王 宇，馬秀榮，單云龍

(1.天津理工大學(xué) 集成電路科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300384；2.光電器件與通信技術(shù)教育部工程研究中心，天津 300384)

0 引 言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)因其傳輸速率高、頻譜利用率高與對(duì)抗多徑干擾能力強(qiáng)的特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于移動(dòng)通信系統(tǒng)中[1-2]。

信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)用于均衡與恢復(fù)經(jīng)歷信道后信號(hào)，在接收端實(shí)現(xiàn)正確檢測(cè)，而在接收端CSI是未知的，因此對(duì)CSI的估計(jì)十分關(guān)鍵[3]。目前已有許多文獻(xiàn)對(duì)信道估計(jì)問題進(jìn)行了研究與分析，大量研究證明無線多徑信道呈稀疏特性，即只有少量信道抽頭元素不為零。傳統(tǒng)的信道估計(jì)算法如最小二乘(Least Squares，LS)[4]、最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)[5]算法都有明顯的缺點(diǎn)，兩者都沒有利用信道稀疏的特點(diǎn)[6-7]。近年來，基于壓縮感知(Compressed Sensing，CS)的信道估計(jì)成為一大熱點(diǎn)。將無線信道的稀疏性與CS理論結(jié)合，可以有效估計(jì)出信道抽頭中非零元素的位置與相應(yīng)數(shù)值，而且相較傳統(tǒng)算法，CS信道估計(jì)可以在保證同樣性能的同時(shí)使用更少的導(dǎo)頻資源，提升系統(tǒng)頻譜利用率[8]。

對(duì)于稀疏信號(hào)恢復(fù)問題，可以利用凸優(yōu)化理論進(jìn)行稀疏重構(gòu)[9]，但該方法復(fù)雜度過高，不適用解決實(shí)際問題[2]，而貪婪算法因其復(fù)雜度低、算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單在實(shí)際應(yīng)用中更為常見。文獻(xiàn)[10]使用正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)對(duì)稀疏信道進(jìn)行估計(jì)且相較傳統(tǒng)信道估計(jì)算法具有更準(zhǔn)確的估計(jì)性能。壓縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP)算法[11]、子空間追蹤(Subspace Pursuit，SP)算法[12]引入回溯思想，增加了信道估計(jì)的精度；弱選擇匹配追蹤(Stagewise Weak Orthogonal Matching Pursuit，SWOMP) 算法[13]通過設(shè)置門限，每次迭代選擇多個(gè)原子，減少了迭代次數(shù)；稀 疏 度 自 適 應(yīng) 匹 配 追 蹤(Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP) 算法[14]通過每次迭代增加原子索引，可以在稀疏度未知的條件下完成信道估計(jì)。

由于通信速率與系統(tǒng)帶寬的不斷提升，一個(gè)符號(hào)的持續(xù)時(shí)間逐漸變短，相鄰的多個(gè)符號(hào)經(jīng)歷的信道響應(yīng)不再相互獨(dú)立，而是呈現(xiàn)時(shí)間相關(guān)性[15]的聯(lián)合稀疏結(jié)構(gòu)，用以描述這種特點(diǎn)的聯(lián)合稀疏模型(Joint Sparse Model，JSM)[16]被提出，相應(yīng)地，基于分布式壓縮感知(Distributed Compressed Sensing，DCS)理論的同時(shí)正交匹配追蹤(Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit，SOMP)算法[17-18]被廣大學(xué)者研究與分析。

傳統(tǒng)SOMP算法只適用多個(gè)符號(hào)信道響應(yīng)支撐集(即非零元素位置)全部相同的JSM-2模型，對(duì)于多個(gè)符號(hào)信道響應(yīng)支撐集只有部分相同的JSM-1模型，大多數(shù)文獻(xiàn)都采用各符號(hào)單獨(dú)估計(jì)，并沒有利用其部分聯(lián)合稀疏特性。文獻(xiàn)[15]提出在公共支撐集索引內(nèi)使用SOMP算法進(jìn)行估計(jì)，其余部分使用OMP算法逐符號(hào)進(jìn)行估計(jì)，但是并沒有給出如何確定公共支撐集的方法。

本文對(duì)SOMP算法進(jìn)行了改進(jìn)，首先聯(lián)合估計(jì)出多個(gè)連續(xù)符號(hào)信道響應(yīng)相同的支撐集與對(duì)應(yīng)元素，然后對(duì)支撐集不同的部分逐符號(hào)分別進(jìn)行估計(jì)。仿真結(jié)果表明改進(jìn)的SOMP算法同時(shí)適用于JSM-1與JSM-2模型，且性能優(yōu)于不考慮聯(lián)合稀疏特性的OMP算法。

