白壯華， 林 何,2*

(1.西安工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 陜西 西安 710048；2.西安工程大學(xué) 西安市現(xiàn)代智能紡織裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西 西安 710600)

齒輪裝置廣泛應(yīng)用于大型重工機(jī)械和小型精密儀器等領(lǐng)域中，齒輪系統(tǒng)在各種非線性因素耦合干擾下，產(chǎn)生的振動(dòng)和噪聲極大地惡化了工作環(huán)境，因此為改善齒輪系統(tǒng)的工作穩(wěn)定性及傳動(dòng)噪聲，對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性研究和優(yōu)化是非常必要的[1-3]。星型人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)因其功率密度高、傳動(dòng)比大和結(jié)構(gòu)強(qiáng)度優(yōu)等特點(diǎn)常應(yīng)用于重載和可靠性要求高的設(shè)備中。為了解星型齒輪系統(tǒng)振動(dòng)分岔行為，改善其響應(yīng)性態(tài)，很多國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為和振動(dòng)特性進(jìn)行了研究和優(yōu)化[4-5]。Kahrarman[6]建立了單級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)數(shù)值求解得到了行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)和振型；邱星輝等[7]從研究現(xiàn)狀、動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)和發(fā)展方向等方面對(duì)風(fēng)力發(fā)電機(jī)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了綜述；林何等[8]推導(dǎo)了行星人字齒輪嚙合傳動(dòng)的時(shí)變嚙合剛度動(dòng)態(tài)梯形圖，建立了人字齒行星齒輪傳動(dòng)的扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)系統(tǒng)擬周期振動(dòng)特性進(jìn)行了分析；李同杰等[9]建立了直齒行星齒輪傳動(dòng)純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，分析了激勵(lì)頻率、齒側(cè)間隙對(duì)該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。Wei等[10]利用虛擬等效軸單元的動(dòng)力學(xué)建模方法構(gòu)建了人字齒行星齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型；Mo等[11]基于集中參數(shù)理論和Lagrange方法建立了人字齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。

為研究嚙合阻尼比對(duì)星型人字齒輪系統(tǒng)分岔特性的影響，課題組建立了星型人字齒輪系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型，利用Runge-Kutta法對(duì)動(dòng)力學(xué)微分方程數(shù)值求解，通過(guò)不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的相圖、龐加萊(Poincaré)截面和分岔圖對(duì)系統(tǒng)分岔演化過(guò)程進(jìn)行研究，分析不同轉(zhuǎn)速條件下嚙合阻尼比對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)及分岔特性的影響。

1 系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型

課題組采用集中質(zhì)量法建立星型人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，系統(tǒng)端面動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。該系統(tǒng)功率主要由太陽(yáng)輪輸入并分流到行星輪，再由行星輪匯集到內(nèi)齒圈進(jìn)行輸出。其中kspi,krpi(i=1,2,3)分別為太陽(yáng)輪和行星輪、行星輪和內(nèi)齒圈之間的嚙合剛度，各彈性支承及嚙合副均有阻尼和尺側(cè)間隙。θs,θpi(i=1,2,3)和θr分別為太陽(yáng)輪、第i個(gè)行星輪和內(nèi)齒圈的旋轉(zhuǎn)振動(dòng)位移。

圖1 星型人字齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)系統(tǒng)端面模型Figure 1 End face model of star herringbone gear transmission system

為了更直觀地表明各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)情況，針對(duì)任一個(gè)行星輪i建立如圖2所示的嚙合型動(dòng)力學(xué)模型。系統(tǒng)中所有齒輪均為人字齒輪，將每個(gè)人字齒輪視為由2個(gè)完全相同僅旋向相反的斜齒輪拼合而成，中間為歐拉梁?jiǎn)卧B接，圖中質(zhì)量節(jié)點(diǎn)s1,s2分別代表太陽(yáng)輪左、右2個(gè)斜齒輪;pi1,pi2分別代表行星輪i(i=1,2,3)左、右兩側(cè)斜齒輪；r1,r2代表內(nèi)齒圈左、右2個(gè)斜齒輪；斜齒輪基圓螺旋角為β1，β2(左旋為正，右旋為負(fù))，故有β2=-β1；cspi,crpi(i=1,2,3)分別為太陽(yáng)輪和行星輪、行星輪和內(nèi)齒圈之間的嚙合阻尼；espi,erpi(i=1,2,3)分別為太陽(yáng)輪和行星輪、行星輪和內(nèi)齒圈之間的綜合傳動(dòng)誤差；b為尺側(cè)間隙；Ts,Tr分別為輸入扭矩和輸出扭矩。

圖2 星形人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Figure 2 Dynamic model of star herringbone gear transmission system

星型人字齒輪系統(tǒng)主要?jiǎng)恿W(xué)參數(shù)如表1所示。行星輪個(gè)數(shù)為3，模數(shù)為4 mm，安裝角αpi(i=1,2,3)分別為0,2π/3,4π/3,法面壓力角αn為20°，基圓螺旋角β為22.5°，平均嚙合剛度取2×109N·m-1，太陽(yáng)輪輸入功率為3 000 kW，剛度波動(dòng)系數(shù)為0.1，輸入、輸出扭矩波動(dòng)系數(shù)為0.5，尺側(cè)間隙值為0.1 mm。

表1 星型人字齒輪系統(tǒng)部分動(dòng)力學(xué)參數(shù)

根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律構(gòu)建系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程：

(1)

式中I為部件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)定義輪齒時(shí)變嚙合剛度：

(2)

式中：К為時(shí)變嚙合剛度均值，ω為嚙合頻率，ε為時(shí)變嚙合剛度波動(dòng)系數(shù)，φ0為嚙合初始相位角。

定義初始相位角：

φspi=αt-αpi;φrpi=αt+αpi。

(3)

