孫金晶，王鑒純，王春梅，張 杰，夏成杰

(華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，上海 200241)

浮沉子是由法國(guó)科學(xué)家笛卡爾(1596—1650)創(chuàng)造的實(shí)驗(yàn)裝置，作為趣味物理實(shí)驗(yàn)，常出現(xiàn)在科普演示與科學(xué)課外小組活動(dòng)中，其實(shí)驗(yàn)材料易得，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象豐富，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 2021年，第12屆中國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽(CUPT)題目6就與浮沉子直接相關(guān)，試題為:簡(jiǎn)單的浮沉子(例如部分裝有水的倒置試管)被放置在裝有水的長(zhǎng)直管中,增加管中壓強(qiáng)會(huì)使浮沉子下沉. 當(dāng)浮沉子到達(dá)一定深度，即使改變管內(nèi)壓強(qiáng)至初始值，它都無(wú)法返回表面. 研究這一現(xiàn)象，以及相關(guān)參量如何影響該現(xiàn)象.

浮沉子體系看似簡(jiǎn)單，但實(shí)際涉及的物理機(jī)制較為復(fù)雜. 對(duì)于這一系統(tǒng)，不可逆現(xiàn)象是關(guān)鍵. 已經(jīng)有文獻(xiàn)給出其運(yùn)動(dòng)的基本理論[1-2]以及發(fā)生不可逆現(xiàn)象的臨界條件[3]，但是對(duì)于理論模型中的簡(jiǎn)化近似缺乏清晰的解釋，也未能通過(guò)精確可控的實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證. 為驗(yàn)證基礎(chǔ)的理論模型和修正后的理論模型是否適用，結(jié)合浮沉子的特點(diǎn)，需要精確、可控的實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 本文從浮沉子的制作、氣壓控制、圖像處理等方面深入考慮，設(shè)計(jì)了有效且精確度高的裝置及實(shí)驗(yàn)方法，從浮沉子運(yùn)動(dòng)和是否可逆等角度開展實(shí)驗(yàn)研究，所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論一致. 在對(duì)浮沉子問(wèn)題的分析和解決過(guò)程中，既有理論分析的深化和完善，又有實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的修改和補(bǔ)充，還能綜合運(yùn)用Matlab等軟件進(jìn)行數(shù)值模擬、圖像追蹤處理，學(xué)生自主開展文獻(xiàn)查閱和學(xué)習(xí). 該過(guò)程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生解決物理問(wèn)題的能力具有重要作用，浮沉子適合作為本科生的初級(jí)科研訓(xùn)練，并融入大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程[4].

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 理論模型的構(gòu)建

對(duì)浮沉子進(jìn)行模型構(gòu)建，實(shí)驗(yàn)參量及定義如圖1所示.在此體系中，將浮沉子定義為倒置的試管及其內(nèi)含的氣柱，并且將二者作為整體進(jìn)行受力分析.當(dāng)管內(nèi)壓強(qiáng)p增大時(shí)，通過(guò)靜水壓強(qiáng)傳遞，浮沉子內(nèi)部氣體壓強(qiáng)增大，體積減小，所受浮力減小.當(dāng)壓強(qiáng)p持續(xù)增大，浮沉子所受浮力減小直至小于重力與表面張力之和，浮沉子開始下沉.

(a)裝水長(zhǎng)管及其內(nèi)部的試管

1.2 浮沉子中氣柱狀態(tài)分析及受力分析

實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，浮沉子內(nèi)氣柱壓強(qiáng)為

pgas=p0+ρlgh+pd,

(1)

其中，pd為由流體運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的壓強(qiáng).利用Comsol軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)當(dāng)浮沉子的運(yùn)動(dòng)速度在符合實(shí)際實(shí)驗(yàn)的±0.3 m/s范圍內(nèi)且加速度小于0.1 m/s2的情況下，運(yùn)動(dòng)流體產(chǎn)生的壓力僅為重力的3%，可以將其忽略. 此外，分別使用理想氣體狀態(tài)方程的等溫和絕熱過(guò)程以及范德瓦爾斯方程，計(jì)算當(dāng)氣柱體積變化0.5 cm3時(shí)的體積-壓強(qiáng)變化曲線(圖2)，發(fā)現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)條件下，由不同的狀態(tài)方程和熱力學(xué)過(guò)程計(jì)算出的壓強(qiáng)-體積關(guān)系的區(qū)別不大.

