黃浩博,徐 強

(西安電子科技大學(xué) a.微電子學(xué)院；b.物理學(xué)院，陜西 西安 710000)

黏度又稱為內(nèi)摩擦系數(shù)，是分子相互擴散作用的宏觀表征，反映了液體剪切面間相對運動時的內(nèi)摩擦力，對工業(yè)、醫(yī)療等領(lǐng)域中湍流相關(guān)的研究有重要意義. 傳統(tǒng)的黏度測量方法具有較大的局限性. 例如，落球法只能適用于低雷諾數(shù)情況下的透明液體[1]；毛細管法對環(huán)境要求高，受溫度影響大，且毛細管容易堵塞[2]；旋轉(zhuǎn)法所需實驗儀器復(fù)雜，測量精度難以得到保障[3]；單擺法的實驗原理明確、現(xiàn)象清晰，通過記錄擺球到達最大擺幅的間隔時間與最大擺幅的衰減因子來計算黏度，但測量精度較低[4-5]. 隨著科技的發(fā)展，許多設(shè)備都逐漸電子化，不僅上述的實驗方案中引入了電子設(shè)備[6-8]，還出現(xiàn)了很多新型測量方法，例如用扭擺的強迫振動運動和電子設(shè)備的監(jiān)控來計算系統(tǒng)內(nèi)的損耗，從而測量黏度[9]；集成霍爾開關(guān)傳感器液體黏度測定[10]；通過布里淵散射來測量黏度等[11-12]. 本文在單擺法測量黏度的基礎(chǔ)上[13]，基于液體中小球運動學(xué)方程的動力學(xué)模型，通過拉普拉斯變換及其逆變換，推導(dǎo)出任意阻尼情況下的單擺運動方程，通過圖像捕捉技術(shù)測量得到大量數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)預(yù)處理后，采用雙平方權(quán)重算法對數(shù)據(jù)進行最小二乘法擬合，快速剔除異常點，得到液體黏度.

1 實驗原理

對于在流體中做鐘擺運動的物體，其運動可以用以下力學(xué)方程來描述[14]：

(1)

在確保物體在垂直轉(zhuǎn)軸的二維平面運動的情況下，式(1)，可以簡化為

(2)

在流體中運動的物體所受阻力與雷諾數(shù)有關(guān).例如，當雷諾數(shù)較低時，阻力是關(guān)于速度的線性函數(shù)，即F=-γv，其中γ與物體材質(zhì)、形狀以及液體的黏度有關(guān)；在高雷諾數(shù)的情況下，阻力與速度的平方相關(guān)，即F=kv2，其中k與物體的材質(zhì)和形狀有關(guān)[15].

假設(shè)擺球密度為ρ，半徑為r，體積為V，置于密度為ρa的液體中，此時擺球受到懸線的張力T、重力G、浮力f和流體阻力F的作用.

假設(shè)初始時刻擺球懸線與鉛垂線夾角為θ(擺線在平衡位置右側(cè)時角位移為正)，由轉(zhuǎn)動定理可得：

(3)

若擺動角度很小，則有sinθ≈θ;假設(shè)球面理想光滑，并且液體滿足廣延條件，根據(jù)斯托克斯公式有：γ=6πηr.式(3)可化簡為

(4)

利用拉普拉斯變換及其逆變換可以得到方程的解析解為

(5)

而在實際測量過程中，主要誤差來自液體的體積并非無限大，從而存在湍流現(xiàn)象，導(dǎo)致式(3)中液體阻力的描述存在偏差.

考慮非廣延條件引起的湍流，球體在管道中運動，其斯托克斯公式的修正形式如下[8]：

(6)

其中，R為管道的半徑，H為管道的深度.

幾何對稱的圓管的約束比長方體更容易考慮，采用上述管性修正系數(shù)對方程進行修正，最終得到:

(7)

在本次實驗中，選取最大擺幅的2倍作為管長，擺動起始點距離水面的高度作為管道半徑.

2 實驗裝置及實驗步驟

2.1 實驗裝置

如圖1所示，在0.4 m×0.12 m×0.3 m的亞克力槽上放置金屬橫杠作為轉(zhuǎn)軸.將釣魚線穿過不銹鋼小球(半徑為r=1.5 cm，質(zhì)量m=14 g)的上端，并將釣魚線兩端系在轉(zhuǎn)軸兩側(cè)，從而形成雙擺線結(jié)構(gòu)，使得擺球只能繞轉(zhuǎn)軸平面運動，避免了擺球沿轉(zhuǎn)軸方向上晃動.