式中αt為齒輪端面壓力角。

太陽(yáng)輪和第i個(gè)行星輪左、右側(cè)沿嚙合線方向的相對(duì)位移Γspi1，Γspi2,內(nèi)齒圈和第i個(gè)行星輪左、右側(cè)沿嚙合線方向的相對(duì)位移Γrpi1,Γrpi2，分別為：

(4)

式中：eij(t)=Esin (ωt+φ0)，其中i=1,2,3，j=1,2,3,4；E為綜合傳動(dòng)誤差幅值。

τ=Υt,Λ(τ)=Γ(t),δ=b/Δ。

系統(tǒng)消剛體位移和量綱為一的動(dòng)力學(xué)微分方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

f(Λ)為量綱為一的含尺側(cè)間隙碰撞位移分段函數(shù)，即：

(9)

2 系統(tǒng)分岔特性分析

阻尼比是齒輪系統(tǒng)中重要的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。為研究阻尼比對(duì)星型人字齒輪系統(tǒng)分岔特性的影響，取不同太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)在阻尼比范圍為0.05～0.20時(shí)振動(dòng)位移Λsp11的分岔過(guò)程。

圖3為太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)速為7 000 r/min時(shí)系統(tǒng)的分岔過(guò)程。系統(tǒng)首先經(jīng)歷混沌狀態(tài)，隨著阻尼比的增大系統(tǒng)經(jīng)歷倒分岔從混沌進(jìn)入倍周期，由倍周期進(jìn)入二周期，最后進(jìn)入穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)。圖4和圖5為系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和二周期狀態(tài)下的相圖和Poincaré截面圖。

圖3 轉(zhuǎn)速為7 000 r/min時(shí)系統(tǒng)分岔過(guò)程Figure 3 Bifurcation process of system at 7 000 r/min

圖4 阻尼比為0.06時(shí)系統(tǒng)混沌狀態(tài)Figure 4 Chaotic state of system with damping ratio at 0.06

圖5 阻尼比為0.15時(shí)系統(tǒng)二周期狀態(tài)Figure 5 Two-cycle state of system with damping ratio at 0.15

圖6為太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)速為10 000 r/min時(shí)系統(tǒng)的分岔過(guò)程。系統(tǒng)首先經(jīng)歷混沌狀態(tài)，隨著阻尼比的增大系統(tǒng)直接跳躍激變?yōu)槎芷谶\(yùn)動(dòng)，再由倒分岔進(jìn)入單周期狀態(tài)。圖7和圖8為系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和單周期狀態(tài)下的相圖和Poincaré截面圖。

圖6 轉(zhuǎn)速為10 000 r/min時(shí)系統(tǒng)分岔過(guò)程Figure 6 Bifurcation process of system at 10 000 r/min

圖7 阻尼比為0.06時(shí)系統(tǒng)混沌狀態(tài)Figure 7 Chaotic state of system with damping ratio at 0.06

圖8 阻尼比為0.18時(shí)系統(tǒng)單周期狀態(tài)Figure 8 One-cycle state of system with damping ratio at 0.18

圖9為太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)速為13 000 r/min時(shí)系統(tǒng)的分岔過(guò)程。系統(tǒng)首先經(jīng)歷混沌狀態(tài)，隨著阻尼比的增大系統(tǒng)經(jīng)歷倒分岔從混沌進(jìn)入四周期狀態(tài)，再由四周期狀態(tài)進(jìn)入二周期狀態(tài)，最后進(jìn)入穩(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖10和圖11為系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和四周期狀態(tài)下的相圖和Poincaré截面圖。

圖9 轉(zhuǎn)速為13 000 r/min時(shí)系統(tǒng)分岔過(guò)程Figure 9 Bifurcation process of system at 13 000 r/min

圖10 阻尼比為0.06時(shí)系統(tǒng)混沌狀態(tài)Figure 11 Chaotic state of system with damping ratio at 0.06

圖11 阻尼比為0.10系統(tǒng)四周期狀態(tài)Figure 11 Four-cycle state of system with damping ratio at 0.10

由不同轉(zhuǎn)速條件下系統(tǒng)隨嚙合阻尼比的分岔過(guò)程及其在各種狀態(tài)下的相位圖和Poincaré截面圖可以發(fā)現(xiàn)：在不同工況條件下系統(tǒng)隨嚙合阻尼比的增大，均由復(fù)雜的混沌狀態(tài)逐漸演變?yōu)榱朔€(wěn)定的單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因此星型人字齒輪系統(tǒng)在滿足工況要求的前提下，適當(dāng)增大齒輪系統(tǒng)嚙合阻尼比可以有效避開(kāi)混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，減小振動(dòng)響應(yīng)，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，起到減震降噪的功效。

3 結(jié)語(yǔ)

課題組構(gòu)建了星型人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)純扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)模型進(jìn)行了消剛體位移和量綱一化，并利用Runge-Kutta法對(duì)其進(jìn)行了求解；通過(guò)系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速條件下的分岔通道揭示了阻尼比對(duì)星型人字齒輪系統(tǒng)分岔特性的影響，并通過(guò)相位圖和Poincaré截面圖分析了系統(tǒng)在相空間狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)軌跡行為。結(jié)果表明：在不同轉(zhuǎn)速工況下星型人字齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為均隨阻尼比的增大從最開(kāi)始的混沌狀態(tài)逐漸趨于穩(wěn)定。因此適當(dāng)增大系統(tǒng)嚙合阻尼比可以有效規(guī)避混沌運(yùn)動(dòng)，起到減振降噪的作用。