1 系統(tǒng)模型

在現(xiàn)代移動(dòng)通信系統(tǒng)中，符號(hào)持續(xù)時(shí)間非常短，信道的相干時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于符號(hào)持續(xù)時(shí)間，因此可以認(rèn)為在一個(gè)OFDM符號(hào)周期內(nèi)，信道是時(shí)不變的[2]，其信道沖激響應(yīng)如下：

(1)

將信道響應(yīng)以離散形式h∈L×1表示如下：

h=[h(0),h(2),…,h(L-1)]T。

(2)

式中：L=「τmax/Ts?為信道長(zhǎng)度；Ts為系統(tǒng)采樣周期。

對(duì)于共K個(gè)子載波的OFDM系統(tǒng)，其傳輸模型如下：

Y=XFh+W。

(3)

式中：Y=[Y(0),Y(2),…,Y(K-1)]T為接收端各子載波符號(hào)；X=diag[X(0),X(2),…,X(K-1)]為發(fā)送端各子載波符號(hào)；W=[W(0),W(2),…,W(K-1)]T為加性高斯白噪聲，F(xiàn)∈K×L為離散傅里葉變換(Discret Fourier Transform,DFT)矩陣，其第n行第m列元素為Fn,m=e-j2π(n-1)(m-1)/K。

假設(shè)共有P個(gè)子載波用于導(dǎo)頻的傳輸，式(3)可以寫成

Yp=XpFph+Wp=Ah+Wp。

(4)

式中：Yp∈P×1為導(dǎo)頻子載波接收符號(hào)；Xp∈P×P導(dǎo)頻子載波發(fā)送符號(hào)；Wp∈P×1為W的導(dǎo)頻位置對(duì)應(yīng)元素；Fp∈P×L為F的導(dǎo)頻位置對(duì)應(yīng)行。

向量h的零范數(shù)‖h‖0表示向量中非零元素的個(gè)數(shù)，由式(1)與式(2)可知，向量h只有少量非零元素，即‖h‖0=N?L，可以認(rèn)為其是稀疏的且稀疏度為N。根據(jù)壓縮感知理論，當(dāng)測(cè)量矩陣A=XpFp滿足約束等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property，RIP)時(shí)，稀疏向量h可以通過恢復(fù)算法進(jìn)行重構(gòu)，離散傅里葉矩陣大概率滿足RIP性質(zhì)[8]。

2 聯(lián)合稀疏模型下的信道估計(jì)

在一個(gè)OFDM符號(hào)待續(xù)時(shí)間非常短的場(chǎng)景下，連續(xù)多個(gè)符號(hào)都處在信道相干時(shí)間之內(nèi)，此時(shí)多個(gè)符號(hào)經(jīng)歷的信道響應(yīng)的稀疏結(jié)構(gòu)存在一定的相關(guān)性[15]。相比一般壓縮感知理論只考慮單個(gè)稀疏信號(hào)的稀疏性問題，分布式壓縮感知理論考慮連續(xù)多個(gè)信號(hào)的聯(lián)合稀疏結(jié)構(gòu)，如文獻(xiàn)[17]提出了兩種聯(lián)合稀疏模型。

第一類聯(lián)合稀疏模型(JSM-1)指一組稀疏信號(hào)由公共稀疏部分和各自特有的稀疏部分組成，其支撐集部分相同，模型如下：

yj=Zc+Zj=Ahc+Ahj，j∈{1,2,…,J}。

(5)

式中：yj為第j個(gè)稀疏信號(hào)；Zc為公共稀疏部分；hc中非零元素位置為公共支撐集；Zj為第j個(gè)稀疏信號(hào)特有的稀疏部分；hj中的非零元素為第j個(gè)稀疏信號(hào)特有的支撐集。

第二類聯(lián)合稀疏模型(JSM-2)指一組稀疏信號(hào)擁有相同的支撐集，其模型如下：

yj=Zj=Ahj，j∈{1,2,…,J} 。

(6)

