。

表1 數(shù)值試樣的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of carbonaceous mud shale numerical samples

模型計算結(jié)果如圖6所示。由圖6可以看出，隨著初始超固結(jié)比逐漸增大，試樣的應(yīng)力—應(yīng)變曲線表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變軟化特性，同時，其體積變形將逐漸由剪縮變?yōu)榧裘洝?/p>

圖6 初始超固結(jié)比對炭質(zhì)泥頁巖排水三軸壓縮試驗結(jié)果的影響Fig.6 Influence of initial over-consolidation ratio on the results of drainage triaxial compression test of carbonaceous shale

2.2 材料參數(shù)β對模型計算結(jié)果的影響

為了更好地描述炭質(zhì)泥頁巖的剪脹特性，對修正劍橋模型進(jìn)行了適當(dāng)?shù)男拚?，并由此得到?屈服函數(shù)。在上述參數(shù)試驗的基礎(chǔ)上，分別令β為1.5、2、2.5和3，計算得到超固結(jié)比為8的試樣的三軸壓縮排水試驗結(jié)果，其中，加載圍壓為200 kPa。

根據(jù)圖7，增大β的取值會導(dǎo)致試樣的峰值強(qiáng)度逐漸增大，其對應(yīng)的軸向影響則會相應(yīng)減小。此外，隨著β的逐漸增大，試樣的最終體積剪脹量也將隨之增大。

圖7 參數(shù)β對炭質(zhì)泥頁巖排水三軸壓縮試驗結(jié)果的影響Fig.7 Effect of parameter β on the results of drainage triaxial compression test of carbonaceous mud shale

3 模型驗證

3.1 炭質(zhì)泥頁巖

為了進(jìn)一步驗證模型的適用性，采用該模型對炭質(zhì)泥頁巖[20]的三軸壓縮試驗結(jié)果進(jìn)行計算，材料參數(shù)如表2所示。假定該炭質(zhì)泥頁巖的前期固結(jié)應(yīng)力為50 MPa，當(dāng)圍壓分別為100、200、300、400 kPa時，其初始超固結(jié)比分別為500、250、165、125。

表2 炭質(zhì)泥頁巖模型參數(shù)Table 2 Model parameters of carbonaceous mud shale

在不同圍壓下，試樣的應(yīng)力—應(yīng)變曲線試驗結(jié)果和模型計算結(jié)果如圖8（a）所示。對比結(jié)果表明，該模型能夠較好地描述炭質(zhì)泥頁巖的強(qiáng)度和變形特點，尤其是達(dá)到峰值強(qiáng)度后的應(yīng)力—應(yīng)變曲線，此時炭質(zhì)泥頁巖表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變軟化特性。不過，在低圍壓條件下，模型計算得到的峰值強(qiáng)度明顯小于試驗結(jié)果，峰值強(qiáng)度對應(yīng)的軸向應(yīng)變也明顯偏大，可以調(diào)整部分材料參數(shù)的取值來進(jìn)一步提高模型的計算精度。

圖8（b）給出了模型計算得到的炭質(zhì)泥頁巖的剪脹曲線，可以看出，在加載的初始階段，試樣會發(fā)生剪縮變形，而進(jìn)一步加載將導(dǎo)致試樣發(fā)生剪脹破壞。

圖8 不同圍壓條件下炭質(zhì)泥頁巖排水三軸壓縮試驗結(jié)果與模型計算結(jié)果對比Fig.8 Comparison of the results of triaxial compression test and model calculation of carbonaceous shale under different confining pressures

3.2 太古石

基于β-屈服函數(shù)的統(tǒng)一硬化模型同樣能夠較好地描述其他不同類型軟巖的強(qiáng)度和變形特性。對Adachi等[21]的太古石三軸壓縮排水試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，材料參數(shù)如表3所示。

表3 太古石模型參數(shù)Table 3 Model parameters of soft rock

圖9給出了太古石三軸壓縮排水試驗結(jié)果與計算結(jié)果之間的對比?？梢钥闯?，在不同圍壓下，該模型能較好地描述太古石三軸壓縮排水試驗應(yīng)力—應(yīng)變曲線和體積變形規(guī)律。

圖9 太古石三軸排水壓縮試驗結(jié)果與計算結(jié)果的對比Fig.9 Comparison between results of drained triaxial tests and calculation on soft rock

4 結(jié)論

建立了適用于炭質(zhì)泥頁巖的β-屈服函數(shù)統(tǒng)一硬化模型，該模型能較好地描述炭質(zhì)泥頁巖的應(yīng)變軟化和剪脹特性。得到以下主要結(jié)論：

1）炭質(zhì)泥頁巖可以被視作超固結(jié)黏土，在任意加載時刻，其當(dāng)前的應(yīng)力狀態(tài)點始終位于下加載面上，并且發(fā)生彈塑性破壞。

2）該模型能準(zhǔn)確地描述炭質(zhì)泥頁巖的剪脹特性，其采用的β-屈服函數(shù)能考慮屈服面的幾何形狀對模型計算結(jié)果的影響，從而顯著提高模型的計算精度。

3）模型包含的材料參數(shù)具有明確的物理意義，能夠通過常規(guī)的室內(nèi)試驗進(jìn)行標(biāo)定，便于實際工程應(yīng)用。模型計算結(jié)果與試驗結(jié)果進(jìn)行對比分析表明，模型取得了良好的擬合效果，說明該模型能準(zhǔn)確、合理地描述炭質(zhì)泥頁巖的常規(guī)力學(xué)行為。

該模型的主要不足是無法考慮在復(fù)雜應(yīng)力條件下炭質(zhì)泥頁巖內(nèi)部膠結(jié)作用破壞對其強(qiáng)度和變形特性的影響。在后續(xù)研究中，需要同時考慮結(jié)構(gòu)性和超固結(jié)性對炭質(zhì)泥頁巖常規(guī)力學(xué)行為的影響。