徐浩翔，金 偉

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241002)

2021年國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYTP)第16題為超聲波泵(Ustrosonic pump)：被浸入超聲波水浴池中的毛細(xì)管可以像泵一樣工作，將水提升到相當(dāng)?shù)母叨龋忉尣⑻骄窟@一現(xiàn)象. 在超聲波作用下浸入液體的毛細(xì)管內(nèi)液面高度反常上升的現(xiàn)象是由超聲毛細(xì)效應(yīng)導(dǎo)致的. 本文從擠壓模效應(yīng)和空化效應(yīng)角度進(jìn)行建模，分析超聲毛細(xì)效應(yīng)的原理，并探究影響超聲波作用下毛細(xì)管內(nèi)液面上升高度的因素.

1 預(yù)實(shí)驗(yàn)

圖1為超聲波泵的實(shí)驗(yàn)裝置模型圖.

圖1 超聲波泵實(shí)驗(yàn)裝置模型圖

在水槽中放入液體，水槽底部中心有超聲波發(fā)生振子，用固定架將毛細(xì)管豎直固定在超聲振子中央，并可以改變毛細(xì)管末端與振子的距離. 在預(yù)實(shí)驗(yàn)中，改變超聲波的頻率、液體的含氣量和溫度、毛細(xì)管的規(guī)格和其末端到超聲波聲源處的距離等因素，觀察水柱高度的變化.

通過(guò)預(yù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)毛細(xì)管的內(nèi)外徑、超聲波的頻率和毛細(xì)管末端到聲源的距離與水柱高度密切相關(guān)，其他因素(如液體溫度、含氣量等)也會(huì)產(chǎn)生較為明顯的影響.

2 超聲毛細(xì)效應(yīng)的理論分析

2.1 擠壓模效應(yīng)的解釋

首先從擠壓模效應(yīng)的角度建模. 在靜水中未開(kāi)啟超聲波發(fā)生器時(shí)，毛細(xì)管內(nèi)液面上升主要是毛細(xì)現(xiàn)象[1]造成的. 這是固液表面的吸引力導(dǎo)致的現(xiàn)象，由注林定律[2]可知，靜水中毛細(xì)管內(nèi)液面上升的高度為

(1)

其中，hm為靜水條件下管內(nèi)液體較管外液面上升的高度，σ為液體的表面張力，θ為靜止液體與毛細(xì)管管壁的接觸角，ρ為液體密度，g為重力加速度，r2為管的內(nèi)徑.在毛細(xì)管表面和純凈水接觸時(shí)，接觸角近似為0.考慮液體壓強(qiáng)平衡公式：

p=ρgh,

(2)

可以求得毛細(xì)作用下毛細(xì)管中產(chǎn)生的靜壓強(qiáng)為

(3)

當(dāng)超聲波發(fā)生器啟動(dòng)時(shí)，超聲振子表面會(huì)產(chǎn)生高頻率、小振幅的振動(dòng)，這會(huì)引起毛細(xì)管底部產(chǎn)生附加靜壓力，即擠壓模效應(yīng).毛細(xì)管末端與超聲波發(fā)生器表面的截面圖如圖2所示.如果將靜壓力表示為振動(dòng)引起的液體體積改變量的函數(shù)，在柱坐標(biāo)系中進(jìn)行近似計(jì)算，并引入擠壓模因子α作為表征擠壓模效應(yīng)的常量，得到擠壓模效應(yīng)下附加靜壓強(qiáng)為[3]

圖2 毛細(xì)管末端與超聲波發(fā)生器的截面示意圖

(4)

其中，r1和r2分別為毛細(xì)管的外內(nèi)徑，u為聲速，A0為超聲波的振幅，d0為毛細(xì)管末端距超聲波發(fā)生器的距離.將式(4)代入式(2)，得到擠壓模效應(yīng)下毛細(xì)管內(nèi)液面上升的高度為

(5)

因此擠壓模效應(yīng)下毛細(xì)管內(nèi)液面上升的總高度值應(yīng)為

(6)

2.2 輻射壓與沖流的影響

超聲波作用下毛細(xì)管內(nèi)液體所受附加壓強(qiáng)有2個(gè)分量：輻射壓pr和沖流壓ps[4].