圖2 數(shù)值計(jì)算浮沉子氣柱體積隨壓強(qiáng)變化

因此，浮沉子內(nèi)氣柱在浮沉子運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中可近似看作發(fā)生等溫變化的理想氣體，由理想氣體狀態(tài)方程得到：

p0V0=pgasVgas=(p+ρlgh)lgasSt,

(2)

從而解得氣柱長(zhǎng)度為

(3)

分類討論完全浸沒(méi)與未完全浸沒(méi)的情況下，計(jì)算得到浮沉子所受浮力為

Fb(x)=ρlgV排=

(4)

需要指出，在這里采用了靜態(tài)液體中的浮力表達(dá)式，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，它與在流體中運(yùn)動(dòng)的物體所受浮力存在區(qū)別.在下文計(jì)算浮沉子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將運(yùn)動(dòng)流體對(duì)物體額外的作用力以唯象的形式加入.通過(guò)將理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，該近似非常合理.

在上述近似下，浮力是深度的函數(shù)，所以引入浮力與重力之和的等效勢(shì)能[3]：

(5)

將不同管內(nèi)壓強(qiáng)下，浮沉子所受到的重力、浮力以及等效勢(shì)能隨其位置x的函數(shù)關(guān)系繪制如圖3所示，其中各參量取值均符合實(shí)驗(yàn)實(shí)際情況.

圖3展示了管內(nèi)壓強(qiáng)增加時(shí)浮沉子的運(yùn)動(dòng)全過(guò)程：壓強(qiáng)增大，勢(shì)能曲線中的極小值點(diǎn)在某臨界壓強(qiáng)下(1.08p0)消失，此時(shí)浮沉子開始下沉.此過(guò)程中勢(shì)能曲線極小值點(diǎn)消失的過(guò)程也是較為常見(jiàn)的物理現(xiàn)象——折疊突變現(xiàn)象(Fold catastrophe)[3,5].當(dāng)管內(nèi)壓強(qiáng)恢復(fù)初始的標(biāo)準(zhǔn)大氣壓時(shí)，勢(shì)能曲線出現(xiàn)極大值(即勢(shì)壘).若此時(shí)下沉的浮沉子已越過(guò)勢(shì)壘或者其動(dòng)能可使之越過(guò)勢(shì)壘，則將繼續(xù)下沉；反之將上浮.浮沉子在勢(shì)壘位置所對(duì)應(yīng)的深度的浮力滿足

(a)重力與浮力

Fb=mg,

(6)

將此深度定義為臨界深度.聯(lián)立式(4)和(6),解得臨界深度為

(7)

1.3 浮沉子的動(dòng)力學(xué)分析

結(jié)合牛頓第二定律，浮沉子的動(dòng)力學(xué)方程可以表述為

(8)

其中，fl表示運(yùn)動(dòng)的浮沉子所受到的流體阻力.雖然其嚴(yán)格的表達(dá)形式需要用復(fù)雜的流體力學(xué)計(jì)算，但是對(duì)比實(shí)驗(yàn)、理論和模擬計(jì)算均表明，使用斯托克斯經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算當(dāng)前體系中的流體阻力，能夠較好地解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.除此之外，浮沉子在水面附近運(yùn)動(dòng)時(shí)還會(huì)受到表面張力作用，其具體大小不易測(cè)量[6-7]，但是結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)表面張力比重力、浮力等主要作用力小2個(gè)數(shù)量級(jí)，因此可以被忽略.代入浮沉子和氣壓的相關(guān)參量，數(shù)值求解式(8)，得到不同加壓持續(xù)時(shí)間下，浮沉子的x-t和v-t圖像(圖4)，其中x=0表示浮沉子的初始深度.

(a)x-t關(guān)系

從數(shù)值計(jì)算結(jié)果中可以看出，如果浮沉子在水下運(yùn)動(dòng)速度為0的深度小于臨界深度，則最終會(huì)上浮，如圖4中加壓0.80 s和1.25 s情況；若大于臨界深度，則最終沉底，對(duì)應(yīng)于圖4中加壓1.30 s和1.40 s的情況. 并且可以看出，在最終上浮或下沉的臨界情況附近，浮沉子的運(yùn)動(dòng)對(duì)加壓過(guò)程的持續(xù)時(shí)間非常敏感：1.25 s和1.30 s的加壓持續(xù)時(shí)間只改變了0.05 s，浮沉子只在臨界深度附近停留了幾秒，便表現(xiàn)出截然不同的后續(xù)運(yùn)動(dòng)情況. 這也反映了在圖3勢(shì)能曲線中，臨界深度對(duì)應(yīng)于非穩(wěn)定平衡點(diǎn)的事實(shí).