式中：hj的非零元素所在位置集合即支撐集都相同，其對(duì)應(yīng)位置上的元素不同。

傳統(tǒng)SOMP算法認(rèn)為一組稀疏信號(hào)的支撐集相同，因此可以聯(lián)合連續(xù)幾個(gè)符號(hào)同時(shí)估計(jì)支撐集與對(duì)應(yīng)元素，而JSM-1模型下一組信號(hào)內(nèi)部分支撐集不同，此時(shí)傳統(tǒng)SOMP算法雖然可以保障支撐集相同部分的正確估計(jì)，但是會(huì)造成在支撐集不同的部分原子選擇錯(cuò)誤，使信道估計(jì)誤差增大。本文提出一種改進(jìn)的SOMP算法：在迭代過程中使用SOMP算法比較一組稀疏信號(hào)的殘差與上一次迭代的關(guān)系，如果一組稀疏信號(hào)中所有信號(hào)的殘差都小于上一次迭代的殘差，則認(rèn)為本次迭代中該組信號(hào)具有相同的支撐集索引，并保留本次的估計(jì)結(jié)果進(jìn)入下一次迭代；如果該組稀疏信號(hào)中存在信號(hào)的殘差大于上一次迭代的殘差，則認(rèn)為本次迭代中該組信號(hào)中支撐集索引并不是完全相同，因此舍棄本次迭代估計(jì)結(jié)果，對(duì)該組信號(hào)剩下的支撐集與對(duì)應(yīng)位置元素分別進(jìn)行OMP估計(jì)，得到各自特有的支撐集與對(duì)應(yīng)位置元素。

改進(jìn)SOMP算法流程如下：

輸入：連續(xù)J個(gè)接收OFDM符號(hào)中導(dǎo)頻信號(hào)YP,j,j=1,2,…,J；測(cè)量矩陣A；設(shè)每個(gè)符號(hào)的信道多徑數(shù)為N，即總稀疏度為N。

(7)

式中：Al為矩陣A的第l列；λt為第t次迭代中使上式等號(hào)右邊取得最大值A(chǔ)的列索引。

Step3 更新支撐集與支撐集元素對(duì)應(yīng)列：

黨內(nèi)法規(guī)是中國(guó)共產(chǎn)黨在其領(lǐng)導(dǎo)中國(guó)革命、建設(shè)和改革開放的實(shí)踐中，結(jié)合中國(guó)社會(huì)的現(xiàn)實(shí)和發(fā)展特點(diǎn)，不斷調(diào)整黨內(nèi)與社會(huì)各種關(guān)系的規(guī)范。黨內(nèi)法規(guī)是中國(guó)共產(chǎn)黨結(jié)合實(shí)踐的獨(dú)創(chuàng)，為中國(guó)共產(chǎn)黨從嚴(yán)治黨、治國(guó)理政起到了不可估量的作用。黨的紀(jì)律性法規(guī)是黨內(nèi)法規(guī)的一種，是黨內(nèi)法規(guī)中關(guān)于紀(jì)律要求的具體化。

(8)

(9)

Step4 求當(dāng)前支撐集下稀疏向量的最小二乘解：

(10)

Step5 更新殘差：

(11)

Step6 判斷本次迭代得到的殘差是否均小于上次迭代得到的殘差：

(12)

若所有j均滿足上式，t=t+1，跳至Step 2，進(jìn)行下一次迭代；若存在j不滿足上式，執(zhí)行Step 7。

Step7 拋棄本次迭代得到的支撐集及支撐集索引對(duì)應(yīng)列：

(13)

Step8 分別求得J個(gè)符號(hào)各自的支撐集：

(14)

Step9 更新各符號(hào)的支撐集與支撐集索引對(duì)應(yīng)列：

(15)

(16)

Step10 利用式(10)求當(dāng)前支撐集下稀疏向量的最小二乘解。

改進(jìn)的SOMP算法主要分為兩部分：第一部分通過式(7)聯(lián)合J個(gè)符號(hào)估計(jì)公共支撐集，相比單獨(dú)估計(jì)一個(gè)符號(hào)，聯(lián)合估計(jì)具有更高的準(zhǔn)確性?？紤]時(shí)變信道，連續(xù)幾個(gè)符號(hào)的信道響應(yīng)非零元素所在位置不完全相同，因此在得到公共支撐集后第二部分利用式(14)對(duì)每個(gè)符號(hào)剩余的支撐集與對(duì)應(yīng)元素分別進(jìn)行估計(jì)，直到達(dá)到迭代終止條件，且在第一部分得到的公共支撐集作為第二部分的先驗(yàn)信息，因此改進(jìn)的SOMP算法同時(shí)適用于支撐集相同的JSM-2模型與部分支撐集不同的JSM-1模型，而且改進(jìn)算法相較傳統(tǒng)OMP算法有效利用了信道響應(yīng)的聯(lián)合稀疏特性，通過對(duì)多個(gè)符號(hào)相同支撐集聯(lián)合估計(jì)提高了估計(jì)性能。