由于聲波在非理想介質(zhì)中傳播的非線性效應(yīng)，聲波入射到障礙物上會(huì)產(chǎn)生前向壓強(qiáng)即輻射壓pr[5].將聲波在流體中的傳播近似為絕熱過(guò)程，又由于實(shí)驗(yàn)為封閉的管壁情形，則可以用瑞利輻射壓來(lái)表示輻射壓pr[6]，即

(7)

其中，γ為氣體的比熱容比，D為聲場(chǎng)的聲能密度.可以取聲動(dòng)能為

(8)

假設(shè)在聲場(chǎng)作用下，聲場(chǎng)引起的力做功為

Ep=-ΔpαΔV，

(9)

其中pα為激發(fā)聲場(chǎng)的聲壓幅值.將體積改變量用密度變化表示，并假設(shè)密度變化量相對(duì)于ρ是高階小量，可以得到聲勢(shì)能為

(10)

結(jié)合理想流體情況下小振幅波的狀態(tài)方程以及聲能密度的定義，可以得到聲能密度為

(11)

代入式(7)，得出輻射壓的大小為

(12)

從空泡動(dòng)力學(xué)的角度考慮，空化效應(yīng)導(dǎo)致的沖流壓也是重要的影響因素之一.空化是在均質(zhì)的液體中出現(xiàn)蒸氣空泡，空化效應(yīng)是水動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)特物理現(xiàn)象，可發(fā)生在任意流體中[7].

空化時(shí)產(chǎn)生的大量空化泡在破裂時(shí)會(huì)產(chǎn)生瞬間的高溫和壓強(qiáng).空化泡從1個(gè)空化核膨脹至初始尺寸的若干倍后，空化泡將會(huì)在達(dá)到最大半徑時(shí)破裂并附帶有較小的氣體分壓.當(dāng)大量空化泡破裂時(shí)，在毛細(xì)管內(nèi)的液體中就會(huì)瞬間形成高速定向移動(dòng)的沖流壓ps.

分析空化泡在液體中的平衡條件. 假設(shè)在靜止液體中處于平衡狀態(tài)、半徑為R(t)的類球狀微小空化泡內(nèi)含有空氣和液體的蒸氣.假設(shè)液體具有經(jīng)受低于蒸氣壓pv乃至張力的能力,微氣泡是液體開(kāi)始破裂的薄弱點(diǎn).假設(shè)在整個(gè)容器中壓力是均勻的,故微氣泡可視作球形.液體蒸氣壓與泡內(nèi)空氣壓強(qiáng)之和為空化泡內(nèi)部壓強(qiáng)，即

pin=pv+pg.

(13)

類似地，可將空化泡外部的壓強(qiáng)視為距空化泡較遠(yuǎn)處液體壓強(qiáng)與氣泡表面張力導(dǎo)致的壓強(qiáng)二者之和，即

(14)

由此可以得出微氣泡界面平衡的條件為

(15)

假設(shè)液體是不可壓縮的牛頓流體并忽略重力作用,設(shè)泡內(nèi)氣體各項(xiàng)參量為常量且忽略慣性，忽略泡和周圍液體的熱交換即假設(shè)絕熱過(guò)程，可推導(dǎo)出瑞利方程[8]，即

(16)

如果考慮黏性損耗，得到瑞利方程的修正式，即瑞利-普萊斯特方程：

(17)

空化泡破裂的瞬間會(huì)向四周發(fā)射沖擊波，其本質(zhì)上是高壓快速釋放氣體產(chǎn)生沖流.根據(jù)上述模型進(jìn)行建模，可以得出蒸氣泡破裂所產(chǎn)生的壓力場(chǎng)滿足：