圖1 實驗裝置示意圖

攝像機的攝影頭垂直擺球運動平面，將擺線上靠近轉(zhuǎn)軸的點進行標記并作為觀察點，計算該點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離，并將其作為實際擺線長度，本實驗中擺線長度l=15 cm. 隨后加入體積分數(shù)為70%的甘油，使擺球在靠近板壁時處于液體平面下.

實驗證明，甘油的阻尼屬于小阻尼，因此在實驗中，式(4)的解析解應(yīng)為

(8)

在后續(xù)處理中，將式(8)作為擬合對象.

2.2 實驗步驟以及數(shù)據(jù)的測量

1)在實驗開始前，利用電子溫度計測量液體溫度.

2)將擺球從槽壁處釋放并開啟圖像傳感器，獲得圖像數(shù)據(jù).

3)測量液體溫度，并與開始溫度取平均值作為實驗溫度.

4)利用圖像捕捉工具(例如Track)，對觀察點的坐標進行捕捉，如圖2所示.從左往右，原始圖像依次經(jīng)過剪裁、色度調(diào)整并約束了自動捕捉范圍，每次實驗獲得近400組數(shù)據(jù).

圖2 利用圖像捕捉工具得到觀察點的坐標

5)重復(fù)實驗，至少重復(fù)4次.

3 實驗數(shù)據(jù)記錄與處理

3.1 黏度的計算

考慮初始釋放時給球體帶來的擺動，以及在低速情況下由于空間有限而存在湍流，使得球體轉(zhuǎn)動導(dǎo)致擺球的運動并不理想，因此需要對數(shù)據(jù)進行截取.觀察圖3可以發(fā)現(xiàn)，x-t曲線基本平滑，而y-t圖像畸變現(xiàn)象明顯.這是由于在y軸方向上運動幅度小，非理想因素被顯著體現(xiàn).以y-t圖像作為參照，可以直觀地判斷出擺動前的1.5 s左右，非理想因素的干擾十分嚴重.

(a)橫坐標

選取時間在[2，4]區(qū)間的數(shù)據(jù)進行分析，共得到234組點. 部分數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 測量數(shù)據(jù)

平衡時的橫坐標為x0=0.030 35 m，有：

(9)

結(jié)合式(8)和式(9),所需要擬合的方程為

(10)

考慮到(x-x0)/l?1，式(10)可以近似為

(11)

利用所測量的數(shù)據(jù)對式(11)進行5個參量的方程擬合.由于衰減振動的衰減系數(shù)以及衰減周期是實驗測量中2個重要的參量，設(shè)定B與C為優(yōu)先度最高的參量，進行求解非線性的最小二乘法擬合.

在擬合過程中，考慮到實驗中的非理想因素，所測得的數(shù)據(jù)可以認為是服從偏離實際曲線的高斯分布.為了濾除異常點，采用雙平方的穩(wěn)健最小二乘法，最終得到的方程解為

x(t)=0.161 2e-0.675tsin (3.632t-2.011)-0.167,

(12)

其相關(guān)系數(shù)R2=0.997 8.擬合曲線如圖4所示，數(shù)據(jù)處理殘差圖如圖5所示，可以看到運動開始階段與結(jié)束階段殘差變化幅度大，非理想因素干擾強.

圖4 擬合曲線與測量數(shù)據(jù)

圖5 數(shù)據(jù)處理殘差圖

重復(fù)上述過程4次，測得B的實驗數(shù)據(jù)分別為0.666,0.684,0.606,0.624.代入式(4)并取平均值，計算得到η=0.023 280 N/m.

3.2 不確定度計算

根據(jù)式(7)，不確定度的計算公式為：

(13)

其中，ΔB為通過擬合，即計算測量值與預(yù)測值之間的偏離值得到,因此令ΔB/B=1-R2,其他值容易獲得，利用式(13)得到Δη=0.000 181 N/m.

故實驗測得體積分數(shù)為70%的甘油黏度為η=(0.023 3±0.000 2) N/m.

4 結(jié) 論

本文提出了基于運動視頻圖像處理改進測量黏度的方法，利用圖像傳感器記錄擺球運動并提取擺球運動數(shù)據(jù). 基于液體中小球運動學(xué)方程的動力學(xué)模型，通過拉普拉斯變換及其逆變換，求解了考慮液體阻力的單擺運動方程，通過雙平方權(quán)重的最小二乘法對動力學(xué)方程進行了擬合，剔除了異常點，最終得到穩(wěn)定的方程解，代入測量數(shù)據(jù)得到了待測液體的黏度. 該方法對液體的性質(zhì)要求低，可以廣泛用于不同液體的黏度測量.