下面進(jìn)行算法復(fù)雜度分析。令公共支撐集個(gè)數(shù)為C，改進(jìn)算法在公共支撐集內(nèi)每次迭代同時(shí)得到J個(gè)符號(hào)的信道響應(yīng)估計(jì)值，復(fù)雜度可以表示為O(KLC)，在非公共支撐集內(nèi)逐個(gè)符號(hào)進(jìn)行迭代估計(jì)，復(fù)雜度可以表示為O(KL(N-C)J)，因此改進(jìn)算法的總復(fù)雜度可以表示為O(KL(C+NJ-CJ))。當(dāng)C=0即無公共支撐集，每個(gè)符號(hào)單獨(dú)估計(jì)時(shí)，復(fù)雜度達(dá)到最高，與OMP算法一致；當(dāng)C=N即所有符號(hào)支撐集均相同時(shí)，復(fù)雜度達(dá)到最低，與SOMP算法一致。

3 仿真與分析

為了驗(yàn)證本文算法信道估計(jì)的性能，對(duì)本文算法與傳統(tǒng)算法進(jìn)行了仿真對(duì)比。本文仿真實(shí)驗(yàn)所使用的環(huán)境為AMD Ryzen 2600 CPU，16 GB RAM，Matlab 2020a。仿真模型中，設(shè)定OFDM系統(tǒng)子載波數(shù)為512，其中，導(dǎo)頻子載波數(shù)為64，循環(huán)前綴長(zhǎng)度為128，信道長(zhǎng)度即最大時(shí)延對(duì)應(yīng)的離散化長(zhǎng)度設(shè)置為120，調(diào)制方式為QPSK。由于LS算法在導(dǎo)頻均勻分布時(shí)達(dá)到最佳估計(jì)性能，而基于CS的估計(jì)算法導(dǎo)頻隨機(jī)分布相較均分布性能更優(yōu)[8]，因此在保證導(dǎo)頻數(shù)量均為64的條件下，LS算法導(dǎo)頻均勻分布，CS估計(jì)算法導(dǎo)頻在所有子載波中隨機(jī)選取，并保證每個(gè)符號(hào)的導(dǎo)頻位置一致?？紤]到單個(gè)符號(hào)持續(xù)時(shí)間較短，連續(xù)多個(gè)符號(hào)經(jīng)歷的信道變化不大，其信道響應(yīng)具有聯(lián)合稀疏性，仿真中設(shè)定連續(xù)多個(gè)符號(hào)信道響應(yīng)支撐集相同(JSM-2)或部分相同(JSM-1)，噪聲為加性高斯白噪聲，無信道編碼，假設(shè)接收端同步完全正確。

3.1 JSM-2模型下的信道估計(jì)性能

設(shè)定多徑數(shù)為15，仿真10個(gè)OFDM符號(hào)，每個(gè)符號(hào)經(jīng)歷的信道響應(yīng)非零元素抽頭位置即支撐集保持一致，非零元素為服從瑞利分布的隨機(jī)復(fù)數(shù)，各徑功率按式(1)相關(guān)描述設(shè)置。由于信道參數(shù)的隨機(jī)性，設(shè)定蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)為5 000次，每次實(shí)驗(yàn)信道抽頭非零元素位置在信道長(zhǎng)度范圍內(nèi)隨機(jī)變化，但對(duì)應(yīng)元素仍滿足瑞利分布且每個(gè)符號(hào)信道響應(yīng)支撐集一致，最終結(jié)果取多次仿真實(shí)驗(yàn)的平均值，信噪比Eb/N0范圍10～30 dB。信道估計(jì)均方誤差仿真結(jié)果如圖1(a)所示，系統(tǒng)誤碼率仿真結(jié)果如圖1(b)所示。