(18)

由于大量空化泡破裂產(chǎn)生的沖流是定向的，因而可以認(rèn)為只有毛細(xì)管內(nèi)液面正下方的圓柱形區(qū)域內(nèi)液體中的空化泡破裂產(chǎn)生的沖流壓，才對(duì)液體上升產(chǎn)生影響.對(duì)圓柱體內(nèi)的空化泡進(jìn)行積分，可以用

(19)

計(jì)算沖流壓的統(tǒng)計(jì)平均值，其中n為體積元內(nèi)的空化泡數(shù)量.于是得到毛細(xì)管內(nèi)液面上升的總高度為

(20)

2.3 擠壓模效應(yīng)和空化效應(yīng)解釋的聯(lián)系

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及分析

實(shí)驗(yàn)裝置水槽內(nèi)膽為240 mm ×135 mm×100 mm，選用內(nèi)外徑之和為0.5～10.0 mm的若干組硅膠管和玻璃管,超聲波頻率為20,28,40,50,68 kHz，液體選用蒸餾水與含氣水.

選用頻率為40 kHz、超聲波功率為120 W、加熱功率為100 W的超聲波發(fā)生器，選用不同的d0值并改變內(nèi)外徑之和進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 可以發(fā)現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)水柱高度與毛細(xì)管內(nèi)外徑之和呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，如圖3所示,這與擠壓模效應(yīng)得出的結(jié)論一致. 當(dāng)內(nèi)外徑之和增大時(shí)，如式(19)所示，沖流的貢獻(xiàn)減小，沖流壓也相應(yīng)減小.

圖3 水柱高度與毛細(xì)管內(nèi)外徑之和的關(guān)系

改變超聲波頻率，探究頻率對(duì)超聲波泵現(xiàn)象的影響.令d0≈1.5 mm，更換不同型號(hào)的超聲波發(fā)生器,改變超聲波的頻率進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如圖4所示.可以發(fā)現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)毛細(xì)管內(nèi)液面上升的高度隨超聲波頻率的增大而減小.當(dāng)頻率增大時(shí)，膨脹時(shí)間相對(duì)變短，空化核來(lái)不及膨脹到破裂應(yīng)有的尺寸，而壓縮的時(shí)間又相對(duì)變短，空化泡來(lái)不及收縮破裂，因此難以發(fā)生劇烈的空化現(xiàn)象.由此可知，高頻時(shí)空化效應(yīng)較弱，此時(shí)的超聲毛細(xì)效應(yīng)主要由輻射壓引起；低頻時(shí)聲波接近于球面波，空化現(xiàn)象較為明顯，此時(shí)超聲毛細(xì)效應(yīng)主要由沖流壓引起.

圖4 水柱高度與超聲波頻率的關(guān)系

通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可以發(fā)現(xiàn),毛細(xì)管距離聲源處d0很微小時(shí)，才能觀測(cè)到明顯的現(xiàn)象，這是由于毛細(xì)管較遠(yuǎn)時(shí)超過(guò)了空化閾值所致[9].實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示，超聲波作用下毛細(xì)管內(nèi)液面高度的反常上升高度與毛細(xì)管底部到超聲振子中心的距離呈現(xiàn)：先在0.5～0.7 mm內(nèi)快速增加，之后液面高度與d0呈負(fù)相關(guān).這是由于在極短距離內(nèi)，隨著距離增加空化泡的數(shù)量也會(huì)增加，沖流壓的大小也就隨之增加，此時(shí)空化效應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)地位，而擠壓模效應(yīng)的效果相對(duì)不明顯；而當(dāng)距離更大時(shí)，聲波能量的衰減加劇，沖流壓會(huì)隨之減小，此時(shí)空化效應(yīng)與擠壓模效應(yīng)的影響都相應(yīng)減弱，水柱高度隨d0的增大而減小.