上述理論分析表明：由于實(shí)驗(yàn)環(huán)境中的各種擾動(dòng)、實(shí)驗(yàn)儀器響應(yīng)時(shí)間以及實(shí)驗(yàn)人員的反應(yīng)時(shí)間限制，原則上不可能控制浮沉子恰好靜止于不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即無(wú)法通過(guò)調(diào)整參量而將浮沉子正好控制在臨界深度附近并加以測(cè)量. 因此，必須通過(guò)不斷改變參量，使浮沉子盡量接近臨界深度的夾逼方法來(lái)測(cè)定臨界深度.

2 實(shí)驗(yàn)裝置及方法

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示. 使用鋁型材搭建支架，用來(lái)固定亞克力長(zhǎng)管并保證其豎直，上方的鋁型材可壓實(shí)橡膠塞以保證裝置氣密性良好. 橡膠塞連接2根玻璃導(dǎo)管，一根通過(guò)橡皮管與注射器相連，并采用可控參量的注射泵推動(dòng)注射器以精確控制長(zhǎng)管內(nèi)的壓強(qiáng)，可設(shè)定每次實(shí)驗(yàn)的注入速度和注入量，減小人為操作的誤差；另一根玻璃導(dǎo)管通過(guò)橡皮管連接數(shù)顯壓差計(jì)，實(shí)時(shí)獲取管內(nèi)氣壓和大氣壓的差值，并用電腦記錄，從而獲取實(shí)驗(yàn)過(guò)程中管內(nèi)氣壓隨時(shí)間的變化圖像. 實(shí)驗(yàn)中使用的浮沉子是采用3D打印制作的平底試管，其幾何形狀的參量可以精確到0.1 mm；為了便于對(duì)浮沉子進(jìn)行圖像追蹤與處理，在試管壁上做了黑色標(biāo)記.

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

2.2 圖像處理

為獲取浮沉子的位置數(shù)據(jù)，利用Matlab軟件編寫了圖像處理程序. 在Matlab中導(dǎo)入視頻并打開其中1幀圖像，對(duì)視頻圖像進(jìn)行二值化處理，得到浮沉子的黑色標(biāo)記區(qū)域的二值圖像，如圖6所示，進(jìn)而獲取二值標(biāo)定區(qū)域的最高位置坐標(biāo)，結(jié)合圖像像素大小與實(shí)際大小的定標(biāo)數(shù)據(jù)，可換算得到浮沉子的位置.

圖6 圖像二值化處理示意圖

為避免相機(jī)畸變引入定標(biāo)誤差，實(shí)驗(yàn)選取Nikon D810單反相機(jī)配置標(biāo)準(zhǔn)鏡頭，實(shí)驗(yàn)裝置距離相機(jī)3 m，并且將圖像呈現(xiàn)在相機(jī)畫面的中間部分，裝水長(zhǎng)管橫向視角小于1.5°，可以忽略橫向畸變. 將裝水長(zhǎng)管的橫向直徑作為定標(biāo)尺寸，利用像素?fù)Q算獲得圖像中物體的測(cè)量長(zhǎng)度. 長(zhǎng)管的實(shí)際高度為1.500 m，經(jīng)像素定標(biāo)得到測(cè)量高度為(1.496±0.008) m，在誤差允許范圍內(nèi)，可認(rèn)為相機(jī)畸變對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量幾乎無(wú)影響.

2.3 浮沉子運(yùn)動(dòng)全過(guò)程的探究

由3D打印制作不同參量的浮沉子樣品，并精確測(cè)量其實(shí)際大小. 用注射器向浮沉子內(nèi)注入一定體積的水，放入裝有水的長(zhǎng)直管中. 初始管內(nèi)空氣與外部連通，為1個(gè)大氣壓，隨后固定橡膠塞及上方鋁型材，以保持管內(nèi)氣體密閉. 啟動(dòng)壓差計(jì)，開啟相機(jī)，啟動(dòng)注射泵. 加壓一定時(shí)間后，浮沉子開始持續(xù)下沉，暫停注射泵以保持管內(nèi)壓強(qiáng)恒定. 當(dāng)浮沉子運(yùn)動(dòng)到一定深度，快速斷開連接注射器的橡皮管，使長(zhǎng)管內(nèi)迅速恢復(fù)初始的標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，浮沉子上浮或者繼續(xù)下沉. 持續(xù)拍攝直至浮沉子運(yùn)動(dòng)結(jié)束. 最后，利用圖像處理程序提取視頻數(shù)據(jù)，得到浮沉子運(yùn)動(dòng)全過(guò)程的深度-時(shí)間圖像.