(a)信道估計(jì)均方誤差

(b)系統(tǒng)誤碼率圖1 JSM-2模型下信道估計(jì)性能

仿真結(jié)果表明，在JSM-2模型下，本文算法與傳統(tǒng)SOMP算法擁有相近的性能，但是稍差于傳統(tǒng)算法。這是因?yàn)楸疚奶岢龅母倪M(jìn)算法會(huì)有一個(gè)對(duì)公共支撐集個(gè)數(shù)的估計(jì)，而JSM-2模型支撐集相同，傳統(tǒng)SOMP算法相當(dāng)于是在支撐集估計(jì)完全正確的情況下進(jìn)行的，因此本文算法相對(duì)SOMP算法會(huì)有一定的性能損失。

3.2 JSM-1模型下的信道估計(jì)性能

設(shè)定多徑數(shù)為15，仿真10個(gè)OFDM符號(hào)，其信道響應(yīng)公共支撐集個(gè)數(shù)為13，即10個(gè)符號(hào)經(jīng)歷的信道響應(yīng)中前13個(gè)非零抽頭位置相同，剩余2個(gè)非零抽頭位置不一致，非零元素為服從瑞利分布的隨機(jī)復(fù)數(shù)，各徑功率按式(1)相關(guān)描述設(shè)置。設(shè)定蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)為5 000次，增加一個(gè)接收端已知公共支撐個(gè)數(shù)的情況作為對(duì)照(即在公共支撐集下使用SOMP算法，特有支撐集下使用OMP算法，無需對(duì)公共支撐集進(jìn)行估計(jì))，信噪比Eb/N0范圍為10～30 dB。信道估計(jì)均方誤差仿真結(jié)果如圖2(a)所示，系統(tǒng)誤碼率仿真結(jié)果如圖2(b)所示。

(a)信道估計(jì)均方誤差

(b)系統(tǒng)誤碼率圖2 JSM-1模型下信道估計(jì)性能

從圖2可以看出，在JSM-1模型下，SOMP算法性能下降明顯，而本文算法仍能保持較高的估計(jì)性能且優(yōu)于OMP算法。這是因?yàn)橄鄬?duì)OMP算法，本文算法利用了連續(xù)符號(hào)具有部分相同支撐集的特點(diǎn)，提高了對(duì)支撐集的估計(jì)準(zhǔn)確性，而SOMP算法在支撐集不同時(shí)仍然按相同的準(zhǔn)則來估計(jì)，造成估計(jì)誤差增大。對(duì)比公共支撐集已知的對(duì)照組，本文算法性能稍差。這是由于噪聲影響，本文算法對(duì)于公共支撐集的估計(jì)存在偏差。

3.3 單次運(yùn)行時(shí)間

該實(shí)驗(yàn)設(shè)定多徑數(shù)為10～20，連續(xù)10個(gè)OFDM符號(hào)公共支撐集個(gè)數(shù)固定為8，信噪比Eb/N0固定為20 dB，增加LS算法作為對(duì)照，仿真不同算法的單次運(yùn)行時(shí)間(每個(gè)多徑數(shù)下仿真5 000次取平均得到)，結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同多徑數(shù)下單次運(yùn)行時(shí)間

由圖3可知，由于LS算法沒有迭代的過程，運(yùn)行時(shí)間最短，而基于CS的信道估計(jì)算法的迭代次數(shù)均與多徑數(shù)呈正相關(guān)，其運(yùn)行時(shí)間也均隨著多徑數(shù)目的增加而增加；SOMP算法每次迭代同時(shí)估計(jì)得到連續(xù)多個(gè)符號(hào)的支撐集中一個(gè)元素，OMP算法每個(gè)符號(hào)均要單獨(dú)進(jìn)行迭代估計(jì)，因此在仿真的基于CS信道估計(jì)算法中，SOMP算法運(yùn)行時(shí)間最短，OMP算法運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)，而本文算法部分支撐集估計(jì)利用SOMP算法，部分利用OMP算法，運(yùn)行時(shí)間介于兩者之間。

4 結(jié) 論

針對(duì)存在聯(lián)合稀疏結(jié)構(gòu)的信道模型，本文提出了一種基于分布式壓縮感知理論的改進(jìn)SOMP算法。與傳統(tǒng)SOMP算法相比，本文算法具有對(duì)公共支撐集估計(jì)的步驟，因此同時(shí)適時(shí)用于支撐集相同的JSM-2模型與支撐集部分相同的JSM-1模型。相對(duì)OMP算法，本文算法利用了聯(lián)合稀疏結(jié)構(gòu)部分支撐集相同的特點(diǎn)，性能更優(yōu)。算法復(fù)雜度方面，本文算法單次運(yùn)行時(shí)間介于SOMP與OMP算法之間。