圖5 水柱高度與d0的關(guān)系

通過(guò)改變液體溫度來(lái)改變液體黏度的方式探究不同阻抗、具有不同聲學(xué)特性的液體在超聲毛細(xì)效應(yīng)中的狀況.實(shí)驗(yàn)表明：溫度會(huì)對(duì)超聲毛細(xì)效應(yīng)產(chǎn)生較大的影響[10].但是溫度因素較難探究，其原因在于超聲振子工作時(shí)會(huì)在很短的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生大量的熱量，水槽內(nèi)的溫度場(chǎng)難以控制，因此采用降溫的方式進(jìn)行實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：在23 ℃附近，毛細(xì)管內(nèi)液面會(huì)升高到極大值，而溫度升高或降低都會(huì)導(dǎo)致現(xiàn)象的減弱，如圖6所示.溫度開(kāi)始升高時(shí)，液體的黏度和表面張力系數(shù)下降，液體中空化核的數(shù)量增多，更容易產(chǎn)生空化泡并破裂；而當(dāng)溫度升高到一定程度后，液體蒸氣壓增大，空泡破裂產(chǎn)生的沖流壓減小會(huì)導(dǎo)致空化強(qiáng)度減弱.但若僅從擠壓模效應(yīng)的角度來(lái)分析，隨著溫度的升高，液體黏度降低，擠壓模因子α隨之增大，擠壓模效應(yīng)變強(qiáng).這說(shuō)明擠壓模效應(yīng)對(duì)超聲毛細(xì)效應(yīng)的解釋?xiě)?yīng)當(dāng)在考慮d0處液體的具體性質(zhì)后進(jìn)行合理修正.

圖6 水柱高度與溫度的關(guān)系

為探究液體含氣量對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，選用蒸餾水與含氣水進(jìn)行對(duì)照實(shí)驗(yàn)，觀察到含氣水中超聲毛細(xì)效應(yīng)更加明顯. 這是因?yàn)檎麴s水中缺少空化核，空化現(xiàn)象難以發(fā)生.

在選擇合適的擠壓模因子情況下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以較好地符合擠壓模效應(yīng)的預(yù)測(cè)，且頻率越高、液體黏度越大，則擠壓模效應(yīng)越明顯. 但是當(dāng)管道直徑較寬時(shí)，無(wú)法用固定的擠壓模因子來(lái)表達(dá)靜壓強(qiáng)與管道內(nèi)外徑之和的關(guān)系. 此外，對(duì)于超聲波泵間隙內(nèi)聲阻抗和液體黏度對(duì)擠壓模效應(yīng)的影響，還應(yīng)當(dāng)求解間隙的流體動(dòng)力學(xué)方程來(lái)計(jì)算實(shí)際的擠壓模因子. 空化效應(yīng)在各種情況下都可以較好地對(duì)超聲毛細(xì)現(xiàn)象進(jìn)行解釋.

4 結(jié) 論

從空化的角度看，超聲毛細(xì)效應(yīng)主要是由于空化效應(yīng)造成的大量空化泡破裂形成的定向沖流壓，以及超聲波作用下液體產(chǎn)生的輻射壓共同導(dǎo)致的. 超聲振子表面發(fā)生高頻率、小振幅的振動(dòng)引起毛細(xì)管底部產(chǎn)生附加靜壓力的擠壓模效應(yīng)也可以解釋超聲毛細(xì)效應(yīng). 通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了超聲毛細(xì)效應(yīng)導(dǎo)致的毛細(xì)管內(nèi)液面高度反常增加與毛細(xì)管的內(nèi)外徑之和以及超聲波頻率呈負(fù)相關(guān)，與毛細(xì)管末端距離聲源的間距以及溫度的增加呈先增后減的關(guān)系. 另外，含氣水中的超聲毛細(xì)效應(yīng)更明顯.