2.4 臨界深度的測(cè)量

由于浮沉子的臨界深度為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，原則上不可能使浮沉子長(zhǎng)時(shí)間停留在臨界深度所對(duì)應(yīng)的位置，因此無(wú)法直接測(cè)量臨界深度. 依據(jù)1.3探討的情況，臨界深度是決定浮沉子最終上浮或者下沉的直觀物理量：最終上浮的浮沉子勢(shì)必?zé)o法達(dá)到并且跨越臨界深度，而最終沉底的浮沉子則勢(shì)必跨越臨界深度. 所以，對(duì)同一初始條件的浮沉子多次改變加壓持續(xù)時(shí)間，得到多條上浮、下沉的深度-時(shí)間圖像，通過(guò)不斷夾逼的方式得到臨界深度的范圍，即浮沉子最終上浮的最深處和下沉的最淺位置的范圍. 每組參量進(jìn)行10次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的臨界深度標(biāo)準(zhǔn)差為±5 cm. 該方法符合物理過(guò)程，是較為理想的臨界深度測(cè)量方法.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)所用浮沉子參量如表1所示.

表1 實(shí)驗(yàn)所用浮沉子參量

3.1 阻力系數(shù)的獲得

利用Comsol軟件，采用圓柱形氣柱在液體中的受力模型(圖7)，代入實(shí)際測(cè)量的實(shí)驗(yàn)參量，數(shù)值模擬得到斯托克斯公式的相關(guān)阻力系數(shù)為0.092.

圖7 Comsol模型計(jì)算阻力系數(shù)

3.2 加壓持續(xù)時(shí)間對(duì)浮沉子運(yùn)動(dòng)的影響

通過(guò)改變停止加壓到恢復(fù)初始?xì)鈮旱拈g隔時(shí)間來(lái)改變加壓持續(xù)時(shí)間，得到不同加壓持續(xù)時(shí)間下浮沉子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示，在恢復(fù)壓強(qiáng)后浮沉子運(yùn)動(dòng)情況與理論對(duì)照非常一致，同時(shí)，相同條件的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可重復(fù)性較高，均符合臨界深度判定，且理論臨界深度與實(shí)驗(yàn)夾逼范圍一致. 本實(shí)驗(yàn)的合理性得到驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)與理論結(jié)果較為吻合.

圖8 浮沉子不同運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)與理論對(duì)比

3.3 各參量對(duì)臨界深度的影響

基于上述裝置和實(shí)驗(yàn)處理系統(tǒng)，本實(shí)驗(yàn)還探究了初始?xì)庵L(zhǎng)度、浮沉子長(zhǎng)度和浮沉子內(nèi)截面積等參量對(duì)浮沉子臨界深度的影響，如圖9～12所示. 由1.2可知，臨界深度滿足式(7)，臨界深度隨各參量改變的實(shí)驗(yàn)結(jié)論如下：浮沉子初始?xì)庵L(zhǎng)度越大，臨界深度越深，二者基本呈線性關(guān)系；實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)，浮沉子長(zhǎng)度越小，臨界深度越深；實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)，浮沉子截面積越大，臨界深度越深.

圖9 初始?xì)庵L(zhǎng)度對(duì)臨界深度的影響 (浮沉子1)

圖10 浮沉子長(zhǎng)度對(duì)臨界深度的影響

圖11 浮沉子截面積對(duì)臨界深度的影響

(a)浮沉子5

初始?xì)庵L(zhǎng)度誤差棒(橫向)主要表征對(duì)氣柱長(zhǎng)度進(jìn)行追蹤帶來(lái)的誤差，即由于測(cè)量氣柱長(zhǎng)度所占用的像素點(diǎn)數(shù)量較小，且液體邊界較為模糊，因此引入誤差棒表示測(cè)量精度；臨界深度誤差棒(縱向)用以體現(xiàn)夾逼法確認(rèn)臨界深度時(shí)產(chǎn)生的誤差，其上下界代表夾逼的范圍以及長(zhǎng)度測(cè)量的誤差. 在誤差允許的范圍內(nèi)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論符合.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了參量可控的裝置以及配套的實(shí)驗(yàn)方法和圖像數(shù)據(jù)處理方法，并研究了浮沉子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，利用夾逼的方法獲得了浮沉子不可逆現(xiàn)象的臨界深度，且研究了影響臨界深度的多個(gè)參量，驗(yàn)證了基礎(chǔ)的理論模型和修正后的理論模型的適用性. 該實(shí)驗(yàn)操作簡(jiǎn)單，理論思路清晰，可以作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的拓展內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生分析、研究與解決問(wèn)題的能力，實(shí)驗(yàn)操作能力，資源獲取、整合以及綜合運(yùn)用的能力.